活用變式技巧創新教學過程

顧志能

【摘 要】變式教學是中國數學教育的鮮明特色。變式教學常用的技巧有“反、跟、拓、跳”等。對這些技巧的靈活運用，既有助于學生更好地掌握知識，也有助于教學過程的不斷創新。

【關鍵詞】變式教學；教學創新

近幾十年，關于“中國學習者悖論”的話題，大家一直很感興趣。所謂“中國學習者悖論”，指的是一方面中國學生的數學學習成績相當好，但另一方面中國學生的“學習環境”卻很差，如學生人數多、教師的教學方法落后等。總之，兩者之間看似非常矛盾，這使得許多西方的教育研究者感到極為困惑。

對這個矛盾的分析有很多種，其中中國人自己的研究結果尤其是顧泠沅先生的觀點得到了較廣泛的認可。他提出，因為中國數學教師教學時善于運用變式的技巧，即注重引導學生對概念和原理進行多角度的理解，注重由淺入深、有層次地推進教學，所以看似落后的教學方式，實則也能夠有效引發學生開展有意義的學習。而事實上，中國的數學教師，經過多年的耳濡目染和模仿嘗試，也早已經將變式教學內化為自己最常規、最自覺的教學意識，并時刻運用于自己的教學實踐中。從某種程度上講，我們的教學設計能不斷地開拓創新，學生的數學學習能如此扎實有效，“變式”在其間的引領和促進是不可忽視的。

下面筆者以“圓柱的認識”四個教學片段來呈現四次不同的變式，并簡要說明如此教學中變式技巧的運用策略及相應的一些思考。

一、變式教學中“反轉”策略的運用

【片段一】

師：同學們，今天我們要學習“圓柱的認識”。昨晚，老師給大家布置過一個回家作業，要求大家將書本附頁中的圓柱手工制作圖（如圖1）剪好帶來。現在請大家拿出來吧！（學生每人拿出兩個圓和一個長方形紙片）

師：老師昨天特意沒讓大家把這些材料粘成一個圓柱。因為，有一個挑戰性問題要考大家。

師：已知我們剪好的圓，直徑是5cm。如果不用尺量，你能知道我們剪的那個長方形的尺寸嗎？

（學生一下子有點無措，教師引導學生先觀察思考，再動手自己圍一圍，仔細研究長方形的尺寸和圓之間的關系）

生：我知道長方形的長和圓的周長是一樣的，3.14×5=15.7cm；寬我不能知道，但是我知道這個寬就相當于圓柱的高度。（生紛紛附和）

師：這是為什么呢？

生：因為這個長方形卷起來的時候，長度要和圓的一周正好配起來，而寬度就是卷起來以后圓柱的高度。

（學生邊講邊示意，教師適時以課件演示，直觀地支撐學生的說法，其他學生都理解贊同）

師：同學們不妨再量一下，看看長度到底是不是15.7cm？

【策略分析】

這個片段，體現了變式設計中的一個“反”字。所謂“反”，是指將原本順向呈現的學習材料，或者順向推進的學習過程，反轉呈現形式或推進過程，使學生受到的刺激更深刻，學習更加聚焦于知識的本質與關鍵，知識建構更牢固。

如上述片段，通常的教學形式，是讓學生將學具圓柱剪下粘好，然后面對拿在手里的圓柱去研究側面與底面之間的關系。或者是不粘好圓柱，但請學生計算出圓的周長，量出長方形的長，讓學生發現相等，再研究為什么相等。也就是說，要么是先有學具，再研究問題；要么是先有數據，再研究關聯。但筆者以為，這兩種形式學生受到的刺激都不夠強烈，都難以主動、有效地探究側面與底面之間的關系。此時，反轉形式與過程——不用尺量，你能知道我們剪的那個長方形的尺寸嗎？如此變式，就逼著學生通過觀察與想象，借助操作與推理，思考側面卷曲的過程，思考側面與底面之間的對接。同樣是理解了關系，但學生經歷了一個更充分、深刻的探究過程，表象清晰，理解到位。這樣的效果顯然是順向教學所不可比擬的。

