在有序操作中建構(gòu)概念，在有效活動(dòng)中積累經(jīng)驗(yàn)

張莉

數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)“有序”已經(jīng)是業(yè)界的共識(shí)。就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)尤其是操作活動(dòng)的組織和安排而言，如何根據(jù)學(xué)情來建立操作活動(dòng)的序，并在有序的操作中建構(gòu)概念，進(jìn)而讓學(xué)生積累好的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這應(yīng)當(dāng)是教師需要重點(diǎn)考慮的問題?；诖死砟睿P者對(duì)二上“角的初步認(rèn)識(shí)”一課進(jìn)行了研磨，并收獲了不少感悟。

第一次教學(xué)與反思

【第一次課堂嘗試】

操作環(huán)節(jié)一：建構(gòu)“角”的概念

師：小朋友們，今天我們來認(rèn)識(shí)“角”，生活中，你見到過角嗎？

生：三角形上有角。

生：牛角、羊角。

生：還有桌角、墻角。

師：這些都是我們數(shù)學(xué)上的角嗎？通過今天的學(xué)習(xí)，小朋友就可以知道了。

師：老師帶來了三件物品，它們身上有角嗎？請(qǐng)你找一找。（媒體出示：紅領(lǐng)巾、鐘面、數(shù)學(xué)書）

生指角，師指出正確的指角方法。

師：觀察這三個(gè)角，它們有什么相同的地方？（媒體隱去實(shí)物，抽象出角）

生：都是尖尖的。

生：邊都是直直的。

師：是的，這個(gè)尖尖的地方叫作頂點(diǎn)，這直直的兩條線就是角的邊。

師：現(xiàn)在再來找找周圍的角，你能用正確的方法指出來嗎？有兩個(gè)學(xué)生還是指立體角，接下來判斷角的練習(xí)時(shí)也有出錯(cuò)情況，如把整個(gè)三角形判斷成一個(gè)角。

……

操作環(huán)節(jié)二：感悟角的大小的本質(zhì)

