相遇和追及問題模型化習題設計與命制探析

鄭行軍

摘要：相遇和追及問題的分析過程涉及多種方法，如解析法、圖象法、結論法、極值法和函數法的組合應用，有一定的靈活性.此類問題的求解要求把握兩個關鍵：一個是同時；一個是同一位置，因此以物體運動的空間和時間的關聯性為基礎建立系統的軌跡模型和問題模型，以歸納的物理模型為解題切入點，是實現高效解題的一個有效途徑.

關鍵詞：相遇和追及；軌跡模型；空間；時間；問題模型

相遇和追及問題是指兩物體能否在同一時刻到達空間的同一位置.解決此問題時，需要根據兩物體的運動情況找出其時間關系、位移關系、速度關系，然后列方程聯立求解[1].因此建構系統的軌跡模型和問題模型幫助學生比較全面地掌握此類問題可能的命題方向和解題策略，是實現高效解題的一個有效途徑.

一、軌跡模型的構建

1.兩物體初始由不同位置出發相向運動構建相向運動軌跡模型

運動量關系：兩物體位移絕對值之和等于初始時刻兩物體的距離（s0=s1+s2）.

2.兩物體初始由同一位置同向運動構建同向運動-同時同地模型

運動量關系：相遇時兩物體運動的位移相同，運動時間相同（s1=s2，t1=t2）.

運動量關系：末時刻兩物體的間距等于運動位移之差，運動時間相同（Δs=s2-s1，t1=t2）.

3.兩物體初始由不同位置出發同向運動構建同向運動-同時不同地模型

運動量關系：相遇時兩物體運動的位移絕對值之差等于初始時刻兩物體的距離，運動時間相同（s0=s1-s2，t1=t2）.

4.兩物體由同一位置不同時刻出發同向運動構建同向運動-同地不同時模型

運動量關系：相遇時兩物體運動的位移相同，兩物體運動的時間之差等于兩物體先后運動的時間間隔（s1=s2，t0=t2-t1）.

5.兩物體由不同位置不同時刻出發同向運動構建同向運動-不同時且不同地模型

運動量關系：相遇時兩物體運動的位移絕對值之差等于初始時刻兩物體的距離，兩物體運動的時間之差等于兩物體先后運動的時間間隔（s0=s1-s2，t1=t2±t0）.

二、問題模型的構建

問題模型1：涉及相遇時的物理量分析

解題策略：①畫出物體運動的軌跡模型，找出物體運動的位移關系和時間關系；②分析運動的規律，選擇適當的運動學公式利用位移關系和時間關系求解.

問題模型2：涉及相距最近（遠）的物理量分析

解題策略：函數法、圖象法[2]、結論法

①根據末速度相等求物體運動的時間；②求出相應時間內物體運動的位移；③由物體運動的軌跡關系求出兩物體的最近（遠）的距離.

問題模型3：涉及物體運動最大速度的物理量分析

解題策略（假設法）：①假設在相遇前，物體先做勻加速后勻速直線運動；②由物體運動的軌跡關系找出兩物體運動的位移關系和時間關系；③分析物體運動的規律，選擇適當的運動學公式求解，由是否有解判斷假設是否成立，物體的速度是否在相遇前已達最大值.

問題模型4：涉及前物做不可逆勻減速直線運動的物理量分析

解題策略（假設法）：①假設前物末速度為零，求出減速至零所需的時間；②計算前物減速至零時，兩物體運動的位移；③畫出物體運動的軌跡，由末時刻物體所處的位置判斷前物減速零時，后物是否已和前物相遇.

問題模型5：涉及恰好不相撞問題的物理量分析

問題特征：恰好不相撞問題應滿足兩個關系[3]：（1）末時刻兩物體相遇；（2）末時刻兩物體速度相等.

解題策略：①利用末速度相等求物體運動的時間；②計算相應時間內兩物體運動的位移；③由運動的軌跡關系求出臨界狀態下的待求量.

三、例題賞析

例1如圖7所示，水平地面上A、B兩點相距x0=8m，甲球從B點以v=2m/s的速度向右做勻速運動的同時，乙球從A點由靜止開始以a=2m/s2的加速度向右做勻加速運動.下列說法正確的是（）

A.乙球相對甲球一直做勻加速直線運動

B.乙球在追上甲球之前它們相距的最遠距離為8m

C.乙球追上甲球用時4s

D.乙球追上甲球時的速度大小為4m/s

解析當乙球速度等于甲球速度時，乙球相對甲球靜止，A錯誤；由問題模型2，設經時間t兩球速度相等，則有v=at，得t=1s；甲球位移x甲=vt=2×1=2m，乙球位移x乙=12at2=12×2×1=1m，得兩球相距的最遠距離Δx=x甲+x0-x乙=2+8-1=9m，B錯誤；設經時間t乙球追上甲球，由軌跡模型-同時不同地模型，有x0=12at2-vt，代入數據得t=4s，C正確；乙球追上甲球時乙球的速度v乙=at=2×4=8m/s，D錯誤.故正確答案為C.

