概念是怎樣生成的*
——以函數(shù)概念教學(xué)為例

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(東臺市教育局教研室，江蘇 東臺 224200)

1 教學(xué)背景

“十三五”期間，江蘇省鹽城市將“讓學(xué)引思”確定為全市課堂教學(xué)改革的主題．該項課改的核心要義在于推動構(gòu)建生本課堂，通過教師對學(xué)生必要的、恰當(dāng)?shù)摹白寣W(xué)”，引導(dǎo)、引發(fā)、引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行充分、深入的思考，從而調(diào)動學(xué)生自身內(nèi)在的積極因素，發(fā)揮其學(xué)習(xí)的主觀能動性．如何在概念教學(xué)中實(shí)施“讓學(xué)引思”？筆者以蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級上冊第6.1節(jié)“函數(shù)”為課題，在一次市級教研活動中做了一點(diǎn)有益的嘗試，現(xiàn)整理成文，希望能引起大家對概念教學(xué)的思考．

2 學(xué)情分析

由常量到變量，是數(shù)學(xué)思維上的一次重大飛躍．函數(shù)的學(xué)習(xí)研究實(shí)現(xiàn)了從常量到變量的巨大轉(zhuǎn)變，函數(shù)概念的學(xué)習(xí)對學(xué)生的思維發(fā)展和能力提升具有十分重要的意義．在此之前，學(xué)生已經(jīng)在七年級學(xué)習(xí)過代數(shù)式和一元一次方程，對字母表示數(shù)以及數(shù)字代入代數(shù)式求值有較好的基礎(chǔ)．同時，學(xué)生已經(jīng)初步感知生活中存在的很多變化著的量，尤其是對一個變量的變化引起另一個變量的變化有一定的生活經(jīng)歷．因此，八年級上學(xué)期學(xué)生對變量方面的內(nèi)容具有一定的感性認(rèn)識，在實(shí)際生活中積累了一些有關(guān)常量和變量的知識，有嘗試探究兩個變量之間關(guān)系的興趣和要求．

基于上述分析，筆者確定了如下教學(xué)目標(biāo)：

1)通過一些具體實(shí)例，讓學(xué)生感受數(shù)量的變化過程以及在變化過程中變量之間的對應(yīng)關(guān)系，探究其中的變化規(guī)律及基本性質(zhì)，嘗試根據(jù)變量之間的對應(yīng)關(guān)系作出預(yù)測，獲得對函數(shù)概念的感性認(rèn)識；

2)通過一些不同背景的實(shí)例，在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，歸納概括出函數(shù)的定義，深層次理解函數(shù)概念；

3)建立數(shù)學(xué)模型，用函數(shù)思想分析實(shí)際問題，使得學(xué)生能夠在操作層面認(rèn)識和理解函數(shù)．

3 教學(xué)實(shí)錄

3.1 課前活動

上課前，教師給每組學(xué)生(同桌兩人為一組)發(fā)一個彈簧秤和一組砝碼，讓學(xué)生分組“玩”彈簧秤，“在玩中學(xué)，在學(xué)中玩”，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，通過動手“做”數(shù)學(xué)，使其在實(shí)驗操作的過程中感悟數(shù)學(xué)問題的存在．

3.2 情境創(chuàng)設(shè)

師：同學(xué)們，我們生活在一個充滿變化的世界中，在這些變化過程中，有些數(shù)量保持不變，有些發(fā)生了改變，從這一節(jié)課開始，我們來研究這些變化的量以及它們之間的關(guān)系．下面讓我們一起來看看這樣一個長方形.

