試論函數(shù)圖像中的對(duì)稱性問題

文鵬軻

摘 要：對(duì)函數(shù)圖形中的對(duì)稱性進(jìn)行研究，能夠幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)圖像對(duì)稱性的應(yīng)用。基于此，對(duì)函數(shù)圖像中對(duì)稱性的性質(zhì)進(jìn)行研究，并對(duì)函數(shù)圖像的對(duì)稱性問題進(jìn)行具體分析，其中主要包括正弦函數(shù)的對(duì)稱性、余弦函數(shù)的對(duì)稱性、正切函數(shù)的對(duì)稱性以及反比例函數(shù)的對(duì)稱性四方面內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：函數(shù)圖像；對(duì)稱性；反比例函數(shù)

隨著人們對(duì)數(shù)學(xué)這一門學(xué)科的重視程度越來越高，函數(shù)作為數(shù)學(xué)學(xué)科中重要的組成部分，自然得到了人們廣泛的關(guān)注。函數(shù)圖像在實(shí)際應(yīng)用過程中最為明顯的性質(zhì)就是函數(shù)圖像的對(duì)稱性，在解題過程中，需要利用對(duì)稱性解決大量的數(shù)學(xué)題，與函數(shù)圖像對(duì)稱性相關(guān)的問題更是重中之重。所以，要想提高學(xué)生解決函數(shù)問題的綜合能力，就要對(duì)函數(shù)圖像中的對(duì)稱性問題進(jìn)行詳細(xì)的

研究。

一、函數(shù)圖像中對(duì)稱性的性質(zhì)

若函數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則該函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若函數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則該函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)中的Y軸對(duì)稱，利用這一性質(zhì)能夠解決許多問題。在求函數(shù)圖像對(duì)稱性的過程中，可以將該函數(shù)的圖形在紙上畫出來，并標(biāo)上坐標(biāo)軸。再將函數(shù)圖像移動(dòng)相應(yīng)的位置之后，能夠發(fā)現(xiàn)原函數(shù)以及移動(dòng)后函數(shù)二者之間的關(guān)系，進(jìn)而能夠得到相應(yīng)對(duì)稱中心的坐標(biāo)。另外，還可以利用函數(shù)圖像的對(duì)稱性質(zhì)求得對(duì)稱軸相關(guān)的信息。例如，已知一個(gè)函數(shù)的方程式，該函數(shù)的對(duì)稱軸為X為1，根據(jù)這一信息就能夠得出相應(yīng)的函數(shù)對(duì)稱信息。在解這道題的過程中，可以通過以下三種方法進(jìn)行解答。第一種，特殊點(diǎn)法，該方法是將坐標(biāo)原點(diǎn)帶入到函數(shù)方程式中，加上對(duì)稱軸的已知條件，能夠求出函數(shù)中常數(shù)的具體數(shù)值。第二種，從對(duì)稱點(diǎn)出發(fā)，由于已知對(duì)稱軸的X為1，在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)數(shù)值，利用對(duì)稱性質(zhì)將對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)帶入進(jìn)去，進(jìn)而算出函數(shù)方程中的常數(shù)值。第三種，將常數(shù)的特殊值帶入到方程式中去，分別討論當(dāng)常數(shù)等于0以及常數(shù)不等于0的情況。另外，在此過程中要注意的是，注意函數(shù)的性質(zhì)，確定函數(shù)為奇函數(shù)還是偶函數(shù)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算[1]。

二、函數(shù)圖像中的對(duì)稱性問題

（一）正弦函數(shù)的對(duì)稱性

正弦函數(shù)始終是函數(shù)圖像中的難點(diǎn)問題，在解此種類型題目的過程中，要注意觀察題干中給出的條件，并將條件與圖像相互結(jié)合，這種方式能夠簡化解題步驟。在此過程中要注意將函數(shù)圖像中的中值對(duì)稱點(diǎn)找出，求出圖像與坐標(biāo)軸相交處的坐標(biāo)值，并將其帶入到函數(shù)方程式中，解決相關(guān)問題。另外，函數(shù)圖像中的極值問題也是解決問題的關(guān)鍵。

