以分段函數的微專題教學設計為例談深度學習的有效方式*

●

(當湖高級中學,浙江 平湖 314200)

高中數學課堂教學，不應該只是簡單地知識傳授和方法講解，更應該是對知識生成的再體會，對自身知識體系的再完善，是一個讓學生經歷深度學習、發展理性思維的再提升過程.

1 深度學習的理性認知

深度學習是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程.在這個過程中，學生掌握學科的核心知識，體驗學科知識的生成，把握學科的本質及思想方法，形成積極的內在學習動機.

人教社章建躍博士認為，深度學習是相對淺層次學習而言的，可以把淺層學習和深度學習作一個對比.從認知的角度來看，從記憶模仿式的學習，到理解掌握式的學習，再到探究創新式的學習，深度學習應該是針對簡單的模仿式學習而言的，深度學習是要使學生有探究和自主創新能力的學習.

在日常教學中如何開展深度學習？筆者認為，微專題能有效促進深度學習，是培養學生深度學習的最佳操作平臺.波利亞曾經指出:“良好的組織使得所提供的知識容易用上,這甚至可能比知識的廣泛更為重要.”微專題教學，以主干知識的一個中心詞為節點，從細微處入手對知識進行拓展，它靈活、實用、有效，不注重知識的覆蓋面，但求對知識的分析和拓展.在“微專題”方式下構建的課堂教學，內容專一，設計精妙，問題處理透徹，學生接受起來更加高效.一方面它提供了深度學習所必需的大環境，另一方面促成學生獲得清晰的數學知識網絡、系統的數學研究方法，為自身數學理性思維素養的逐步提高創造了條件.

2 分段函數的教學建構

微專題設計架構大致可以分成兩類：第一類是以知識為線索，附以能力培養；第二類是以方法為主，附以知識應用和能力培養[1].本課的教學設計屬于前者，即意在將人教A版《數學(必修1)》的知識點“分段函數”作為節點，以概念和性質為載體，整合分段函數的相關知識，通過對“分段函數一類問題”的解決，構建研究“函數一類問題”的基本思路、基本方法和技巧，直至滲透數學思想方法，培養學生形成研究“函數一類問題”的策略.

分段函數是函數知識體系中的一個重要概念，它既有代數的結構，又有幾何的特征.分段函數對高中生來說，形式新穎，綜合力強，思維難度大，要求學生不僅要深刻理解函數概念，還必須具備較好的邏輯推理能力和充足的思想方法儲備，是高中數學學習中的絆腳石.本課通過“問題+例題+練習”的模式，滲透分類討論思想、數形結合思想等思想方法，使學生在具體運用中歸納類比，形成自己解決此類問題的常用解題策略，輕松地搬開這塊攔路石.

2.1 創設情境，構建概念

問題11)分段函數的概念是什么？

設計點評我們一般認為“分段函數是指一個函數在定義域的各個互不重疊的真子區間或點集上，用不同的表達式來表示函數值”.分段函數的準確概念,課本并沒有明確給出,這是教材的一個模糊處理.在查閱了很多資料后,最終生成概念“對于自變量x的不同的取值范圍，有著不同的對應法則，這樣的函數通常叫做分段函數”.這個概念的形成，是函數概念體系下分段函數概念的一脈相承，符合學生的認知表象和情感需求.教師以此作為課堂引入情境，先讓幾個學生自由發言，給出自己對概念的定義，隨后總結不足和缺陷，學生繼續補充發言，最終形成了邏輯嚴密的分段函數概念.整個過程用時3分鐘，師生積極互動，雙向交流通暢，為順利完成教學任務奠定了良好的基礎.

對于構造分段函數，旨在學生自主探究的基礎上，由學生上臺板書、講解，教師點撥提高，借助于他們對基本函數的認知，搭建符合自身的分段函數知識架構，不斷填補知識的漏洞.在構造分段函數的過程中，自身知識的缺陷和思維的閃光點都展示得很充分，教師在走動巡視時，及時糾正發現的錯誤，表揚結構完美的作品，課堂氣氛活躍，思維碰撞的火花四濺，學生參與教學的積極性被調動了起來，主動參與學習的興趣濃厚.