教師用幾何畫板演示，在運(yùn)動過程中隨機(jī)停止3次，如圖1～3所示．

圖1 圖2 圖3

師：在這個變化過程中，哪些量在變化？

生1：AB的長和長方形的面積在變化．

師(追問)：在運(yùn)動過程中，哪些量一直保持不變？

生1：AB+AD的值不變．

生2：就是長方形的周長不變．

師：說得很好！

教師多媒體展示：在某一變化過程中：數(shù)值保持不變的量叫做______，可以取不同數(shù)值的量叫做______．

生(齊)：常量、變量．

點(diǎn)評運(yùn)用幾何畫板制作的長方形，在動畫演示下，讓學(xué)生感受到如果長方形的周長不變，當(dāng)長方形的長發(fā)生變化時，長方形的面積也隨之發(fā)生變化，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，引發(fā)學(xué)生的深入思考．教師選擇這個情境，目的是讓學(xué)生感受在運(yùn)動過程中哪些量在變化，哪些量一直保持不變，為引出常量與變量這兩個概念作鋪墊．

3.3 新知探究

3.3.1 函數(shù)概念的引入

活動1長方形的周長不變，探究其長與面積之間的關(guān)系.

師：針對情境1中的問題，我們一起來做一個游戲好不好？

生(齊)：好．

師：老師想請一位同學(xué)上臺掌控鼠標(biāo)，控制長方形的運(yùn)動，哪位同學(xué)愿意？

學(xué)生紛紛舉手，教師指定一名學(xué)生上臺.

師：同學(xué)們，游戲的規(guī)則是：先讓長方形處于運(yùn)動過程中，大家說“停”，臺上同學(xué)就按一下鼠標(biāo)，使運(yùn)動著的長方形立即停下來.如果老師接著下令“開始”，臺上同學(xué)就再次點(diǎn)擊鼠標(biāo)，使靜止著的長方形再次運(yùn)動起來，如此往復(fù)……，請大家注意觀察和感悟其中的變化．準(zhǔn)備好了嗎？

生(齊)：準(zhǔn)備好了！

師：開始．

生(齊)：停！

在學(xué)生活動的同時，教師在黑板上記錄隨機(jī)實(shí)驗得到的結(jié)果，連續(xù)3次，數(shù)據(jù)記錄如下(記長方形ABCD的面積為S)：

當(dāng)AB=2.12時，S=12.45；

當(dāng)AB=3.55時，S=15.76；

當(dāng)AB=4.66時，S=15.52；

……

師：當(dāng)AB的長為2.55時，你能確定長方形的面積嗎？

生(齊)：能．

師(期待)：怎么確定？

生5：等到AB=2.55時按下鼠標(biāo)，長方形的面積隨之得到．

生6：把AB=2.55代入進(jìn)行計算即可．

師：由此可見，當(dāng)長方形的長確定后，長方形的面積也隨之而確定．除此之外，你還有什么體會呢？請你總結(jié)成一句話，說給你的同桌聽聽．

生7(代表)：長方形的面積隨著長方形長的變化而變化．

點(diǎn)評教師以游戲互動的方式請學(xué)生走上講臺，動手按動鼠標(biāo)，在師生互動、生生互動的愉快氣氛中，感悟長方形的長與其面積之間相互“牽制”的關(guān)系，使其初步感受函數(shù)的內(nèi)涵．

活動2在彈簧秤的稱重范圍內(nèi)，探究彈簧秤的拉力與砝碼個數(shù)之間的關(guān)系.

師：請大家拿出課前老師發(fā)給大家的彈簧秤和砝碼進(jìn)行稱重實(shí)驗，同桌之間互相配合，一人負(fù)責(zé)稱重，另一人負(fù)責(zé)記錄．

由于課前已有鋪墊，學(xué)生能熟練地用彈簧秤進(jìn)行稱重，教師巡視，適當(dāng)指導(dǎo)操作有困難的學(xué)生.

