三角形中的直線方程

劉衛(wèi)東

本文將通過一系列與三角形相關(guān)的解析幾何問題，來展現(xiàn)直線方程的性質(zhì)與選擇，兩直線平行和垂直的性質(zhì)等內(nèi)容.希望能拓展同學們解這類題型的思路，掌握這類題型的解題方法，

一、直線過定點與坐標軸圍成

三角形

1.已知三角形的形狀，求解直線方程

這樣的問題可以根據(jù)三角形的形狀選擇合適的直線方程來解決，其中用到了待定系數(shù)法求直線的方程.

例1 求經(jīng)過A（3，4）且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形的直線方程.

分析 該直線與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，即該直線的斜率為±1.

解 方法一：由題意可知，所求直線的斜率為±1，義所求直線過A（3，4），由點斜式得V-4=±（x-3），

所求直線的方程為x-y+l=0或x+y-7=0.

方法二：由所求直線與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形可得，該直線的截距存在，分截距相等和截距互為相反數(shù)兩種情況.

設(shè)直線為x/a+y/a=l或x/a+y/（-a）=l，

又因為直線過點A（3，4），代人方程三+y/a=l和x/a十y/（-a）=1得a=7及a=-1，

所求直線的方程為x-y+l=O或x+y-7=0.

點評 本題考查了五種直線選擇，所求直線與坐標軸圍成等腰直角三角形，故選擇截距式或點斜式有利于快速解決.

2.已知三角形的面積，求解直線方程

這樣的問題可利用直線在兩坐標軸上的截距，再將截距轉(zhuǎn)化為距離，從而得到三角形的面積來解決，

例2 求經(jīng)過點A（3，4）與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形的面積為25的直線方程.

分析 直線過點，所求直線可以用點斜式或截距式求解.

解 方法一：設(shè)所求直線方程為x/a+y/b=1，則a>o，b>0.

由直線過A（3，4）且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為25可得

3/a+4/b=1，

a=5，

a=15/2

1/2ab=25，

b=10，

b=20/3

所求直線的方程為x/5+y/10=1或2x/15+3y/20=1即2x+y-l0=0或8x+9y-60=0.

方法二：由題意設(shè)直線為y-4=k（x3），k<0，

令x=0得縱截距y=4-3k，令y=0得橫截距x=（3k-4）/k，

由直線過A（3，4）且面積為25可得S=1/2/4-3k/×/（3k-4）/k/=25

由k<0，解之得k=-2或k=-8/9，

所求直線的方程為2r+y-10=O或8r+9y-60=0.

二、三角形中的特殊線段所在直線方程

三角形中有很多特殊線段，如中線、高線、角平分線、中位線等.其中，三角形中的高線、中位線所在直線方程的求法體現(xiàn)了兩直線垂直和平行的相關(guān)性質(zhì).

例3 已知A（-1，1），B（3，1），c（1，3），求

（1）△ABC的BC邊上的高所在直線的方程；

（2）若D，E分別是AB，AC的中點，求DE所在直線的方程，

分析 （1）本題體現(xiàn)兩直線垂直，斜率之積等于 1.（2）由題意知DE是三角形的中線，與BC平行，兩直線平行，斜率相等.

解 （1）邊BC所在直線的斜率是k_BC（3-1）/（1-3）=-1

根據(jù)BC邊上高線的斜率與BC邊所在直線的斜率之積等于1，可知BC邊上的高線的斜率k=l，

義因為BC邊上的高線經(jīng)過點A（-l，1），

所以BC邊上的高線方程為y-1=x+1，即x-y+2—0.

（2）因為D，E分別是AB，AC的中點，

所以DE∥BC，

所以k_DE=k_BC=（3-1）/（1-3）.

因為D是AB的中點，其中A（-1，1），B（3，1），所以D（l，1）.

又因為DE過D（l，1），所以DE所在直線的方程為y-1=-（x-1），即x+y2=0.

三、直線與圓相交構(gòu)成三角形

此類問題涉及點到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，如已知三角形的面積，則可利用點到直線的距離來轉(zhuǎn)化問題.

例4 已知兩點A（O，-3），B（4，o），若點P是圓x²+y²-2y=0上的動點，求△ABP的面積的最小值.

分析 △ABP的邊AB的長度為5，要使△ABP的面積最小，底邊為AB，只需要高最小，最小的高為圓心到直線AB的距離減去半徑，

解 由兩點A（O，-3），B（4，0）得直線AB的方程為x/4+y3=1，化為一般式即為3x-4-12=0.

三角形是平面幾何中最簡單的平面幾何體之一，通過它來學習探究解析幾何的知識，可以幫助我們熟悉數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想，從而加深對解析幾何的理解，希望本文例題的展示能對同學們學習解析幾何初步的內(nèi)容有所幫助.endprint