求解直線問題有竅門

熊杰

直線是解析幾何所研究的基本對象之一，我們就以與直線相關的問題為例，談談解題中的注意點及方法選擇，助你掌握此類問題的解題竅門.

一、選哪種形式好

直線方程有五種形式，各有各的特點，在使用的時候要根據條件合理選擇，同時還不能忽略各種形式的適用范圍.

例1 求過點A（1，2）且在兩坐標軸上截距相等的直線.

錯解 由直線在兩坐標軸上截距相等，設直線方程為想x/a+y/a=1，代人點A（l，2），得a=3，直線方程為y=-x+3.

此處使用截距式看似簡單直接，其實隱含了一個不能忽略的要點，即直線方程的截距式在使用時是有限制的，它所表示的直線不能垂直于坐標軸，也不能過原點.因此本題在求解時應該對這兩種情況進行單獨討論.

解答補充 當截距為0時，直線過原點，滿足題意，直線方程為y=2x，

所以直線方程為y=2x或y=-x+3.

當然本題還可以用另一類直線方程求解，因為所求直線上一點已經明確，因此為了減少未知參數，我們可以采用點斜式來求解.但在使用點斜式時要注意是否有直線斜率不存在的特殊情況.

另解 由題意，直線斜率存在，設直線方程為y-2=k（x-1），

當x=0時，y=2-k，當y=0時，x=1-2/k

2-k=1-2/k，解得k=2或-1

所以直線方程為V=2r或y=-x+3.

此兩種方法均為代數法解答，即為設直線方程并求參數的基本方法，區別僅在于運用了不同形式的直線方程進行運算，兩種方法各有特點，同學們要仔細體會，當然，如果你看出了本題的幾何背景，那么也可以用幾何解法求解，

變式 已知直線l過（0，1），且點A（-3，-4），B（6，3）到直線l的距離相等，求直線l的方程.

鑒于幾何圖形的直觀特點，本題很多同學想要用幾何的方法來解題，但同時也出現了很多問題.

幾何解法分析：

如圖1，本題的直線l存在兩種情況，它既可以是一條平行于AB的直線，也可以是一條過AB中點的直線，在分析過程中，有一些同學出現了漏解的情況，有的只注意到平行于AB的直線，有的只想到過AB中點的直線，思考不全面讓他們失分.而直接用代數的方法求解則可避免這種失誤，也就是說解析法可能更加適合這類問題.二、不能忽略圖形

例2 已知直線z經過直線l₁：2x+y5=0與l₂：x-2y=O的交點.

（1）若點A（5，O）到l的距離為3，求l的方程；

（2）求點A（5，O）到l的距離的最大值.

）， 解 （1）由2x+y-5=0，x-2y=0解得交點P（2，1），

當直線斜率k不存在時，直線l：x=2，此時l到點A距離為3；

當直線斜率k存在時，設直線方程y

（2）由交點P（2，1），如圖2，過P作任一直線l，設d為點A到l的距離，則d≤PA（當l⊥PA時等號成立）.

例3 如圖3所示，已知兩點A（4，o），B（0，4），從點P（2，0）射出的光線經直線AB反射后再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到P點，求光線所經過的路程.

本題若想分別計算三段光線的長度顯然是不合理的，由光學作圖中的對稱性原理可知做出如下的圖形即可很便利地求解光線所經過的路程，

常見的作圖有如下兩種情況，

如圖4所示，做P關于直線AB的對稱點P₁，再做p關于y軸的對稱點P₂，P₁P₂長度即為所求路程.

如圖5所示，做P關于直線AB的對稱點P₁，再做P₁關于y軸的對稱點P₃。，P₃P長度即為所求路程.

兩種作圖方法均利用了圖形對稱性的原理將原本不在一條直線上的三段路程轉化到一條直線上求解，

后續的問題就只要求出相應的對稱點坐標即可，首先我們利用線段P₁P被直線AB垂直平分的特點，先求出P₁的坐標.

解 設P₁（x₀，y₀），l_AB：y=-x+4，

由直線AB垂直且平分線段PP₁，得y₀/x₀-2）×（-1）=-1 y₀/2=-（2+y₀）/2+4解得P.（4，2），關于y軸的對稱點很特殊，很快可得P₂（-2，0），P。（-4，2）.

除了點的對稱問題我們還會碰到直線的對稱問題，其實只要關注直線上的一些特殊點，這種對稱問題的本質也可以轉化到點的對稱上來求解.

笛卡兒曾經說過：“我想尋求一種新的，包含兩門學科的好處，而義沒有它們缺點的方法.”解析幾何包含了兩門學科的優點，我們所要做的就是找出這些優點，讓它們為我所用.endprint