師：在你們記錄的數(shù)據(jù)中，反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？

生8：反映了彈簧拉力和砝碼個數(shù)之間的變化關(guān)系．

師：分析表中的數(shù)據(jù)，你能獲得哪些信息？

生9：彈簧拉力隨著砝碼個數(shù)的變化而變化，隨著砝碼個數(shù)的確定而確定．

實(shí)物投影出其中一組兩位學(xué)生的實(shí)驗結(jié)果，如表1所示:

表1 數(shù)學(xué)實(shí)驗報告單

師：生9的回答與這兩位同學(xué)的結(jié)果一致，回答得真好！有了這兩次活動的經(jīng)驗，誰能小結(jié)一下兩個相關(guān)變量之間的關(guān)系？

生10：在兩個相關(guān)聯(lián)的變量中，一個變量隨著另一個變量的變化而變化，一個變量隨著另一個變量的確定而確定．

師(板書課題)：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的函數(shù)．

點(diǎn)評在課前，教師就已經(jīng)組織學(xué)生“玩”過彈簧秤，進(jìn)行了“熱身”，為課上的活動埋下了伏筆．在真實(shí)的環(huán)境中進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗，可以幫助學(xué)生檢測、驗證已得結(jié)論或猜想的正確性，從而在實(shí)物直觀的基礎(chǔ)上獲得對函數(shù)本質(zhì)的理解與認(rèn)識[1]．

活動3用火柴棒搭小魚.

師：請同學(xué)們拿出課前準(zhǔn)備好的火柴棒，兩人一組，互相配合，用火柴棒搭1條小魚、2條小魚、3條小魚……邊活動，邊思考：搭n條小魚所需的火柴根數(shù)S與小魚條數(shù)n之間的關(guān)系為：______．

生13：S=6n+2．

師：在這一變化過程中，有幾個變量，它們之間有怎樣的關(guān)系？

生14：有兩個變量，搭小魚所需火柴根數(shù)S隨著小魚條數(shù)n的變化而變化．

生15：當(dāng)小魚的條數(shù)n確定時，所需火柴棒的根數(shù)S也確定下來．

師(期待)：也就是說，對于n的每一個值，S都有______的值與之對應(yīng)．

生(齊)：唯一．

師：同學(xué)們今天表現(xiàn)真好！下面讓我們再回到我們所熟悉的氣溫變化圖上來．

活動4認(rèn)識氣溫變化圖.

圖4

師：這是某地一天內(nèi)的氣溫變化圖(如圖4所示)，請同學(xué)們思考：這幅圖反映的是哪兩個變量之間的關(guān)系？

生11：反映的是一天內(nèi)時間與氣溫之間的關(guān)系．

師：通過觀察，你能說出3時的溫度是多少嗎？6時的溫度又是多少？……

生12：3時是-3 ℃ ，6時是-1 ℃ ……

師(追問)：此時的溫度唯一確定了嗎？

生(齊)：唯一確定了．教師鼠標(biāo)拖動至某一時間點(diǎn)，請學(xué)生回答“唯一確定”的溫度，體會唯一確定的溫度與時間之間的對應(yīng)關(guān)系．

點(diǎn)評以學(xué)生熟悉的氣溫變化圖為載體，讓學(xué)生識圖、讀圖，動口說出不同時刻的氣溫，感受時間變了，氣溫也隨之而改變，并且在此過程中體會某一時刻有唯一的溫度與之對應(yīng)，進(jìn)一步加深對函數(shù)內(nèi)涵的認(rèn)識．

師(PPT展示)：同學(xué)們，我們先后進(jìn)行了4個活動：1)長方形周長不變，探究其長與面積之間存在的關(guān)系；2)在彈簧秤的稱重范圍內(nèi)，探究彈簧秤的拉力與砝碼個數(shù)之間的關(guān)系；3)用火柴棒搭小魚；4)認(rèn)識氣溫變化圖．這幾個問題有什么共同之處嗎？請大家在小組內(nèi)展開討論．

點(diǎn)評以認(rèn)識氣溫變化圖和用火柴棒搭小魚這兩個問題讓學(xué)生體會兩個變量之間的關(guān)系，并進(jìn)一步理解它們之間“唯一確定”的屬性，在學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上，問題層層深入，逐步“逼近”函數(shù)的內(nèi)涵，是一種自然的生成．

3.3.2 構(gòu)建概念

師：請哪位同學(xué)來總結(jié)一下？

生16：在每個變化的過程中都存在著兩個變量，對于其中一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一的值與它對應(yīng)．

師：很好！大家再來說一遍！

(學(xué)生一邊齊說，教師一邊板書.)

