漫談待定系數(shù)法

仝建

待定系數(shù)法是求直線及圓的方程的重要方法之一.一般需根據(jù)已知曲線類型，先設(shè)出方程表達(dá)式，然后由所給條件來確定未知系數(shù)，這樣的方法就叫待定系數(shù)法，

下面結(jié)合幾個(gè)例子給同學(xué)們談?wù)勅绾问褂么ㄏ禂?shù)法求解相關(guān)的問題.一、求直線的方程

例1 直線z過點(diǎn)（5，10）且到原點(diǎn)的距離為5，求直線l的直線方程.

點(diǎn)評(píng) 直線的點(diǎn)斜式方程是使用頻率較高的一種直線方程形式，在使用時(shí)，需要考慮斜率是否存在，只有當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，才可以設(shè)其為點(diǎn)斜式方程，

另外，最后作答時(shí)，若沒有特別說明，一般需將直線的方程寫成一般式.

例2 已知直線z過點(diǎn)M（3， -4），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程.

解析 若直線z過原點(diǎn)，則k=-4/3，所以y= -x，即4x+3y=0.

若直線l不過原點(diǎn)，因?yàn)閘在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以設(shè)直線l的截距式方程為x/a+y/a=l，即x+y=a.

又因?yàn)閘過點(diǎn)M（3，-4），所以a=3+（-4）=-1，所以直線l的方程為x+y+1=0.

綜上知，直線l的方程為4x+3y=0或x+y+1=0.

點(diǎn)評(píng) 在求直線方程時(shí)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑兄谶\(yùn)算的簡(jiǎn)化.例2中當(dāng)l不過原點(diǎn)時(shí)，使用直線的截距式方程較方便.

同樣也需要注意截距式方程的適用條件，只有當(dāng)縱橫截距都存在且均不為零時(shí)才能使用，

例3 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心C在l上，也在直線y=x-1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程.

解析 由圓心C是直線y=2x-4和y=x-1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C（3，2），所以過點(diǎn)A作圓C的切線斜率必存在.得k=0或k=-3/4.

故所求切線方程為y=3或3x+4y12=0.

點(diǎn)評(píng) 本題設(shè)直線的斜截式方程，與點(diǎn)斜式方程一樣，也需在直線斜率存在的條件下才能使用，

二、求圓的方程

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)條件選擇恰當(dāng)?shù)膱A的方程（標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程），會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.一般的，條件中給出圓心、半徑的信息較多時(shí)，設(shè)網(wǎng)的標(biāo)準(zhǔn)方程會(huì)更方便.

例5 圓c通過不同的三點(diǎn)P（k，0），Q（2，0），R（O，1），已知圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為1，求圓C的方程.

解析 圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=O，則易知k和2為x²+Dx+F=O的兩根，

由韋達(dá)定理，可知k+2=-D，2k=F，即D=-（k+2），F(xiàn)=2k，

義網(wǎng)過點(diǎn)R（O，1），故1+E+F一0.所以E一 2k 1.

故所求網(wǎng)的方程為x²+y²-（k+2）x（2足+1）V+2k一O，從而可知圓心坐標(biāo)為（（k+2）/2，（2k+1）/2）.

因?yàn)閳AC在點(diǎn)P處的切線斜率為1，所以k_CP=-1=（2k+1）/（2-k），解得k=-3.

所以D=l，E=5，F(xiàn)=-6.

故網(wǎng)C的方程為x²+y²+x+5y6=0.

點(diǎn)評(píng) 已知圓上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)信息，通常設(shè)圓的一般式方程更方便，例5中還需注意圓的幾何性質(zhì)（過切點(diǎn)的直線與圓心和該切點(diǎn)的連線垂直），建立方程求出未知參數(shù).

圓的幾何性質(zhì)還有很多，較常用的是垂徑定理，直徑所對(duì)的圓周角為直角等，熟知這些性質(zhì)有助于建立方程，求解未知參數(shù)的值.

二、總結(jié)

請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下，待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程.使用待定系數(shù)法解題的基本步驟有三步：

第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的一般解析式；

第二步，根據(jù)待定系數(shù)的個(gè)數(shù)和恒等的條件，列出一組（一般與待定系數(shù)的個(gè)數(shù)相同）含待定系數(shù)的方程；

第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使所求問題得以解決.endprint