2.2 深入探究，挖掘性質

2.2.1 定義域、值域

問題2求出構造的分段函數的定義域、值域.

歸納分段函數的定義域，是各段函數定義域的并集；分段函數的值域，是各段函數值域的并集.

2.2.2 分段函數的單調性

問題3已構造的分段函數是否是定義域上的單調函數？若不滿足，如何調整使其成為定義域上的單調函數？

歸納若分段函數在其定義域內單調遞增，需滿足兩個條件：首先，每一段都是增函數；其次，相鄰兩段函數中,自變量取值小的一段函數的最大值(或上邊界),小于等于自變量取值大的一段函數的最小值(或下邊界).

練習1已知

且f(x)是R上的單調遞減函數，求實數a的取值范圍.

2.2.3 分段函數的奇偶性

問題4已構造的函數是否具備奇偶性？若不是，能否構造一個分段函數，使其成為奇函數？

練習2已知函數

判斷其奇偶性.

練習3已知函數f(x)為定義在R上的奇函數，且當x>0時，f(x)=2x+x+1，求f(x)的解析式.

設計點評此階段的設計，目的在于讓學生在探究自己構造的分段函數所具有的性質時，結合前期函數性質研究的基本方法，多角度探究它的函數特征，使學生體會到掌握研究函數的基本策略和技巧，從而達到查漏補缺、掃清盲點、理清疑點、切實解決實際困難的目的.

教學設計所選的例題，切口小，針對性強，為學生的深度學習提供了很好的教學資源.練習1的選取，考查的是學生對不連續函數間斷點對單調性的影響；練習2的選取，是學生平時作業中暴露出的數形結合思想缺失的“常見、常做、常錯”類型；練習3的選取，是對學生規范運用概念解題格式的考查，特別是x=0的遺漏情況.通過這些題目，幫助學生建構良好的認知結構，關注自身認知障礙，挖掘出錯誤背后的知識漏洞和思維缺陷，提高了復習的針對性.

2.3 延展教材，感悟本質

練習5試畫出函數f(x)=|x|·(x+2)的圖像.

練習6設x為實數，[x]為不超過x的最大整數，則函數f(x)=x-[x]在R上為 ( )

A.奇函數 B.偶函數

C.增函數 D.周期函數

設計點評有的函數表面上不分段，其實也是分段函數，前期的學習中就接觸過很多.本節所選的例子，源于教材，又高于教材，把隱藏于各個角落中的“蒙塵明珠”找出來，用學生最熟知的例子貼近他們認知的“最近發展區”.

回歸教材，追蹤其在知識結構和編排體系方面的痕跡，挖掘母題，發現聯系，從差異中把握知識生成的過程，探究知識發展的內在線索，以此透視學科各個板塊的內在邏輯和緊密相關性.受限于本設計針對的是高一新生，此環節沒有進一步拓展延伸，如果面對的是更高層次的學生，相信對學生思維的深度發展會起到引領作用.

2.4 歸納提高，品味思想

本節課始終以知識線為明線、思想線為暗線開展：

1)知識線：分段函數的概念、定義域、值域、單調性、奇偶性.

2)思想線：分類討論、數形結合.

練習7已知函數

其中a>0,且a≠1,f(x)在R上單調遞減，且關于x的方程|f(x)|=2-x恰好有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是 ( )

練習10已知函數

其中m>0，若存在實數b，使得關于x的方程f(x)=b有3個不同的根，則m的取值范圍是______.

設計點評學生自己歸納，教師引導合成.3分鐘的小結，凸顯了數學教學重思想的策略，有助于學生學習技能的提高，更通過教師的引導和挖掘，使學生散亂的知識整體化，更加深入地理解分段函數，養成良好的思維習慣.