師：同學(xué)們，上述4個活動實(shí)際上只講了一個“故事”．你能對照函數(shù)的概念把活動1中長方形的長與面積之間的關(guān)系說出來嗎？

生17：在一個變化過程中的兩個變量：長方形的長和面積，對于長方形長的每一個值，長方形的面積都有唯一的值與它對應(yīng)，我們就稱長方形的面積是它的長的函數(shù)．其中，長方形的長是自變量．

生18：在一個變化過程中的兩個變量：砝碼的個數(shù)與彈簧秤的拉力，對于砝碼的每一次不同的個數(shù)，彈簧秤的拉力都有唯一的值與之對應(yīng)，那么我們就稱彈簧秤的拉力是砝碼個數(shù)的函數(shù)．其中，砝碼的個數(shù)是自變量．

……

點(diǎn)評通過上述4個活動引導(dǎo)學(xué)生主動地進(jìn)行觀察、操作、交流，使學(xué)生在對實(shí)際問題的探究中進(jìn)一步獲得對函數(shù)概念的感性認(rèn)識，并在此基礎(chǔ)上歸納出函數(shù)的定義．讓學(xué)生動口表述，使學(xué)生在活動過程中不斷積累經(jīng)驗，感悟兩個變量之間的依存關(guān)系．

3.3.3 應(yīng)用舉例

師：你能舉出我們生活中反映這種關(guān)系的例子嗎？

問題拋出后，學(xué)生立即投入積極的思索和討論中.

生19：我家的水費(fèi)與水表上記錄的用水量．

生20：汽車加油時，加油的升數(shù)與加油的費(fèi)用．

生21：一個圓的半徑與這個圓的面積．

……

點(diǎn)評在學(xué)生對函數(shù)概念已經(jīng)逐步生成的基礎(chǔ)上，請學(xué)生結(jié)合生活中的問題進(jìn)行舉例，是一種原生態(tài)的再生成，學(xué)生必須在理解函數(shù)概念的基礎(chǔ)上才能運(yùn)用，也是教學(xué)效果的一種檢測．更為重要的是，通過舉例，使學(xué)生逐步形成建模意識，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想方法．

3.3.4 精彩小結(jié)

師：如果你回去跟你爸媽說，今天來了一位新老師，給我們上了一節(jié)數(shù)學(xué)課．然后你爸就問了，老師講的是什么內(nèi)容，能不能講給我聽聽？你怎么回答？

師(稍作停頓)：如果爸媽水平不太高，要你用通俗易懂的一句話就讓他聽懂，你怎么說？

師：假如老師就是你爸，你對著“爸爸”說說看！

全班哄堂大笑.

生22(羞澀)：爸，今天我們學(xué)習(xí)了函數(shù)，即如果在一個變化的過程中有兩個變量x和y，如果對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)．其中，x是自變量．

師：女兒，你這樣說爸爸沒聽懂，誰來一個“通俗版”的？

生23(吞吞吐吐)：爸爸，我今天學(xué)習(xí)了函數(shù)，舉個例子，比如爸爸你今天去賣玉米，如果單價是每公斤2.5元，賣的數(shù)量越多，所得的錢就越多，這時所賣玉米的收入與玉米的數(shù)量之間就是一個函數(shù)關(guān)系．