二、變式教學中“跟進”策略的運用

【片段二】

在得出“長方形的長等于圓柱底面的周長，長方形的寬等于圓柱的高”之后，教學進入一個針對性的鞏固練習。

師：同學們，老師這里還有一張黃顏色的紙片（圖2），它的長是31.4cm、寬是15.7cm。如果把它當作圓柱的側面，要給它配兩個圓當作底面，要配的圓的直徑該是多少厘米呢？

生：用31.4÷3.14=10cm。

生：也可以把15.7cm當底去配圓，那就是15.7÷3.14=5cm。

師：這樣的兩個圓柱各長得怎么樣，你們想象得出嗎？

生：一個粗，一個細；一個胖，一個長。

（很多學生努力地想象著，教師適時以動畫將長方形卷曲成兩個不同的圓柱，讓學生體會不同的卷曲得到不同的圓柱）

【策略分析】

這個片段，體現的是變式設計中的“跟”字——有變化地“跟”。學生經歷探究獲得新知之后，教師馬上開展跟進練習，讓學生對新知加以鞏固或運用，這是中國數學教師最自覺的一種教學行為。而且，我們在實施這種教學行為的時候，往往不會機械地、簡單地拿一些與例題完全同一層次的習題進行練習，而是注重有變化地跟進。

從上述片段可見，此處的跟進就體現了兩點變化。其一，例題原本是想“圓需要配什么尺寸的長方形”，而此處已變化為“長方形需要配怎樣的圓”；其二，例題中的圓配長方形，結論是唯一的，而這個練習，答案就變成兩種了。兩處變化了的跟進練習，對于學生雙基的夯實和能力的提升，功效是明顯的：更牢固地把握了圓柱側面與底面的關系，尤其是正反的計算；進一步提升了靈活解決問題的能力，強化了圓柱平面與立體之間的轉化意識。一個小小的跟進練習，會顧及并解決后續練習課中的多個知識技能點，這就是中國數學教師教學的鮮明特色。

當然，此處設計也有“反”的意蘊，為突出“跟”字，不再贅述，后文均如此。

三、變式教學中“拓展”策略的運用

【片段三】

師：同學們，我們剛才都是把兩個圓配上一個合適的長方形圍成圓柱的。不知道大家想過沒有，如果就是這兩個圓，它們還可以配一個什么圖形來圍成圓柱呢？endprint

（教師課件呈現圖3。學生意想不到還會有這樣的問題，一個個盯著屏幕，積極地思索了起來）

（此話一出，學生意見不一，有人認為行，也有人認為不行）

生：平行四邊形怎么可能呀？它兩條邊是斜的，圍起來以后要彎的，哪里還對得上呢？

生：一邊彎了，另一邊也會彎，還是能對上的。

……

師：看來同學們對這個問題爭議比較大，關鍵是左右兩條邊是斜的，折起來以后是彎的怎么辦？很容易的辦法——拿這樣的一張紙，試試就知道了。

（教師拿出一張平行四邊形的紙，彎曲成一個圓柱的樣子，兩條邊恰好緊密對接，學生看得興致盎然）

師：同學們，配一個平行四邊形能圍成圓柱，這個問題并不難，難的是你知道這個平行四邊形和圍成的圓柱之間的關系嗎？

（挑戰性的問題再次產生，學生對圓柱的高與平行四邊形的關系有爭論，教師適時拿出剛才的紙包在一個圓柱體上，如圖5）

師：同學們請觀察，現在這條紅色的線就是平行四邊形左右兩條邊，它怎么會是圓柱的高呢？現在我們在這個圓柱上畫上一條高，展開它，請注意觀察哦！

（隨著圓柱側面平行四邊形的展開，學生清晰地看到，圓柱的高就是原來平行四邊形的高）

【策略分析】

此片段要說明的是變式教學中“拓”字的運用。所謂“拓”，就是教學時，通過合理的變式，有意識地拓展教學內容中的知識技能或思想方法，使學生所得不局限于剛剛經歷的一道題或一節課的學習。這種拓展變式是提升學生能力、發散學生思維的有效手段。

