弧度制概念構建中管窺數學教學的過程性原則

陳娟

[摘要]有效的數學教學，必定是數學知識發生過程豐富、學生構建有效的知識結構的教學.這就是數學教學的過程性原則.弧度制是數學的一個基本概念，以學生原有的角度制為基礎，以問題打破學生的認知平衡，并創設簡潔的學習情境，可以讓學生經歷一個豐富的弧度制的概念建構過程，從而保證了該概念教學的有效性.

[關鍵詞]過程性原則；弧度制；高中數學

數學教學的過程就是數學思維活動的過程.研究表明，數學思維活動存在于數學概念建構過程、數學規律的探究過程當中.在教學中堅持過程性原則，可以真正讓學生處于學習的主體地位，從而讓數學知識的發生過程得以真正發生.“弧度制”是高中數學知識體系中的一個基本概念，也是學生不太容易理解的一個概念.學生常常會提出一個問題：一個圓周角是360度，其與π怎么會有關系呢？這樣的問題如果要想在概念建構之時得到化解，那就必須堅持過程性原則.本文試就此問題進行闡述.

一、研究學生先前經驗：角度制

毫無疑問，學生最為熟悉的角的表示方式就是角度制，這是學生在義務教育階段的九年學習中積累起來的，在學生的先前經驗中是根深蒂固的.弧度制的教學必須尊重這一先前經驗.尊重學生的知識基礎，這也是弧度制教學體現過程性的重要一步.筆者在教學中是這樣與學生交流的.

首先提出一個問題：給出一個角，你們知道如何度量其大小嗎？這個問題非常簡單，目的就在于激活所有學生（面向全體的原則）的認知——角度制.通常情況下，學生都會輕易地答出：用量角器測量.我緊跟著提出第二個問題：用量角器量出的“度”是怎樣定義的？這個問題相對于前一個問題而言稍顯復雜，因為學生用慣了角度制，卻容易忽視其定義方式.但這個問題通常也難不倒學生，只要稍加點撥，學生即可認識到：1度即為將一周角360等份，然后取其中1份即為1度.在此基礎上，教師用“角度制”概括前兩個問題的討論結果，并提出新的問題：角度制中為什么采用360等份？為什么不采用更常見的100等份？“度”下面還有“分”和“秒”單位，它們的進制有的是十進制，有的是六十進制，這是不是一種矛盾？這幾個問題是學生所沒有思考過的，但學生用一兩分鐘的時間思考之后便又發現確實是個問題，而且還是存在著一定不合理性或者說矛盾的問題.

遇到這種矛盾怎么辦？教師可以引導學生認識到有兩個選擇：一是修改原有的方法；二是建立新的辦法.這是一個方法論的問題.等學生認識到這一點之后，教師再提出數學上為了彌合這種矛盾且讓進制變得統一，通常采用的辦法是引入新的描述角的方法.

上面幾個問題在教學中具有承上啟下的作用，既幫學生鞏固了先前經驗，又讓學生發現了矛盾，從而打破了原有的認知平衡.這種平衡一旦被打破，學生對新的學習就有了明顯的動機.

二、尋找新的表示方式：弧度制

如果說上一環節使學生有了新的學習動機的話，那如何為弧度制的引入創設一個恰當的情境，則是面臨的新的問題.數屆學生的教學實踐讓筆者認識到，此時的情境創設不宜過于復雜，甚至也不能過于生活化.因為筆者發現如果情境過于生活化、過于復雜，不但浪費了時間，還會讓學生的注意力發生轉移，這對數學概念的建構來說是一個相當消極的影響.這一教學認識與理論之間可能存在一些矛盾，因為很多情況下學習情境都是強調生活性的，但實踐還是讓筆者得到上面的結論，并且堅信其是符合高中數學教學實際的.在這一思路下，筆者給學生提供了這樣的一個情境：在黑板上任意畫出一個銳角，并提出問題：如果不用量角器，即不用角度制，那應當如何表示其大小呢？

這個情境與前面復習時問題中的素材是一樣的，但問題給出的條件是不同的.不用量角器實際上也就是不用角度制，不用角度制意味著原有的研究角的方法不可用了.于是情境所催生的問題就很明確了，要尋找一種新的表示角的方法.既然是一種方法，那就必須具有普遍意義，就要尋找變與不變的關系.通常情況下，學生的思路是不容易突破的，這個時候教師可以發揮教的作用.筆者的做法是用圓規一腳固定在該銳角的頂角處，然后任選三個長度為半徑，作出三個同心圓，于是這個銳角就成為這三個同心圓的圓心角.畫完之后稍作停留，看學生的反應.

