這道題寓意深遠

渠東劍

課本上有一道練習題：

求證：無論k取任何實數，直線（1+4k）x-（2-3k）y+（2-14k）=O必經過一個定點，并求出定點的坐標.

一、解法

思路1 既然對任何實數k，直線（1+4k）x、（2-3k）y+（2-14k）=0必經過一個定點，意味著所有的（無窮多條）直線都過同一個定點，特別地，取兩條特殊的直線，也要經過該定點，這兩條直線相交，其交點就是該定點.這樣可以得到該定點的坐標，然后驗證所有直線都過該定點.

比如，取k=0，k=l，由此可得兩條直線交點為（2，2），將（2，2）代入方程（1+4k）x（2-3k）y+（2-14k）-o成立，即是取任何實數，點（2，2）都在直線（1+4k）x-（2-3k）y+（2-14k）=o上，也就是直線過定點.

思路2 變換視角，變更主元.視k為主變元，可得（4x+3y-14）k+x-2y+2=O，因為對任何實數k都成立，所以4x+3y-14=0，x-2y+2=0

解之得x=2，y=2.即點（2，2）恒滿足直線方程（1+4k）x-（2-3k）y+（2-14k）=o，從而結論成立.

二、思想方法

思路1 特殊化思想.任意的成立，則特殊的成立，再去驗證一般情形成立.如果這里不去驗證，則不能下結論對任何實數都成立.其中蘊含“特殊化”思維策略，即“一般一特殊一驗證一一般”.

思路2 變換問題視角.變更主變元，將關于x，y的不定方程轉化成關于k的恒等式.由關于x，y的方程到關于k的恒等式，蘊含主要矛盾與次要矛盾的轉化，這是解決問題的重要策略，

還要深刻理解問題的本質——體會變化過程中的不變.在這里k為任何實數，k是變的，直線是變的，有無窮多條，但這些直線恒過定點，這是不變的.直線過定點是變化過程中的不變，這是本題的數學本質，也是解析幾何研究的重要內容.也就是說，變化的是直線（原因是k變化），不變的是直線過定點（直線束）；從代數視角，聚焦字母足，變化的是足（參變數），不變的是兩邊恒等，進而可得對應系數相等；從方程視角，方程（1+4k）x -（2-3k）y+（214k）=0可被看成是關于x，y的二元一次方程，該不定方程有無窮多個解，但無論其系數如何變化（原因是k變化），這個方程都有唯一確定的解.

由此說開去，更一般的，數學所研究的，一般都是不變的、有規律性的對象.而這種不變，是相對于變化而言的，是基于變化而得到的.探索變化中的不變，是永恒的追求，充滿智慧，富有哲理……例如，圓的本質就是無論動點怎樣變化，它到一定點的距離總等于定值；直角三角形中的三角函數，只要銳角確定，三角形可以變化，但其對邊與斜邊的比值不變；一條定直線上的點運動變化，但這條直線的方向卻是一定的……

三、嘹望高考

信手拈來高考解析幾何題，幾乎都是用解析法去研究“變化過程中的不變”.如果從所研究方法、思維策略等層面理解，這些題目如出一轍：無論題目的知識背景如何，也不管是何種類型的問題，從所要研究的問題的本質分析，都不外是研究變化過程中的不變.這些不變的可以是量的不變（如定值問題），也可能是幾何位置的不變（如曲線過定點），抑或是相關結{的不變…一

這里，僅以2008年至201 6年高考江蘇卷解析幾何大題為例，摘錄其中的一些典型問題分析，把握其要解決問題的本質，以說明上述觀點.雖然同學們還沒有學習圓錐曲線，對這些題目難以理解解決，但可以窺探其中的“變中之不變”的本質，從而，更深刻地理解本文所談的這道題目意蘊深遠——

2008年，圓C是否經過定點（與b無關）.

2009年，存在無窮多對直線，使……（與直線斜率無關）.

2010年，求證直線MN必過x軸上一定點（與m無關）.

2011年，對任意的k>0，求證：PA上PB（與k無關）.

2012年，求證PF₁+PF₂是定值（與A點無關）.

2013年，求變化的范圍，不變的是兩網總相交.

2014年，橢圓“大小”可變，不變的是“形狀”（離心率）.

201 5年，探求變化中的“那個”（長度關系）時刻.

201 6年，求范圍，使得變化過程中，總有條件（平行）成立，

愿這道題能生根發芽，枝繁葉茂，開出美麗的解析幾何思想方法之花！endprint