談談對《幾何概型》的教學設計

龐博慶

[摘要]《幾何概型》是新課改教材增添的新內容，研究其教學設計有現實意義.

[關鍵詞]幾何概型；古典概型；教學設計；游戲

我曾有幸參加了由廣西教育廳主辦的"2013年廣西中小學教師教學技能大賽”，獲得了一等獎.我上課的課題是《幾何概型》.這節課是新課改教材增添的新內容.從選課題、備課、磨課、比賽，我感想很多，收獲很大.下面我談談對《幾何概型》的教學設計.

一、理論依據

本節課以自由建構主義基本理論為指導，以新課標五個基本理念為依據進行設計.幾何概型的教學首先要使知識背景貼近學生實際.其次，要激發學生的學習熱情，把學習的主動權交給學生，為他們提供自主探究、合作交流的機會，切實改變學生的學習方式.

二、教材和學情分析

1.教材分析.“幾何概型”是安排在“古典概型”之后的第二種概率模型，是對古典概型的進一步拓展.幾何概型主要是把概率問題與幾何問題結合起來，用數形結合的思路解決概率問題.學生通過學習，可以加深對隨機現象的理解，消除日常生活中的一些錯誤認識，學會用科學的方法觀察世界和認識世界.

2.學情分析.學生在高一已經具備了初步的數學建模意識，前一節課的學習使學生能夠把一些實際問題轉化為古典概型.在此基礎上，結合游戲的設計來類比古典概型的知識，讓學生通過對四個游戲實驗的觀察分析，提煉它們共同的本質，從而親歷幾何概型的構建過程.在解決問題中，給學生尋找發現、討論交流、合作分享的機會.

三、教學重難點

1.教學重點.掌握幾何概型的判斷和幾何概型的計算公式.

2.教學難點.幾何概型的判斷及利用幾何概型解題

四、教學過程

為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，我把教學過程設計為四個階段：設計情境、引入新課，類比歸納、探究新知，學以致用、拓展思維，歸納小結、布置作業.具體過程如下.

（一）設計情境，引入新課

教師PPT出示如圖1所示的沃爾瑪迎國慶節促銷活動的宣傳單.

問題1：飛鏢盤由兩個半徑分別為10 cm和20 cm的同心圓組成.現向圓盤投擲飛鏢，假設飛鏢都能射中圓盤，且射中圓盤上每一個點都是等可能的，則射中紅色區域的概率是多少？

[師生活動]四個學習小組設計的飛鏢游戲各不相同，結合多媒體演示、實物投影，學生進行了展示.

[設計意圖]知識只有通過學生自身的“再創造”活動，才能納入其認知結構中，才可能成為下一個有效的知識.

各學習小組展示各自的設計并分析.

1.第一組展示設計并分析

（1）第一組所設計的游戲.游戲1如圖2（a），將圓盤等分成四個扇形區域.假設飛鏢射中圓盤上的每一個扇形都是等可能的，則射中紅色區域的概率是1/4.

（2）第一小組學生分析.所設計的游戲是古典概型.因為飛鏢等可能地落在這四個區域.整個實驗共有4個基本事件，而射中紅色區域只有一個基本事件，所以所求概率為1/4.

[設計意圖]引導學生復習前面學習的古典概型的特點和計算公式.為啟發學生用類比思想進行研究新的概率模型做鋪墊.

（3）教師總結：從這個問題可以看得出，研究一個概率問題得先研究基本事件.這是研究概率問題的出發點.

2.第二組展示設計并分析

（1）第二組所設計的游戲.游戲2如圖2（b），將圓盤等分成四個扇形區域.假設飛鏢射中圓盤上的每一個點都是等可能的，則射中紅色區域的概率是1/4.

（2）第二組學生分析.和第一組在設計上有所區別，本組強調的是“射中圓盤上的每個點都是等可能的”，而第一組強調的是“射中圓盤上的每個扇形都是等可能的”，這就導致了基本事件數的不同.第一組的基本事件數是4個，是古典概型，而我們所設計的游戲基本事件是無限個，不是古典概型.但可以用紅色區域來代替無數個基本事件數.因此所求概率就是通過紅色區域占整個圓盤的四分之一來求.

