“畫”里有“話”

王秋燕

【摘 要】線段圖是解決行程問題的重要工具，它既直觀，又抽象，對學生分析其中的數量關系有重要的幫助。在梳理教材中關于解決行程問題運用線段圖的筆墨不足之虞，解構教材內容，重新規劃教學，突出“線段圖”在解決行程問題中的作用。經歷“會仿”“會畫”“會用”三個階段，力求將線段圖內化為學生解決行程問題主動運用的有效工具。

【關鍵詞】線段圖；行程問題；內化

一、一道題目引發的思考

四年級上學期期末復習時，試卷里有一道應用題：小明開車從A城出發去B城，行駛了2小時后，他超過了中點20千米，還有100千米就將到達B城，按照這樣的速度，小明到達B城后馬上返回A城，一共用了多少時間？讓學生試做，全班36人幾乎全軍覆沒。是學生不能審題，還是沒有基本的解題思路？筆者隨機選擇了不同學習水平的學生進行訪談，尋找錯因，學生均說這一道題目信息比較多。還有一些詞，如“超過”“中點”等詞不知道在算式中怎么表達。接著，筆者一邊讀題，一邊給學生示范畫線段圖，當畫好線段圖后，讓學生解答。6位學生中有4位獨立解答正確。還有2位不會做的學生，依據線段圖再適當輔導后，也會正確列式了。看來，在解決行程問題時，如果學生能夠依據信息有序正確地畫出線段圖，就可以發現這些信息之間的聯系，自然而然就找到解決問題的方法。

二、教材中行程問題的梳理

為更系統地落實用線段圖解決行程問題的教學，將線段圖與行程問題無縫銜接，分析行程問題內容間的聯系與發展，以期更系統地在其中落實線段圖的教學。筆者梳理了人教版教材中行程問題的相關內容。

（一）初步滲透

三年級教材中出現的有關走路、開車、飛行等問題只是行程問題的雛形。教材通過 “加、減、乘、除”“千米的認識”以及“時、分、秒”等內容逐步滲透行程問題。最初的行程問題也只是通過簡單的加減法計算路程和時間，無須分析太復雜的關系。學習乘除法之后，題中會出現“速度”“路程”和“時間”之類的名詞，這就要考慮它們之間的關系，利用乘除法的原理解決問題。此時，教師就可適當引入歸總線段圖來進行教學，為以后學生實現線段圖的內化做準備。

（二）數量關系

四年級的行程問題要求學生理解路程、時間、速度的概念以及它們之間的數量關系。從根據公式用已知量求未知量到分析題意求平均速度，學生行程問題的學習路徑其實是從 “運用固定公式”到“分析數量關系”的過程。行程問題路線和方向的變化，使題目中的數量關系更加復雜，這就需要借用線段圖將物體的行駛過程直觀地呈現出來，挖掘解決問題的隱含條件，方能最終解決問題。

（三）解題策略

進入高段之后，教材越發注重學生分析和解決問題能力的發展。不同的行程問題該用何種方法解決。為解決復雜的相遇、分手、追及與過橋等問題，教材引入了行程路線圖。進入六年級，隨著行程問題變式的持續增多，相應的方法也如雨后春筍般冒出，但以線段圖解決行程問題始終是主流，并由于題型的復雜化，對學生畫圖的能力提出了更高的要求，線段圖的畫法更多樣，應用更靈活。

三、用線段圖解決行程問題的實踐

讓線段圖成為學生解決行程問題的策略，關鍵要讓學生在碰到復雜關系的行程問題時能想到畫圖解決問題的好處，自覺把“畫線段圖”內化為自己的解題策略，而這種意識不是一下子就能培養成的，需要在各個階段循序漸進地慢慢滲透。因此，根據教材的編寫，筆者構建了操作運行圖（見圖1），作為整個研究的指南，并在實際的行動研究中加以細化和調整，從而形成具體的教學策略。

整個學習過程分為三個階段：會仿（三年級）、會畫（四年級）和會用（五、六年級），以期達到對線段圖在行程問題中初步體會、充分體驗、靈活運用的目標，使行程問題的教學效益最優化。

（一） 會仿階段：教師引導，學畫簡單的行程關系圖

在認識了歸總問題線段圖后，學生對線段圖的基本構造有了一定的了解，此時可以將線段圖的應用遷移到行程問題中。

1.動手學畫，掌握行程圖基本特征

線段圖的滲透需要把握時機，教師應從早期一步計算的行程問題開始入手，教學生掌握行程線段圖的基本畫法和特征。

例題：小玲每天上學要騎7分鐘的自行車，她平均每分鐘騎185米，小玲家到學校的路程有多少米？

教師先引導學生用線段圖表示路程并匯報畫法，等學生匯報完后教師再補充要點。通過關鍵詞的引導訓練學生畫圖，讓學生在糾錯中掌握畫圖的方法，把抽象的文字敘述轉化為直觀的圖形，學生也在比較中初步體會到了畫圖的價值。

2.放手實踐，深刻體會“線段圖”的重要性

雖然學生更喜歡直觀地看圖思考，但學生的這種喜歡并未自覺成為學生運用畫圖手段分析數量關系的動力。因此要創設條件讓學生經歷用線段圖成功解決問題的體驗過程。

在上面例題的基礎上，再出下面的練習：小玲坐公交車去上學，用了5分鐘就到學校，公交車每分鐘行多少米？

教師在無任何提示下請學生獨立完成。大部分學生則用剛學的歸總線段圖分析數量關系，直觀的線段圖讓數量關系隨即清晰，求公交車的速度相當于將路程重新分為5份，每份是多少米？思維發展水到渠成。

