公理是什么

彭翕成+張景中

兩千多年間，數(shù)學(xué)家對公理的看法有了巨大變化.

從前，公理被認(rèn)為是自明之理.自明之理是哪里來的呢？唯心論者認(rèn)為是人的先天洞察，上帝給人的啟示，人對理念的認(rèn)識，等等；唯物論者認(rèn)為公理來自人對客觀世界規(guī)律性的認(rèn)識，是經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)與升華；二元論者認(rèn)為公理是人用先天的感知能力對經(jīng)驗(yàn)總結(jié)的結(jié)果.雖然這些觀點(diǎn)千差萬別，但有一點(diǎn)是共同的：公理是真理，是相對真理或絕對真理，是不必再加以證明的命題.

受上述各種哲學(xué)觀點(diǎn)的支配，數(shù)學(xué)家也傾向于認(rèn)為公理應(yīng)當(dāng)是自明之理，是真理.只有從真理出發(fā)，才能得到真理.

現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家看法變了，沒有什么自明之理.即使有，也不必要求數(shù)學(xué)公理是真理.數(shù)學(xué)公理是對數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)的約定.什么是直線，直線就是滿足我的這幾條公理的某種東西.滿足歐幾里得公理，叫歐氏直線；滿足羅巴切夫斯基公理，叫羅氏直線；等等.

公理對不對，這問題對數(shù)學(xué)家是沒有意義的.數(shù)學(xué)家只說：如果某一些對象適合于這些公理，它一定也適合于從公理推出的定理.在這個(gè)意義上，數(shù)學(xué)定理總是對的，就如同中國象棋中“單車難破士象全”總是對的一樣.它依賴于下棋的規(guī)則，

非歐幾何的創(chuàng)立，標(biāo)志著數(shù)學(xué)真理性的終結(jié).數(shù)學(xué)家可以探索任何可能的問題，建構(gòu)任何可能的公理體系，理論數(shù)學(xué)從此得到空前的發(fā)展，數(shù)學(xué)經(jīng)歷了一個(gè)自由的新生，它不再被束縛于直接從現(xiàn)實(shí)世界抽象而得的概念，而有了探索人類心智的創(chuàng)造的自由.

不過，也不是隨便幾條命題湊起來便可作為公理.首先，公理不能自相矛盾，也不能推出自相矛盾的東西.這叫做公理的相容性或協(xié)調(diào)性.其次，從精練的角度來說，任一條公理都應(yīng)不能從別的公理推出來.能推出來，就作為定理算了，何必算作公理呢？這叫做公理的相互獨(dú)立性.還有一條完全性，就是在這個(gè)系統(tǒng)中，一切命題的真假都是可以確定的.一般說來，有了前兩條，也就可以了.有人甚至認(rèn)為獨(dú)立性也不重要，最重要的是相容性，

對公理看法的這種進(jìn)步，大大解放了數(shù)學(xué)家的思想.現(xiàn)代數(shù)學(xué)中各種公理系統(tǒng)層出不窮，誰也不能說誰的公理不對.然而，有些公理系統(tǒng)很有用，很受歡迎.有些公理系統(tǒng)沒什么用，“束之高閣，并不實(shí)行”，建立之后漸漸被人們忘了，甚至沒有人注意它.

數(shù)學(xué)家也是人，也要吃飯、穿衣，要靠社會供養(yǎng)，他自然希望自己的研究于人類有用.盡管他在邏輯上有建立任何能夠自圓其說的公理系統(tǒng)的權(quán)利，但是他總還會想到“有什么用”的問題.這樣，實(shí)際上被數(shù)學(xué)家重視的公理系統(tǒng)中的公理，總是在一定程度土反映了人們在社會實(shí)踐中的經(jīng)驗(yàn)，或代表了人類向某一未知領(lǐng)域探索的愿望，在這個(gè)意義上，公理也就不完全是人們?nèi)我獾募s定了.

最后，用棋類游戲?yàn)橛鹘Y(jié)束本章.

石桌面上刻著縱橫相錯(cuò)的網(wǎng)格，旁邊擺放著黑白兩種顏色的棋子.你認(rèn)為這一定是為下圍棋準(zhǔn)備的么？未必，可以下圍棋，還可以下五子棋.

圍棋和五子棋最大的區(qū)別并不在于棋具，而是走棋的規(guī)則.同樣的棋具，人們可以根據(jù)自己的興趣愛好選擇規(guī)則，進(jìn)入完全不同的棋類世界.

人人都可以發(fā)明創(chuàng)造新的棋類游戲，規(guī)則的制定，當(dāng)然可以由你說了算.但你發(fā)明的新游戲，是否吸引人，有人愿意玩，這可得由社會實(shí)踐來檢驗(yàn)了.endprint