[設計意圖]雖然圖形一樣，但所設計的游戲不同，這就是從根本上來研究古典概型和新的概率模型的區別.從而引起學生思維上的沖突，使他們主動、迫切地想研究新的概率模型.

（3）教師總結：第一組和第二組的區別在于基本事件數是有限和無限.第二組同學巧妙地用“區域面積”來代替了“無限多個點”，解決了不是古典概型的問題.

3.第三組展示設計并分析

（1）第三組所設計的游戲.游戲3如圖2（c），飛鏢盤由兩個半徑分別為10 cm和20 cm的同心圓組成.假設飛鏢射中圓盤上每一個點都是等可能的，則射中紅色區域的概率是1/4.

（2）第三組學生分析.其分析和第二組的一樣，用區域面積來代替無數個基本事件，所求概率就是用小圓和大圓的面積比得到.

4.第四組展示設計并分析

（1）第四組所設計的游戲.游戲如圖2（d），飛鏢盤由兩個半徑分別為10 cm和20 cm的圓組成.假設飛鏢射中圓盤上每一個點都是等可能的，則射中紅色區域的概率是1/4.

（2）第四組學生分析.其設計和第三組一樣，但其所求概率和紅色區域的位置無關，只與面積比有關.

[設計意圖]引發學生研究這兩個游戲，讓學生知道新概率模型問題的關鍵與紅色區域的位置無關，新的概率模型的概率與紅色區域的形狀無關.

（3）教師總結：當遇到基本事件數是無限個的時候，可用區域面積來代替無限個基本事件.當陰影區域面積改變時，概率也跟著改變，概率與陰影區域的位置、形狀無關.

問題2：如圖3，取一根長度為3 m的繩子，將繩子拉直后，在繩子上隨機選擇一點，在該點處剪斷.記“剪得的兩段的長都不小于1 m”為事件A，那么事件A發生的概率是多少？endprint

問題3：如圖4，假設有一杯1升的水，其中含有1個細菌，用一個小杯從這杯水中取出0.1升，求小杯水中含有這個細菌的概率.

[設計意圖]問題2和問題3分別是以長度之比、體積之比來求概率的.在這三個問題中，我們始終將對“基本事件”的分析作為解決概率問題的著眼點，進一步從等可能性和無限性兩方面來區別古典概型與幾何概型，深化學生對幾何概型基本特征的認識.

（二）類比歸納，探究新知

思考：上面三個概率問題有什么共同點？

學牛比較分析，歸納總結，從中發現規律.根據學牛的歸納，教師類比古典概型的定義、特點、計算公式對幾何概型的內容進行描述.

1.幾何概型的定義

如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型.

2.幾何概型的特點

（1）試驗中所有可能出現的基本事件有無限多個.

（2）每個基本事件出現的可能性相等.

（三）學以致用，拓展思維

[例題]下列概率問題中哪些屬于幾何概型？

（1）擲一枚骰子，求點數為奇數的概率.

（2）從一批產品中抽取30件進行檢查，有5件次品，求正品的概率.

（3）某人午休醒來，發覺表停了，他打開收音機想聽電臺整點報時，求他等待的時間短于10分鐘的概率.

[設計意圖]進一步加深對幾何概型概念的理解.學生回答第一、二個問題比較容易，第三個問題比較模糊.教師加以引導，讓學生加以區分.判斷第三個問題是幾何概型.如何求其概率？可以從多少個角度來求？再次加深對幾何概型的理解.再引導學生從角度、面積、弧長三個方面來求其概率.這能起到鞏固和升華作用.

（四）歸納小結，布置作業

1.歸納小結.請學生談談對這節課的收獲.幾何概型是區別于古典概型的又一概率模型，使用幾何概型的概率計算公式時，一定要注意其適用條件：每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度成比例.

2.布置作業.

必作題：課本習題3.3A組1、2、3.

選作思考題：兩人相約8點到9點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時就可離去，試求這兩人能會面的概率.

[設計意圖]1.讓學生回顧、小結，將對學生形成知識系統產生積極影響；2.根據新課改的理念在作業上體現公平性，讓不同層次的學生都得到充分的發展.

以上就是我對《幾何概型》這節課的教學設計，肯定有很多的不足，望同行們指出不足！

（責任編輯 黃桂堅）endprint