如案例描述，原本這節課要研究的圓柱側面展開就是長方形，學生搞清長方形的長和寬與圓柱之間的關系就可以了。然而，僅依托長方形，對于讓學生體驗平面圖形和立體圖形之間的豐富關系，發展空間感知和空間想象能力，畢竟還是單純普通了些。此時，簡單地一變化——還可以配什么圖形來圍圓柱？教學一下子就拓寬了方向。平行四邊形行不行？為什么行？它和圓柱之間有什么關系？等等問題，又驅動著學生打開思路，大膽想象，深刻地經歷了一次雖超越教材卻內涵豐富的探究之旅。

從上也可見，“拓”，不在于拓得多，而在于拓得合適，要拓得既貼合學生剛剛之所學，又契合學生能力發展之所向。

四、變式教學中“跳躍”策略的運用

【片段四】

師：通過前面的學習，我們知道，用兩個圓，配以合適的長方形或平行四邊形，都能圍成一個圓柱。事實上，圓柱除了可以這樣圍成之外，還有一種方法也可以得到。請同學們看這幅圖，你想到了什么？

（課件呈現圖6）

生：我知道，用一個長方形，搓著轉起來，會看到一個圓柱的樣子。

師：同學們都想象到了吧，真厲害！老師這里就有一個長12cm、寬5cm的長方形，如果以12cm這條邊為軸轉起來（圖7），我們會得到怎樣的一個圓柱呢？

生：底面直徑5cm、高12cm。

生：不對，底面半徑5cm、高12cm。

師：誰的對呢？請同學們想象它轉起來的樣子。（在學生想象之后，教師再以課件動態演示，如圖8，學生清晰地看到半徑的確是5cm）

師：那么，如果以5cm的邊為軸，繞出來的圓柱尺寸又是怎樣的呢？

生：那一定是底面半徑12cm、高5cm的圓柱。

師：是呀！那么，這兩個圓柱的大小一樣嗎？

（生有猜一樣的，有猜不一樣的，教師不語，課件動態呈現，如圖9。學生一看，紛紛嚷起來“第二個要大”）

師：長方形不同的旋轉，得到的圓柱不一樣。不一樣的圖形，旋轉后得到的立體圖形也是不一樣的。這里還有一個三角形和梯形（圖10），你能想象它們旋轉以后會變成怎樣的立體圖形嗎？

（學生想象，教師課件演示，如圖11，學生情緒高漲）

【策略分析】

“跳”，是這個教學片段中用到的變式策略。

這個“跳”字，是縱向地往上跳躍的意思，它有別于橫向地“拓”。縱向地往上跳躍，那是指教學時，教師意識到知識的深刻內涵或后續發展，因此有意變化學習材料或學習要求，促使學生的學習再往上走一步，以獲得更高級的知識，或實現更高位的感悟。

在片段四中，教師意識到圓柱這個立體圖形的得出是有兩種不同方式的——三個面的圍成，一個長方形的旋轉。這兩種方式反映的是認識幾何圖形的兩種不同思維方式，但于學生空間思維的發展，后者可能更為重要。于是，當教學進入到后程時，課就轉變到研究長方形旋轉成圓柱的大環節了。如此變化，學生的思維就跳上了一個新的高度。而長方形的旋轉，若僅僅定位于能旋轉得到圓柱，顯然定位就低了。緊跟著的變式——以5cm的邊為軸，繞出來的圓柱尺寸又是怎樣的呢？這兩個圓柱的大小一樣嗎？兩個要求的變化，再次“逼迫”著學生的觀察比較、空間想象等能力往高處提升。最后，學習材料變式至三角形和梯形的旋轉，學生對知識的理解、對空間的感悟，達到的高度那是顯而易見的了。

以上用四個片段，直觀地闡述變式教學中的一些策略：反、跟、拓、跳。四個所謂的策略，概括必定不全，用詞也不一定恰當，內涵或許更有沖突。深受變式教學理念熏陶的廣大教師，都積累著自己熟悉的、善用的策略，也都在自己的教學中深入地實踐著、總結著。因此，筆者提煉幾個不成熟的策略，以期引發廣大教師對變式教學做更多的實踐和更深的思考，更好地前行在“數學教育的中國道路”上！

參考文獻：

[1]顧泠沅，黃榮金，等.變式教學：促進有效的數學學習的中國方式[J].云南教育（中學教師），2007（3）.

[2]張奠宙，于波.數學教育“中國道路”[M].上海：上海教育出版社，2013.

（浙江省海鹽縣教育研訓中心 314300）endprint