結尾的處理，教師起到的只是示范和引導作用，教學設計始終圍繞著“利用函數圖像研究分段函數性質”這一主題.縱觀整個過程，教師講解的時間只有10分鐘，學生動手操作的時間非常充足，在實踐中發現自己的問題并解決掉它，有效地開展和鞏固學習，構建屬于自己的知識網絡.學生主動整合分段函數知識架構，構造分段函數研究體系，更加深入地反思，把數學的理性精神貫穿于學習當中.

3 深度學習的反思感悟

本節課的教學設計，來源于浙江省嘉興市姚君依老師的一堂名師展示課.她的設計，充分利用了微專題教學以小見大、見微知著的特點，有效針對學生的認知盲區進行剖析，是促進學生深度學習的很好范例.

人教社章建躍博士提出：“深度學習要高度關注思維，特別是高階思維，但并不意味著不關注結果，結果仍很重要.”上海市曹楊第二中學數學特級教師桂思銘老師也指出：“深度學習應該是和學習相關的，不是僅僅為提一個概念而提出的.”筆者很認同這些觀點,并有以下3點體會:

1)微專題有助于促進學生的深度參與.

深度參與是深度學習的前提.我們總是感嘆學生不能積極參與課堂教學,被動的學習造成了他們思維狹隘,反應速度慢,教師就會覺得自己唱獨角戲更有利于課堂教學的進行.微專題由于涉及的面小，方便學生切入問題的關鍵，學生的分析、討論、探究、展示更有感而發.本堂課中學生自主構造例題，就很好地展示了這一點.學生圍繞著分段函數，高效地參與了教師的課堂設計，同時也進行了知識的建構和數學理性研究能力的培養，激發了自身的潛力，深度參與了課堂教學.

2)微專題有助于促進學生的深度思考.

深度思考是深度學習的重點[2].微專題以小見大，見微知著，此種教學的指導思想就是引導學生結合自身知識體系，針對遇到的問題進行深入研究，通過解決教師設計的種種難關，進而由淺入深、由表及里、在知識的運用中深化認知，提升自己的數學思維和技巧，從而達到舉一反三、化繁為簡的目的，使“精講精練”成為可能.在授課時，學生所舉的分段函數模型鮮活，雖然有著各種缺陷和不足，但是師生交流充分，互動頻繁，尤其是最后4道習題的選取，把分段函數和函數零點、復合函數等知識點有機結合，極大地深化了對分段函數的認知.深度的思維參與帶來了活躍的課堂氣氛，確保了知識的有效傳授，促進了學生群體間以強帶弱、以先帶后的良好學習氛圍，使整個課堂都充滿了學習活力.

3)微專題有助于引領學生的深度反思.

深度反思是深度學習的延伸.微專題的特點強化了學生的思考，但是教師的教學著力點不應該止步于此，更要引導學生從關注解決個別、孤立的問題中走出來，大膽尋找問題的內在聯系，深入反思問題的本質內涵.本堂課的設計中，合理地利用小結，把教材中隱藏的相關內容展示在學生面前，從書本中來，回書本中去，針對學生熟知但是易忽視的內容及時反饋，針對學生出現的問題及時反思，把促進學生形成良好的數學認知結構放在核心地位，把培養學生的觀察和分析能力深耕于日常授課中，如此教學，何愁不能取得良好的長期效益.深度學習是有意義的學習，不是單純的接受，而是在發現基礎上的同化；深度學習是階梯式的學習，強調了進階思維,鼓勵動態前行；深度學習是理解性的學習，強調批判性的思維，強調學習過程的體驗，強調了深度思考的核心地位，這就是對學科本質和知識意義的最好理解.

[1] 錢建良，曹鋼.微專題“含有|x-a|的一類函數問題”的教學設計[J].中學數學月刊，2016(11):16-18.

[2] 曾榮.“微專題”復習:促進深度學習的有效方式[J].教育研究與評論，2016(4):28-34.