師：為什么是函數(shù)關(guān)系呢？

生23：因為任意給定一個玉米的數(shù)量，就有唯一的收入與它對應(yīng)．

師(點(diǎn)點(diǎn)頭,幽默回應(yīng))：嗯，乖女兒，玉米我賣過，這回老爸聽懂了！下課！

點(diǎn)評常見的課堂結(jié)尾通常以“通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？”“你還有哪些疑惑？”等等來進(jìn)行小結(jié)．特別地，本節(jié)課教師并沒有采用常見的收尾方式，而是精心創(chuàng)設(shè)了一個對話情景，以小品的形式結(jié)束本節(jié)課的學(xué)習(xí)，耐人尋味！雖然還是同樣地小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，但由于其形式新穎，顯得其內(nèi)容更為豐富，函數(shù)概念也在藝術(shù)處理的過程中得到升華．

4 總評

本節(jié)課是初中“函數(shù)”概念教學(xué)的一節(jié)新授課，教師精心創(chuàng)設(shè)了問題情境，通過豐富的生活實(shí)例和有效的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象、從感性到理性的認(rèn)知過程，準(zhǔn)確揭示和詮釋了函數(shù)概念的外延和內(nèi)涵．在此基礎(chǔ)上，通過組織系列的探究活動，讓學(xué)生結(jié)合鮮活的實(shí)例感悟“函數(shù)”模型的思想，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，加深了對“函數(shù)”概念本質(zhì)的理解．由于教師的精心設(shè)計和組織，整節(jié)課較好地體現(xiàn)了“讓學(xué)引思”的教學(xué)理念．

4.1 讓“悟”于生，結(jié)合具體的生活情景感知函數(shù)概念的真實(shí)存在

常言道：教之道在于“度”，學(xué)之道在于“悟”．本課例中，生成函數(shù)概念的導(dǎo)學(xué)是在課前活動“玩”彈簧秤的過程中展開的，學(xué)生經(jīng)歷了動手稱重的過程，明白了彈簧秤的讀數(shù)與砝碼個數(shù)存在因果關(guān)系．通過直觀的氣溫變化圖逐步加深氣溫隨著時間的變化而變化的理解，也是對函數(shù)本質(zhì)理解的提升，以生活中常見的事例進(jìn)行分析能幫助學(xué)生化抽象為具體．在歸納出函數(shù)概念之后，請大家舉出我們生活中具有函數(shù)關(guān)系的例子，學(xué)生都爭先恐后結(jié)合自己的生活體驗，運(yùn)用函數(shù)思想，尋找函數(shù)模型，如：水表上記錄的用水量與水費(fèi)(用水單價確定)、行走速度與行走時間(學(xué)校到家路程確定)、購買筆芯的數(shù)量與費(fèi)用(筆芯價格確定)……學(xué)生為什么能列舉出這么多生活中蘊(yùn)含函數(shù)的例子呢？其根本原因就是他們理解了函數(shù)的本質(zhì)就是找兩個變量之間的因果關(guān)系，在生成函數(shù)概念的基礎(chǔ)上他們能聯(lián)系自己的生活，結(jié)合自己的經(jīng)驗，使函數(shù)與生活發(fā)生碰撞，真實(shí)體悟到“函數(shù)離不開生活，生活中處處有函數(shù)”．

4.2 讓“做”于生，通過活動引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識函數(shù)概念的本質(zhì)內(nèi)涵