點評本題涉及軌跡模型（同向運動-同時不同地模型），利用結論法分析兩者相距最遠的條件，求出時間.由軌跡模型找出乙球追上甲球時乙與甲的位移之差等于0.8m，由位移公式列式求出時間，由速度時間關系式求出乙球追上甲球時的速度.

例2甲、乙兩汽車正沿同一平直馬路同向勻速行駛，甲車在前，乙車在后，它們行駛的速度均為10m/s.當兩車快要到一十字路口時，甲車司機看到綠燈已轉換成了黃燈，于是緊急剎車（反應時間忽略不計），乙車司機為避免與甲車相撞也緊急剎車，但乙車司機反應較慢（反應時間為05s）.已知甲車緊急剎車時加速度大小為4m/s2，乙車緊急剎車時加速度大小為5m/s2，求：

（1）若甲車司機看到黃燈時車頭距警戒線15m，他采取上述措施能否避免闖紅燈？

（2）為保證兩車在緊急剎車過程中不相撞，甲、乙兩車行駛過程中應保持多大距離？

解析（1）甲車緊急剎車停下所需時間：t1=v0a1=104s=25s，甲車滑行距離：x=v202a1=1022×4=125m，由于x=125m<15m，所以甲車能避免闖紅燈.endprint

（2）本題涉及恰好不相撞問題，臨界條件下甲、乙兩車運動應滿足以下關系：①末時刻兩車相遇；②末時刻兩車速度相等.設甲、乙兩車行駛過程中至少應保持距離x0，在乙車剎車t2時間兩車速度相等，有v0-a1（t0+t2）=v0-a2t2，得t2=2s，乙車運動的位移：x乙=v0t0+v0t2-12a2t22=15m，甲車運動的位移：x甲=v0t0+t2-12a1t0+t22=125m，由題設條件可知兩車軌跡模型為同向運動-同時不同地模型，故x0=x乙-x甲=15-12.5=25m.

點評判斷兩車能否相撞，即判斷兩車在速度相等時是否撞上，因為速度相等前，乙車的速度大于甲車的速度，它們間距離在減小，速度相等后，乙車的速度小于甲車的速度，所以相撞只能在速度相等之前撞，不能根據兩者停下來后比較兩者的位移去判斷.相應的解題思路為：先利用末速度相等求出兩物體運動的時間；再求出在該時間內兩物體運動的位移；然后根據軌跡模型畫出物體運動的軌跡，利用軌跡圖求出臨界狀態下的待求量.

例3甲車以10m/s的速度在平直的公路上勻速行駛，乙車以4m/s的速度與甲車平行同向做勻速直線運動.甲車經過乙車旁邊時開始以05m/s2的加速度剎車，從甲車剎車開始計時，求：

（1）乙車在追上甲車前，兩車相距的最大距離；

（2）乙車追上甲車所用的時間；

（3）若乙車的速度為6m/s，求乙車追上甲車所用的時間.

解析（1）當甲車速度減至等于乙車速度時兩車的距離最大，設減速過程經過的時間為t，則v乙=v甲-at，解得t=12s；

此時甲、乙間距離為：Δx=v甲t-12at2-v乙t=10×12-12×05×122-4×12=36m

（2）設甲車減速到零所需時間為t1 ，則有：t1=v甲a=100.5=20s；在t1時間內，甲車位移：x甲=v甲2t1=102×20=100m；在t1時間內，乙車位移：x乙=v乙t1=4×20=80m，由于x乙

（3）在甲車停下的時間內，乙車的位移x乙=v乙t1=6×20=120m，由于x乙>x甲，可知乙車追上甲車時，甲車還沒有停下.

設乙車追上甲車需要t0時間，在此過程中有：甲車位移x甲0=v甲t0-12at20，乙的位移x乙0=v乙t0，依題意x甲0=x乙0，聯立以上各式解得t0=16s或t0=0（舍），故可知乙車追上甲車需要16s.

點評當兩車速度相等時，兩車間的距離最大，利用結論法根據速度相等條件求出時間，分別求出兩車的位移，兩者之差即為兩物體間的距離；兩車相遇時位移相同，由題設甲車做不可逆的勻減速直線運動，注意減速運動的實際運動情景是速度最小為零，列位移方程求解.

綜上所述，通過物理模型構建的方法實施解題的優點在于：①軌跡模型的構建抓住了相遇和追及問題的軌跡特點，使得在分析不同表象的題目時，能有清晰的軌跡情境，從而簡化了題目信息；②問題模型的構建挖掘了模型中可能存在隱含知識，抓住了問題的本質，提高了解題的應變能力；③兩類模型的構建完善了題型的知識體系，活化了知識結構，實現了聯想思維的有效遷移.

參考文獻：

[1]許文.追及問題的分類解析[J].中學生數理化，2015（09）：29.

[2]滕祖偉.追及問題的深度探究[J].中學物理，2014（01）：73-74.

[3]張生文.追及問題題型的整合[J].理科考試研究，2015（06）：55.

[4]劉玲.例析追擊和相遇問題的解題思想和方法[J].中學物理，2013，31（23）：66-68.