核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)*
——以“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”為例

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(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華 321004)

●王 芳

(紹興市高級(jí)中學(xué)，浙江 紹興 312000)

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院，浙江 金華 321004)

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的修訂工作中，研究者們提出了中學(xué)數(shù)學(xué)教育中需要培養(yǎng)的六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析[1].數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)并不是一蹴而就的，而是學(xué)生在參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中逐步形成的.這就要求教師站在素養(yǎng)的高度精心設(shè)計(jì)每一個(gè)課堂活動(dòng)環(huán)節(jié).筆者以“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”為例，闡述核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)方法.

1 設(shè)計(jì)思路

本節(jié)課的重點(diǎn)是方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系、零點(diǎn)存在性定理的探究以及應(yīng)用.由于零點(diǎn)的概念比較簡(jiǎn)單，因此我們將這部分教學(xué)的重心定位在零點(diǎn)存在性定理的探究以及應(yīng)用.零點(diǎn)存在性定理是一種基本數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求和教材的邏輯體系，其更直接的作用是作為“二分法”這一后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的重要基礎(chǔ).因此，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們將定理的應(yīng)用與定理的探究擺在了同等重要的位置.

本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路是：1)通過(guò)具體的例子，引導(dǎo)學(xué)生分析并體會(huì)函數(shù)與方程的關(guān)系.這里所應(yīng)用的轉(zhuǎn)化思想正是數(shù)學(xué)邏輯推理得以實(shí)現(xiàn)的重要環(huán)節(jié)之一.2)由特殊到一般，歸納出方程的根與函數(shù)零點(diǎn)以及函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的關(guān)系.此處特別需要注意的是直觀想象與數(shù)學(xué)抽象之間的辯證處理.3)借助函數(shù)圖像探究零點(diǎn)存在情況，并且抽象概括得到零點(diǎn)存在性定理.該環(huán)節(jié)的抽象概括是促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要途徑之一.4)通過(guò)靈活運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理解決方程根的相關(guān)問(wèn)題，體會(huì)函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也為“二分法”這一數(shù)學(xué)運(yùn)算程序的實(shí)現(xiàn)奠定良好的基礎(chǔ).

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 問(wèn)題導(dǎo)入

1)當(dāng)y=1時(shí)，求對(duì)應(yīng)的x的值；

2)求該函數(shù)的值域.

設(shè)計(jì)意圖該問(wèn)題旨在幫助學(xué)生明確認(rèn)識(shí)到：函數(shù)的某些問(wèn)題是可以通過(guò)方程加以解決的，借此將原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的經(jīng)驗(yàn)和模糊認(rèn)識(shí)明確化.

問(wèn)題2求下列方程的根：

1)x2+3x-4=0；

2) lnx+2x-6=0.

分析第1)小題學(xué)生能很快地解決.對(duì)于第2)小題,學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)看上去并不復(fù)雜的方程，無(wú)法求解.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)這一認(rèn)知沖突的創(chuàng)設(shè)，激起學(xué)生解決這一問(wèn)題的心理需求.

資料介紹方程的發(fā)展史:9世紀(jì)前后，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米給出了一元二次方程求根的一般方法.16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾給出了一元三次方程的一般解法，隨后他的學(xué)生費(fèi)拉里給出了一元四次方程的一般解法.在其后的200多年里，許多數(shù)學(xué)家致力于5次及以上一元方程的代數(shù)求解問(wèn)題，始終無(wú)果.直至19世紀(jì)，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾和法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦先后證明了5次及以上的一元方程不存在一般的代數(shù)求根方法.兩位年輕數(shù)學(xué)家的解決方法還促使了以“群論”為基礎(chǔ)的《近世代數(shù)》這一數(shù)學(xué)分支的誕生.1930年，失學(xué)青年華羅庚因發(fā)表論文《蘇家駒之代數(shù)的五次方程式解法不能成立之理由》，經(jīng)熊慶來(lái)推薦進(jìn)入清華大學(xué)圖書館工作，從而逐漸走上了專業(yè)研究數(shù)學(xué)之路，繼而成長(zhǎng)為一代數(shù)學(xué)宗師.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)介紹方程的發(fā)展史，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)文化知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的研究興趣，同時(shí)引出本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容：在方程無(wú)法求解的情況下，如何判斷根的情況.

2.2 零點(diǎn)概念的建構(gòu)

問(wèn)題3求方程x2-2x-3=0的根，并寫出函數(shù)y=x2-2x-3的圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖由具體的一元二次方程和二次函數(shù)入手，通過(guò)數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)方程根與函數(shù)之間的關(guān)系，并從形和數(shù)兩個(gè)角度指出方程的實(shí)數(shù)根在對(duì)應(yīng)函數(shù)中所具有的二重身份.此處二次函數(shù)的圖像可以不要求具體畫出，利用學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)中對(duì)這一圖像的基本認(rèn)識(shí)即可完成.