（二）余弦函數(shù)的對(duì)稱性

余弦函數(shù)圖像的對(duì)稱性與正弦函數(shù)的對(duì)稱性之間具有較為相似的地方，根據(jù)函數(shù)的圖像可以看出余弦函數(shù)中心值的大概位置，中值的點(diǎn)就是該函數(shù)的對(duì)稱中線。接著，將中值為零的情況帶入到函數(shù)中，求得函數(shù)在特殊點(diǎn)的方程式。另外，余弦函數(shù)中的兩個(gè)極值與坐標(biāo)軸中的豎軸相互對(duì)稱，可以根據(jù)此性質(zhì)求出該余弦函數(shù)對(duì)稱軸的方程式。

（三）正切函數(shù)的對(duì)稱性

正切函數(shù)與上面兩種函數(shù)圖像相比具有較大的不同，正切函數(shù)的函數(shù)圖像以中心點(diǎn)為中點(diǎn)，呈中心對(duì)稱，在正切函數(shù)中，沒有軸對(duì)稱，只有中線對(duì)稱。這也是與其他函數(shù)圖像差別最大的地方。另外，正切函數(shù)的圖像與正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像也存在較大的不同，正切函數(shù)的形狀不具有連續(xù)性，而正弦以及余弦函數(shù)的圖像具有較強(qiáng)的連續(xù)性，在解題過程中應(yīng)對(duì)這一問題進(jìn)行重點(diǎn)關(guān)注。函數(shù)圖像的對(duì)稱問題作為函數(shù)課程中的重點(diǎn)以及難點(diǎn)，應(yīng)該得到老師和同學(xué)的關(guān)注，只有將知識(shí)靈活運(yùn)用，才能夠真正提升自身的解題能力[2]。

（四）反比例函數(shù)的對(duì)稱性

反比例函數(shù)圖像為中心對(duì)稱圖形，坐標(biāo)原點(diǎn)為圖形的中心點(diǎn)。對(duì)稱軸符合y=x及y=-x的判定標(biāo)準(zhǔn)。在解題過程中，反比例函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用范圍較廣。對(duì)“求圖形面積”及“存在性問題”的解決，均可依照該性質(zhì)來完成。例：“正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖形相交于A與B兩點(diǎn)。分別以A與B兩點(diǎn)為中心畫圓，假設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），求A與B兩圓的陰影面積之和。”

分析：反比例函數(shù)具有對(duì)稱性，因此A點(diǎn)與B點(diǎn)的坐標(biāo)同樣應(yīng)具有對(duì)稱性。由A點(diǎn)坐標(biāo)可知，B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2）。由于A、B兩圓與y軸關(guān)系均為相切，可知兩圓半徑均為1。依照上述思路，陰影面積即可求出。可見，利用反比例函數(shù)的對(duì)稱性解決函數(shù)類習(xí)題，可將復(fù)雜的問題簡單化，提高解題效率。

隨著人們對(duì)函數(shù)圖像對(duì)稱性問題的重視程度逐漸提高，如何在日常學(xué)習(xí)中將對(duì)函數(shù)圖像對(duì)稱性問題進(jìn)行深入研究，成為有關(guān)人員關(guān)注的重點(diǎn)問題。本文通過對(duì)各種類型函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)其進(jìn)行研究，能使學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像對(duì)稱性質(zhì)形成正確認(rèn)識(shí)，進(jìn)而在解題過程中提高函數(shù)圖像的解題效率。由此可以看出，對(duì)函數(shù)圖像中的對(duì)稱性問題進(jìn)行研究，能夠?yàn)榻窈蠛瘮?shù)圖像對(duì)稱性問題的研究奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王小敏.巧用函數(shù)的對(duì)稱性及輔助函數(shù)作函數(shù)圖像[J].西昌學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，24（1）：40-41.

[2]袁偉.正弦函數(shù)圖像及余弦函數(shù)圖像的對(duì)稱性[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016（1）：45-47.

編輯 高 瓊