舉題說法：“直線、圓”典型問題探究

徐茂炳

【編者的話】親愛的同學們，解析幾何的本質是利用代數方法解決幾何問題，這類問題的突破口往往是圖形，然后把問題“臺階式”分解，達到化大為小的目的.希望今天的探究能幫助大家突破直線和圓方面的難點.

1.已知△ABC的一條內角平分線CD的方程為2x+y-1=0，兩個頂點為A（l，2），B（ 1， 1），求頂點C的坐標.

同學們，題目要求我們求出點C的坐標，一般情況我們先設出其坐標，然后如何利用角平分線建立等量關系呢？初中我們知道“角平分線上的點到角的兩條邊距離相等”，從這個結論出發求解的難點是什么？（直線AC，BC方程比較復雜）那么角平分線還有什么性質呢？

請問，“已知三角形兩個頂點A，B和另一頂點C的角平分線，我們如何作出頂點C？”我們可以作A關于直線l的對稱點A'，然后直線A'B和l的交點即為點C.

解 設點A關于直線的對稱點A'（m，n），則直線2x+y-1=0是線段AA'的中垂線，所以（n-2）/（m-1）=1/2，2×（m+1）/2+（n+2）/2-1=0，

即m-2n=-3，2m+n=-2

解m=-7/5，n=4/5.所以A'（-7/5，4/5）

（這個方程組怎么來的？中垂線即垂直平分線，垂直利用斜率，平分利用中點）

因為B（-l，-1），所以直線BC的斜率為9/2，所以直線BC的方程為y=-9/2x-11/2.所以聯立方程組y=-9/2x-11/2，2x+y-1=0，解得x=-13/5，y=31/5，所以點C的坐標為（-13/5.31/5）

2.求證：四點A（O，1），B（2，1），C（3，4），D（-1，2）共圓.

同學們，如果給你四個點，你如何判斷四點共圓？

思路1，根據不共線的三點共圓，我們可以求出其中三個點構成的圓的方程，然后用第四個點檢驗；思路2，四邊形對角互補.

那么從計算角度來說，思路1比較好操作.已知三點求圓的方程，我們可以設一般方程，然后解三元一次方程組，也可以聯立垂直平分線的方程組（尺規作圖的過程）.

證明 因為A，B，C三點不共線，（為什么交代這個？這三點的選擇有沒有要求呢？）

所以設過A，B，C三點的網的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=O，

（如果設方程（x-a）²+（y-b）²=r²，r>O，則先求線段AB和線段AC的中垂線，請同學們自己試試看，并比較解法間的難易）所以，代入得1+E+F=0，5+2D+E+F=0，25+3D+4E+F=0

解得D=-2，E=-6，F=5所以網的方程為X²+y²-2X-6Y+5=0.

因為D（-1，2）代入網的方程滿足1+4+2-12+5=0，所以A，B，C，D四點共圓.

3.過點P（3，0）有一條直線Z，它夾在兩條直線l₁：2x-y-2=0和l₂：x+y+3=0之間的線段恰好被P平分，求直線l的方程.

題目要求我們已知一點P求直線l的方程.一般情況我們設其斜率為k（這時候容易漏掉斜率不存在的情況，這是點斜式的缺陷），然后聯立方程組，由直線l和l₁.求點A，直線l和₂：求點B，利用AB的中點為P即可解答，

解 設直線l與₁，的交點為A，直線l與l₂：的交點為B.

當Z的斜率不存在時，A（3，4），B（3，-6）不成立（同學們，防止漏掉斜率不存在的情況）；

當l的斜率存在時，設直線Z的方程為y=k（x-3），2x-y-2=0，y=k（x-3），解得x=（3k-2）/（k-2），y=4k/（k-2），所以A（（3k-2）/（k-2），y=4k/（k-2））由x+y+3=0，y=k（x-3），解得x=（3k-3）/（k+1），y=6k/（k+1），所以B（（3k-3）/（k+1），-6k/（k+1））

（方程組中把k看成常數，解方程組是這道題的難點，消元求解）

因為P為線段AB的中點，所以4k/（k-2）-6k/（k+1）=0.

（這個等式是利用A，P，B縱坐標的關系，橫坐標可以嗎？）

由題意可知k≠0，所以k=8，所以直線l的方程為y=8（x-3）.

這種解法思路比較自然，利用點斜式，難點在于求解A，B的坐標.但是我們如果直接設A，B的坐標呢？

解 設A（a，2a-2），B（b，-b-3），（因為A，B分別在直線l₁，l₂上）

因為P為線段AB的中點，所以有

a+b=6

2a-2-b-3=0

所以a=11/3（為什么只要求點A即可）

則A（11/3，16/3），由P（3，o）可知斜率為k=8，所以直線l的方程為y=8（x-3）.

這種解法計算過程比較簡單，回避了聯立方程組求解的過程.從直線的構成要素（點）出發，直接設點，然后利用中點求解，方法比較巧妙，

探究 同學們，根據上題，你能否利用初中所學的知識解釋：“當P為中點時，△ABM的面積最小”？

解釋 過點P任意作一條直線分別交l₁，l₂于點D，E，過點B作/.的平行線交直線DE于點F₁，l₁，l₂交于點M，下面證明S△ABM<△SDEM.

由S△_ABM—S_{四邊形DPBM}+S_APD

=S_{四邊形DPBM}+S△P_PFB

=S_{四邊形DFBM}，

知S△_DEM一S△S_ABM>0，結論成立.endprint