零點(diǎn)概念對(duì)于函數(shù)y=f(x)，使得f(x)=0的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

練習(xí)1判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出零點(diǎn)：

1)y=x2-2x；

2)y=x2-2x+1；

3)y=x2-2x+3.

請(qǐng)你總結(jié):二次函數(shù)y=ax2+bx+c(其中a≠0)零點(diǎn)存在的條件.

問(wèn)題4一般方程與其對(duì)應(yīng)函數(shù)之間是否也存在這樣的關(guān)系？

方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系方程f(x)=0存在實(shí)數(shù)根x0?函數(shù)f(x)的圖像與x軸交于(x0,0)(形)?函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)x0(數(shù)).

設(shè)計(jì)意圖練習(xí)題的作用是幫助學(xué)生鞏固零點(diǎn)的概念，大多數(shù)學(xué)生通過(guò)轉(zhuǎn)化成方程求函數(shù)的零點(diǎn).有了這樣的基礎(chǔ)之后，便可以抽象概括出方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系.

2.3 零點(diǎn)存在性定理的探究

問(wèn)題5對(duì)于函數(shù)y=f(x)，其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,5)和B(6,-3)，在區(qū)間(2,6)內(nèi)是否存在零點(diǎn)？

問(wèn)題6對(duì)于一般的函數(shù)y=f(x)，滿足什么條件時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn)？

分析在問(wèn)題5中，學(xué)生無(wú)法用解方程的方法解決抽象函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，但原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為研究圖像在區(qū)間(2,6)內(nèi)是否與x軸相交.問(wèn)題6屬于一般性探究，學(xué)生可結(jié)合前一問(wèn)題歸納出零點(diǎn)一定存在的條件.

設(shè)計(jì)意圖在這個(gè)環(huán)節(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)抽象概括，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言特別是符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)圖像關(guān)系，并概括形成零點(diǎn)存在性定理.

零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn).

練習(xí)2判斷下列說(shuō)法是否正確：

1)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)>0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)不存在零點(diǎn);

2)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn);

3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn).

分析對(duì)于這些抽象的問(wèn)題，可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析函數(shù)圖像特征舉反例進(jìn)行辨析.對(duì)于第3)小題還可以追問(wèn)：如果條件不變，將結(jié)論改為“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可能存在兩個(gè)零點(diǎn)”，說(shuō)法正確嗎？追問(wèn)是想強(qiáng)調(diào)函數(shù)的零點(diǎn)有可能是其圖像與x軸切點(diǎn)的橫坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖這類問(wèn)題有助于學(xué)生清晰理解定理的條件與結(jié)論，明確認(rèn)識(shí)定理的局限性.而在反復(fù)舉例與辨析的過(guò)程中，充分運(yùn)用學(xué)生頭腦中的“趨勢(shì)性”函數(shù)圖像，也有助于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與直觀想象思維模式的有機(jī)融合.

2.4 零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用

例11)求方程lnx+2x-6=0根的個(gè)數(shù)；

2)若上述方程的一個(gè)根在區(qū)間(n,n+1)內(nèi)，求正整數(shù)n的值.

分析求解第1)小題的方法有多種，可以拆分為兩個(gè)函數(shù)，觀察函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，也可借助幾何畫板觀察函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).對(duì)于第2)小題，通過(guò)計(jì)算特殊自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，再利用零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合函數(shù)自身的單調(diào)性，就可以判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及所在的大致區(qū)間(2,3)，即所求n=2.

教師可以追問(wèn)：如果我們想要讓根的范圍更小一點(diǎn)可以怎么做？以此為下面的練習(xí)題作鋪墊.

設(shè)計(jì)意圖例1是呼應(yīng)導(dǎo)入階段遺留的問(wèn)題.一個(gè)重要思想是將無(wú)法直接求解的方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)存在的問(wèn)題.這一過(guò)程促使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方程與函數(shù)的思想，并初步體驗(yàn)應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理，通過(guò)特殊值估計(jì)零點(diǎn)所在的區(qū)間.該過(guò)程中如何取特殊值、如何判斷函數(shù)值正負(fù)等問(wèn)題的靈活處理，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