有了畫線段圖解決問題有效性的成功體驗，學生順利實現了從“被畫圖”到“喜歡畫圖”的思維轉變。

（二）會畫階段：體驗畫圖，充分感受圖之功效

在掌握了行程線段圖的基本畫法后，教師要引導學生充分運用這一技能，通過畫圖去理解題意，幫助解題。

1.化抽象為直觀

有些題目以長串的純文字形式出現，這對于學生來說較為抽象。比如習題：樂樂全家去游玩。汽車在高速公路上以100千米/時的速度行駛，2小時后進入盤山公路，汽車以60千米/時的速度又行駛了2小時才到達目的地。這次行程有多長？endprint

過長的文字敘述容易混淆學生的思維，以至于不能厘清其中的數量關系。對此，教師可引導學生根據題意畫圖思考，找出正確的數量關系。

學生用兩條不同長度的線段表示在兩段公路上行駛的路程，并由圖得到“行程的長度就是高速公路與盤山公路上行駛的路程之和”的結論，題目迎刃而解。畫圖為學生正確探究數量關系提供了表象的支撐。

2.化隱性為顯性

四年級上冊第55頁第9題：王叔叔從縣城出發去王莊送化肥。去的時候用了3小時，已知去的速度是40千米/時，返回時用了2小時。從縣城到王莊有多遠？原路返回時平均每小時行多少千米？

教師在上課時先將第一問去掉，增加題目的難度，再出示題目，部分學生由于不能將3個條件聯系在一起，始終找不到解決問題的關鍵。

教師先讓學生用自己的方法描述王叔叔的行駛過程，有學生想到用線段圖表示，教師就順著學生的思路組織討論如何畫出來回的過程，讓學生學會用箭頭表示方向。最后從學生畫的兩種線段圖中得到隱含條件：往返的路程相等。通過畫圖，把隱藏的信息直觀地呈現出來，幫助學生輕松突破了讀題中的難點。

3.化無序為有序

面對多條件的問題，線段圖還有助于整理題目中雜亂無章的條件，將這些條件有機串聯起來。比如習題：樂樂全家去外地游玩。7：30從家里出發，汽車在高速公路上每小時行駛100千米，11：30 到達目的地。返回時，由于到了晚上，汽車平均每小時少行20千米，若他們18：00 返回，他們到家是幾時？

此題跟之前的往返問題相近，但這里的條件是時刻而非時間。教師引導學生先畫出線段圖并根據題意在相應的位置標注條件。學生從線段圖了解到出發用了4小時，只需求出返回時間即可。有了這個線索，學生馬上想到將此題轉化為之前所學的往返問題并畫出相應的線段圖。

通過線段圖，學生不僅將汽車的行駛過程直觀呈現，而且將題中的條件有機整合在一起，將一道關系復雜的行程問題轉變成了普通的往返問題，降低了難度。

（三）會用階段：自覺運用，在復雜問題中學會找數量關系

要使線段圖成為學生解決問題的一種策略，線段圖需要在每個階段都能以一定的頻率出現，日積月累內化為學生解決問題主動運用的有效工具。

1.以“形”助陣，提煉等量關系

在四年級上冊學習了速度、時間和路程之間的數量關系后，五年級上冊“實際問題與方程5”中，新教材安排了相遇問題。

小林每分鐘騎0.25千米，小云每分鐘行0.2千米。小林家和小云家相距4.5千米。周日早上9：00兩人分別從家里騎自行車相向而行，兩人何時相遇？

教師先讓學生解釋“相向而行”的意思，有些學生就用線段圖的形式把兩個人的騎車過程記錄下來，然后觀察線段圖，學生能明顯地通過線段圖知曉兩人的路程和就等于4.5千米的總路程，根據這個等量關系列出方程。

借助線段圖的分析，使學生掌握問題的本質，能在準確理解等量關系的基礎上，建構起行程問題的數學模型，進而正確列出方程。因此，學生能主動運用“幾何直觀”去思考，說明學生已經把線段圖當作解決問題的一種有效策略了。

2.靈活運用，簡化數量關系

此時，還應該進一步通過練習強化策略的有效性，使學生在碰到較復雜的行程問題時，都能主動想到運用線段圖去解決。

練習：某地舉行長跑比賽，運動員跑到離起點3千米處要返回到起跑點。領先的運動員每分鐘跑310米，最后的運動員每分鐘跑290米。起跑后多少分鐘這兩個運動員相遇？相遇時離返回點有多少米？

該練習題是為了擴充學生對線段圖運用的掌控能力。為了更清楚地描述過程，可以簡化線段圖（如上圖），而不一定每次都要強調畫精準的線段圖和每部分的完整，只要把過程意思描述清楚，清晰體現其中的數量關系就行，強調線段圖的靈活性。

華羅庚先生說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，割裂分家萬事休。線段圖作為幾何直觀的具體表現方式，有著極其重要的地位和作用。我們要從整體的角度分析教材，明確每一個階段的教學目標，循序漸進地實踐線段圖的教學價值。

參考文獻：

[1] 陳旭遠. 新課程 新理念[M].長春：東北師范大學出版社，2003.

[2] 劉梅蘭. 從“用圖”到“構圖”——小學生幾何直觀能力培養初探[J].教學月刊·小學版（數學），2015（11）.

（浙江省杭州市蕭山區義蓬第一小學 311200）endprint