懂得示范 方能自覺

漆光宗

一、曲線的代數刻畫——方程

為了保證點在某曲線上運動則它的坐標就應該滿足一定的條件，即動點的橫坐標x和縱坐標y之間應該滿足一定的關系，我們可以把這個關系式（關于x，y的等式）看作方程，如果同時滿足如下兩個條件：一是坐標滿足這個方程的所有的點都在這條曲線上，二是這條曲線上的所有點的坐標也都滿足這個方程，那么這條曲線就可以用這個方程來加以刻畫，這個方程就叫作這條曲線的方程.

那么如何建立一條曲線的方程？有沒有一般的求曲線方程的套路？在求曲線方程的過程中需要注意哪些問題？嗯，面對問題，我們得跟往常一樣，到課本中去尋找答案！

二、直線點斜式方程給我們的啟示

課本中第一次研究的曲線是直線（可以看成特殊的曲線），第一次建立的直線方程是點斜式方程，那么它就應該是求曲線方程的第一次示范，讓我們來回顧一下這次經歷，看看能從中得到什么樣的啟發，能否從中窺探出求曲線方程的一般步驟？

課本摘錄：

若直線l經過點A（-1，3），斜率為 2，點P在直線l上運動，那么點P（x，y）滿足什么條件？

當點P（x，y）在直線l上運動時（除點A外），點P與定點A（-1.3）所確定的直線l的斜率恒等于-2，故有（y-3）/（（x-（-1））=-2即y-3=-2[x-（-1）]，顯然，點A（-1，3）的坐標也滿足此方程，

一般地，設直線l經過點P₁（x₁，y₁），斜率為k，直線l上任意一點P的坐標是（x，y）.

當點P（x，y）（不同于點P₁）在直線l上運動時，PP₁的斜率恒等于k，故有（y-y₁）/（x-x₁）k，故Y-Y₁=k（x-x₁），可以驗證：直線l上的每一個點（包括點P₁）的坐標都是這個方程的解，反過來，以這個方程的解為坐標的點都在直線l上.這個方程就是過點P₁，斜率為k的直線Z的方程.

從以上摘錄可以看出，課本上是先建立一條特殊的直線（經過點A（-1，3），斜率為 2）的點斜式方程，然后再仿照著建立了更一般的一條直線（經過點P₁（x₁，y₁），斜率為k）的點斜式方程，不難梳理出求曲線方程應該有以下幾個步驟：

（1）建系：兩處題設中都是以坐標的形式給出點A（-1，3）或P₁（x₁，y₁），這說明坐標系已經給出了，那么如果題設中沒有給出坐標系，我們還得首先去建立坐標系.因為只有有了坐標系才有坐標，才能運用坐標來刻畫畫點.

（2）設點：“點P（x，y）在直線l上運動，……，直線l上任意一點P的坐標是（x，y）”就是設出直線上任意一點P的坐標為（x，y），這里要注意的是需強調“任意”，因為它需要代表這條曲線上的所有點.

（3）尋找幾何條件：尋找曲線上所有點的坐標所滿足的關系式（方程），需要想辦法找到保證點在曲線上所應滿足的幾何條件，如“點P與定點A（-1，3）所確定的直線l的斜率恒等于2”，“當點P（x，y）（不同于點P₁）在直線l上運動時，PP1的斜率恒等于k”.

（4）將幾何條件坐標化：把動點坐標（x，y）代入到幾何條件中，如（y-3）/（（x-（-1））=-2，（y-y₁）/（（x-（-1）0=k

（5）化簡、驗證：為了使得方程呈現形式簡單，一般需要對前面坐標化的幾何條件進行化簡，而且還需要對方程進行驗證以確保兩個條件：一是坐標滿足這個方程的所有的點都在這條曲線上，二是這條曲線上的所有點的坐標也都滿足這個方程.如方程（y-3）/（（x-（-1））=-2就不表示整條直線，因為直線上的點（ 1，3）就不滿足這個方程，而方程y-3=-2[x-（-1）]就同時滿足以上兩個條件，它才是直線l的方程.

三、領會課本示范意圖，形成求線方程的一般套路

由此可見，求曲線方程是有一定的套路可循的：建系，設點一尋找幾何條件一將幾何條件坐標化一化簡，驗證.

中學課本中網的標準方程的建立，以及后續將要學習的橢圓、雙曲線以及拋物線的標準方程的建立都是這一套路的不斷重復.看來我們得好好體會，并努力讓它逐漸成為一種白覺.

例1 直角三角形OAB的斜邊長為4，若點A，B分別在過點O（原點）且相互垂直的兩條直線l₁，l₂上運動，求AB中點M的軌跡方程.

例2 如圖1，平面內，已知圓O₁的半徑為2，圓O₂的半徑1，兩圓的圓心距為10，求一曲線E，使得從曲線E上任一點P分別作兩圓切線PA，PB，PC，PD，切點分別為A，B，C，D，恒有∠DPC=∠APB，求曲線E的方程.

四、讓用方程刻畫曲線的意識

成為一種自覺

解析幾何的核心是用解析法研究幾何問題，因此，在解決解析幾何問題時，要有意識地用坐標刻畫點，用方程刻畫曲線，并從數與形兩個方面去思考，實現兩者的相互轉換，找到讓問題得以快速、有效地解決的辦法，并努力讓這種意識成為一種自覺，

例3 已知點A（-2，o），B（l，3），對圓C：（x-a）²+（y-6）²=36上任意一點P，PA/PB恒為定值λ，求實數a和λ的值.

方法二：注意到題中給出的幾何條件PA/PB恒為定值λ，那么滿足幾何條件PA/PB=λ的動點P應在某條曲線D上運動，我們只需設出動點P的坐標為（x，y）并代入幾何條件PA/PB=λ，把其坐標化即可得到曲線D的方程：

同學們，課本中的例題、練習、習題以及一些知識點的描述都具有很強的基礎性、典型性與示范性，我們在平時的學習中需要自覺地去重視課本的示范功能，常梳理，多體會，勤總結，提煉內化成自己的解題策略，并白發地運用到平時的解題中去.endprint