分析這一道習(xí)題的難度更大，方程是一元四次方程，最多存在4個(gè)根，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=f(x)不是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，但其圖像很顯然經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-1),(1,-1),(2,-1),(4,-1)，因此很自然地把定義域分成5段進(jìn)行分析.過(guò)程中需要學(xué)生結(jié)合取特殊值和分析函數(shù)值大致變化趨勢(shì)不斷縮小零點(diǎn)所在的范圍，如當(dāng)x>4且趨于無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)值也是不斷變大并趨向于無(wú)窮大，這時(shí)可以判定在(4,+∞)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).這道題目解決后，教師應(yīng)該分析這個(gè)函數(shù)在每一段的大致趨勢(shì)，或利用幾何畫板將函數(shù)圖像畫出，再讓學(xué)生通過(guò)直觀感知，總結(jié)反思自己在取特殊值時(shí)應(yīng)該注意的問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖本題是讓學(xué)生鞏固運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理估計(jì)方程近似根所在區(qū)間的基本方法，進(jìn)而初步體會(huì)按要求縮小這一區(qū)間的方法.這一過(guò)程需要較強(qiáng)的邏輯推理能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀的思維品質(zhì).而如何縮小范圍，直至逼近近似根，正是我們下節(jié)課要學(xué)習(xí)的二分法的基本要義.

2.5 課后習(xí)題

除教科書中的習(xí)題外，教師補(bǔ)充如下兩個(gè)練習(xí)題：

練習(xí)4已知方程ex+x-6=0的根在區(qū)間(n,n+1)內(nèi)，求正整數(shù)n的值.

3 教學(xué)反思

本節(jié)課設(shè)計(jì)的第二個(gè)指導(dǎo)思想是將其作為二分法的起始課，由此確定的一個(gè)重難點(diǎn)就是零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用.二分法作為一種較為實(shí)用的運(yùn)算方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng)無(wú)疑具有重要的意義.“數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.”[2]二分法作為以循環(huán)性運(yùn)算程序?yàn)樘攸c(diǎn)的方法，其基礎(chǔ)是確定運(yùn)算起點(diǎn)和運(yùn)算方向.在本節(jié)課中，例1和練習(xí)3的設(shè)計(jì)，就是為了說(shuō)明如何運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理初步分析求近似根時(shí)的運(yùn)算起點(diǎn)和運(yùn)算方向.

零點(diǎn)存在性定理的探究是本節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn).筆者認(rèn)為：在探究過(guò)程中既要重視抽象概括的本質(zhì)性作用，同時(shí)也要注意處理好數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的辯證關(guān)系.這正是本節(jié)課設(shè)計(jì)的第3個(gè)指導(dǎo)思想.雖然在零點(diǎn)概念的建構(gòu)以及存在性定理的探究過(guò)程中，需要反復(fù)利用數(shù)形結(jié)合思想，但我們?cè)噲D更多地借助于學(xué)生頭腦中的“趨勢(shì)性”函數(shù)圖像，而不是畫在紙上或黑板上的“明確化”函數(shù)圖像.正如史寧中教授所指出的：“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象.”[3]因此，在教學(xué)中，對(duì)于一些簡(jiǎn)單而重要的函數(shù)圖像，不是明確地畫下來(lái)，而是借助于學(xué)生想象中的圖像進(jìn)行分析，這更有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng).其實(shí)，任何數(shù)學(xué)中的邏輯推理，都既離不開(kāi)數(shù)學(xué)抽象，也離不開(kāi)直觀想象的背景.在這里，直觀想象的材料有機(jī)地成為邏輯推理思維鏈中的一個(gè)片段或一個(gè)思維組塊.也許這才是“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)中應(yīng)該追求的某種境界.

其實(shí)，數(shù)學(xué)抽象本身往往也離不開(kāi)直觀想象.“只有抽象的東西獲得具體事例的支持，實(shí)現(xiàn)‘從思維的抽象發(fā)展到思維的具體，在思維中再現(xiàn)整體性和具體性’，才能深入認(rèn)識(shí)新概念新思想.”[4]在練習(xí)2中，對(duì)于這些抽象的問(wèn)題，如果學(xué)生能夠用具體的反例加以說(shuō)明，那就表明他們對(duì)定理的條件和結(jié)論都有了較深入的理解.在該問(wèn)題的解決中，還需要不斷地經(jīng)歷猜想、證偽、重構(gòu)、證實(shí)的過(guò)程.這種從證偽到證實(shí)的思維過(guò)程，正是數(shù)學(xué)發(fā)展乃至一般人類知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的基本規(guī)律，讓學(xué)生適當(dāng)?shù)亟?jīng)歷這種思維過(guò)程，必然會(huì)深刻地影響著其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

[1] 喻平．發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)與策略[J]．課程·教材·教法,2017,37(1):48-53．

[2] 杭毅，侯正永．基于質(zhì)量監(jiān)測(cè)的初中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)展?fàn)顩r的調(diào)查研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2017,26(1):25-27．

[3] 史寧中．?dāng)?shù)學(xué)的基本思想[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào),2011,50(1):1-9．

[4] 章建躍．高中數(shù)學(xué)教材落實(shí)核心素養(yǎng)的幾點(diǎn)思考[J]．課程·教材·教法,2016,36(7):44-49．