實(shí)踐表明，在真實(shí)的環(huán)境中進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗，可以幫助學(xué)生檢測、驗證已得結(jié)論或猜想的正確性，從而在實(shí)物直觀的基礎(chǔ)上獲得對數(shù)學(xué)知識的理解[2]．本課例有一大特點(diǎn)，就是學(xué)生活動的次數(shù)較多，尤其是讓學(xué)生在動手實(shí)踐的過程中通過自主探索、合作交流獲得感悟．在課前，教師就已經(jīng)組織學(xué)生“玩”過彈簧秤，進(jìn)行過“熱身”，為課堂上的活動埋下了伏筆；導(dǎo)入時，教師以游戲互動的方式讓學(xué)生走上講臺，動手按動鼠標(biāo)，在師生互動、生生互動的愉快氣氛中，感悟長方形的長與其面積之間相互“牽制”的關(guān)系；在活動過程中，以小組合作學(xué)習(xí)的方式，記錄下彈簧秤稱重實(shí)驗的結(jié)果，以實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度獲得數(shù)據(jù)，總結(jié)規(guī)律，感悟變化；在構(gòu)建函數(shù)概念時，又讓學(xué)生動手用火柴棒搭小魚，引導(dǎo)學(xué)生主動進(jìn)行觀察、操作、交流，使學(xué)生進(jìn)一步獲得感性認(rèn)識，并在此基礎(chǔ)上歸納概括出函數(shù)的概念，讓學(xué)生在“做”的過程中不斷積累活動經(jīng)驗，感悟兩個變量之間的依存關(guān)系．

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，大詩人陸游的詩句是有很深刻的道理的．通過小組活動，使學(xué)生經(jīng)歷“做”數(shù)學(xué)的過程，讓其親身體驗，領(lǐng)悟自然深刻．

4.3 讓“講”于生，鼓勵學(xué)生在動口表述的基礎(chǔ)上不斷提升認(rèn)知水平

教學(xué)的最高境界不僅是教書，更是育人，這是裴光亞先生在《數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展》中闡述的觀點(diǎn)．有感于此，在構(gòu)建函數(shù)概念時，教師放手讓學(xué)生用語言歸納幾個活動，以“故事”的形式“串燒”兩個變量之間的關(guān)系，在學(xué)生表述的過程中不斷修正、引思，向函數(shù)的定義不斷靠攏，逐步形成函數(shù)的概念，使函數(shù)概念的生成水到渠成．在生成函數(shù)概念之后，請學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗，列舉出生活中反映函數(shù)關(guān)系的實(shí)例，從現(xiàn)實(shí)生活的具體情境中抽象出函數(shù)模型，在學(xué)生動口表述的過程中進(jìn)一步鞏固函數(shù)概念，并用自己的語言進(jìn)行組織，有效提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和思考及表達(dá)能力．

在本節(jié)課的結(jié)尾部分，教師要求學(xué)生用通俗易懂的一句話把本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行概括，看似對學(xué)生提出了過高的要求，其實(shí)不然.試想一下:當(dāng)學(xué)生把具體的數(shù)學(xué)知識“忘記”后,還會剩下什么？教師正是想通過這樣的方式來了解學(xué)生對函數(shù)的理解程度，應(yīng)該是更高層次上的一種藝術(shù)性的概括，是一次升華！

5 結(jié)束語

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的邏輯基礎(chǔ)，也是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方面[2]．正如李邦河院士所說：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的．”只有注重過程的學(xué)習(xí)才是厚重的，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念這個結(jié)果，更要在過程中體驗、感悟概念的本質(zhì)內(nèi)涵，形成概念的基本模型，在過程中優(yōu)化和發(fā)展思維能力．新的數(shù)學(xué)概念的引出過程，是揭發(fā)概念發(fā)生的過程，也是概念在學(xué)生頭腦中生成的過程.各個數(shù)學(xué)概念的發(fā)生和形成過程不盡相同，有的是從生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題抽象出來的，有些是由數(shù)學(xué)自身的發(fā)展而產(chǎn)生的，教學(xué)過程中教師應(yīng)根據(jù)各個概念的產(chǎn)生情況，結(jié)合學(xué)生的具體學(xué)情進(jìn)行科學(xué)設(shè)計，讓學(xué)科素養(yǎng)伴隨著概念的生成而共同生長！

[1] 沈中宇,楊瓊．RME視角下“函數(shù)概念”教學(xué)[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2017(1)：1-6．

[2] 羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)素養(yǎng)與課堂研修[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017(8)：8-10．