如果不出意外，此時班上數學基礎好的學生會有所感悟，盡管他們可能一下子還不能從弧度與半徑的關系去尋找新的描述角的方式，但一定會有所發現.此時可以以小組合作的方式，先讓學生進行討論（通常分組時，這些尖子生就分散在各個小組，因此每個小組都會在他們的帶領之下獲得新的理解）.小組討論并交流完畢之后，教師進行下一步的引導，實際上也就是提出問題：同一個角對應著三個不同的圓，反過來就是三個不同的圓對應著同一個角，這種“同”與“不同”的背后，是不是存在著某種可以描述角的方式呢？基于剛才的討論，基于這一問題的驅動，學生就比較容易發現同一個角所對應的“弧”與“半徑”雖然是不同的，但是它們的比值卻是相等的.相等意味著定值的存在，而定值在數學中常常都是有代表意義的，而這就意味著一個角所對應的弧與半徑的比可以成為新的表示角的方法.

經驗表明，此時是需要停頓的，是需要留出時間讓學生內化的——角度制是可用量角器量的，有感性經驗，已經成為學生的直覺，而新的方法只是邏輯推理的結果，感性經驗相對不足，這必然會產生文章開頭提到的困惑，這個困惑最好的化解時機，就是此時（弧度制的數學語言描述，這里不再贅述，因為其與傳統教學思路已經趨于一致）.

三、思維過程循序漸進：過程性

在上述兩步教學中，先放大了學生的原有先前經驗，后又通過問題的提出使學生的認知處于矛盾與失衡當中，從而產生對新知的學習動機.在學習動機的作用下，通過簡潔的學習情境的提供，使得學生發現了新的定義角的方法，于是弧度制順利形成.

事實證明，這是一個非常符合學生認知習慣的過程，學生在這個過程中會遇到困惑，但困惑的解決過程也是順利的.更重要的是，經過這樣的教學過程，學生對弧度制的認識是全面的，理解是深刻的，他們沒有那種被生硬地強行灌輸式的感覺，用有些學生的話說：“弧度制也沒什么復雜的，就是換一種方式描述角嘛！”而這樣的理解，也恰恰是筆者所追求的.

進一步分析還可以發現，在上述教學過程中，學生的思維其實是循序漸進的，他們沒有因為學習過程中出現突兀的情形而思維被阻礙，也沒有因為教師過多的講授而使思維處于被動接受的狀態.這種過程性對于高中數學教學來說，是極為重要的.因為在教學實踐中筆者總發現相當一部分學生的數學學習總受制于思維，而思維的不暢又很大程度上是教學設計存在問題.學生主體性的缺失，學生思維缺少載體，思維存在較大的跨度而沒有梯度等，都會成為思維阻塞的原因.而只要真正從思維的過程性角度思考，真正從學生認識一個數學概念或規律的過程角度思考，就會比較準確地預設到學生可能存在的問題，從而在教學中就可以對學生出現的問題進行有效的化解，或者說能夠讓學生在一個更為合理的過程中有效地完成自主建構.弧度制在高中數學知識體系中說難不難，說易卻也不易，因為這個概念與角度制之間不存在知識上的太多聯系（角度制與弧度制的換算其實在高中數學中涉及不是很多），方法上也不存在太多的相通的地方，僅僅是它們研究的目標相同而已，這就意味著這一概念的教學需要重新塑造一個適合學生思維的教學過程，而以上的描述就是筆者的嘗試，應當說這樣的教學設計還是有一定的效果的.

總而言之，高中數學教學中體現過程性，其實就是讓知識的發生過程更豐富一些，讓學生的思維階梯再合理一些.如此，無論是數學概念還是數學規律，都會真正融入學生的原有認知當中.

（責任編輯 黃桂堅）endprint