1.生用學(xué)具小棒做一個(gè)活動(dòng)角，并讓角變大變小。

師：你們?cè)趺醋尳亲兇笞冃〉哪兀?/p>

生：我是把角張開些，角變大，縮攏一些，角變小。

師：原來角兩邊張開大，角就大；角兩邊張開小，角就小。（邊說邊演示）

2.師：想一想，如果我想讓角就這么大，不能再變大變小，該怎么辦？

生：把角的頂點(diǎn)這里粘住，不能動(dòng)了。

師：好，聽你們的。（師固定）這個(gè)角的大小真的不會(huì)變了嗎？看我讓它變?。舻恫粩喟堰吋舳蹋┙亲冃×藛?？

生：越來越小了。

生：沒變小。（學(xué)生意見不一致）

師：真的變小了嗎？剛才我們不是把頂點(diǎn)固定住，讓角不能變大變小嗎？

生：哦，那沒變小。

師：那角的大小和什么有關(guān)，和什么沒有關(guān)系呢？

生：角的大小和角的兩邊有關(guān)系。

師：和角兩邊的什么有關(guān)系？

生：和角兩邊的長(zhǎng)短有關(guān)系。

師：和長(zhǎng)短有關(guān)系嗎？你看角的兩邊剪短了，角的大小沒有變呀。

生：哦，沒關(guān)系。

師總結(jié)：角的大小和角兩邊張開的大小有關(guān)系，和畫出邊的長(zhǎng)短沒關(guān)系。

3.師：現(xiàn)在你能用活動(dòng)角做一個(gè)比老師的角大一點(diǎn)的角嗎？（生上來擺，師演示重疊比較法）

在下面練習(xí)中，當(dāng)出現(xiàn)一組邊長(zhǎng)短差異很大的相等角時(shí)，部分學(xué)生判斷錯(cuò)誤。

【反思】

課后，基于學(xué)情的深入分析，筆者列出了問題所在，并分析原因，提出改進(jìn)策略。

一、問題

操作環(huán)節(jié)一：前經(jīng)驗(yàn)真的被喚醒了嗎？

在引入角的概念時(shí)，我遵循了常規(guī)設(shè)計(jì)：先自己找生活中的角，喚醒相關(guān)生活經(jīng)驗(yàn)，然后從熟悉的實(shí)物中抽象出數(shù)學(xué)的角，尋找角的共同屬性。但從課堂反饋來看，效果并不好，初步認(rèn)識(shí)角以后，生活中的立體角和抽象的數(shù)學(xué)角繼續(xù)混淆著存在于學(xué)生的腦海中，學(xué)生并未把概念的內(nèi)涵和外延理清楚。

操作環(huán)節(jié)二：活動(dòng)角的操作真的有效嗎？

感悟角的大小的操作活動(dòng)，筆者先通過“活動(dòng)角變大變小、固定老師的活動(dòng)角、不斷剪短固定角兩邊”這一系列操作活動(dòng)，感悟角的大小與邊叉開的大小有關(guān)，與畫出邊的長(zhǎng)短無關(guān)，再通過“擺一個(gè)比老師的角更大的角”這個(gè)活動(dòng)學(xué)習(xí)用重疊法比較角的大小的方法。但實(shí)際效果也不好，角的大小的本質(zhì)由教師直接告知，學(xué)生在看似豐富的操作活動(dòng)中，并未積累基于概念建構(gòu)的相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，故當(dāng)出現(xiàn)邊長(zhǎng)短的干擾時(shí)，還是無法正確判斷。

二、原因

1.對(duì)角這個(gè)平面圖形，學(xué)生其實(shí)是有可利用的前認(rèn)知的，但同時(shí)也明顯存在生活經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移。第一次操作活動(dòng)讓學(xué)生從周圍實(shí)物中找角，不能有效激活學(xué)生前經(jīng)驗(yàn)中的那部分正確認(rèn)知，而是激活了易混淆的生活立體角的經(jīng)驗(yàn)，而后續(xù)教師也沒有基于學(xué)情及時(shí)處理，導(dǎo)致學(xué)生未能很好地建構(gòu)“角”。

2.在認(rèn)識(shí)角以前，所有平面圖形的大小都是面的大小，遷移到角的大小的理解中，學(xué)生也深以為然。所以在邊長(zhǎng)短相同的情況下，學(xué)生能自如地讓活動(dòng)角變大變小，也許并不是概念理解下的正確操作，而是歪打正著。一旦邊的長(zhǎng)短有明顯差異時(shí)，舊經(jīng)驗(yàn)就阻礙了對(duì)角大小的理解：教師演示用剪刀剪角的邊，很多學(xué)生認(rèn)為角變小了，因?yàn)樾纬傻拿孀冃×?。而接下來的“擺一個(gè)比老師的角更大的角”，學(xué)生腦中角的大小的概念是教師灌輸?shù)摹皟蛇叢骈_大小”和原本經(jīng)驗(yàn)“面的大小”同時(shí)并存，負(fù)遷移并未被修正。那么當(dāng)兩邊長(zhǎng)不同的相等角出現(xiàn)時(shí)，判斷錯(cuò)誤也是情理之中?？磥?，在還沒弄清楚“角的大小到底指什么”這個(gè)重要問題時(shí)，出現(xiàn)不同邊長(zhǎng)的角的大小操作活動(dòng)都是無效的。

三、對(duì)策

基于上述的學(xué)情分析和反思，筆者想到了兩次操作活動(dòng)的序的安排均需調(diào)整，具體來說就是：（1）在認(rèn)識(shí)角時(shí)，將“實(shí)物中抽象出數(shù)學(xué)角”這一活動(dòng)延后，先去除無關(guān)因素的干擾，用最簡(jiǎn)單的材料操作，激活學(xué)生正確的前經(jīng)驗(yàn)，并針對(duì)生活角與數(shù)學(xué)角易混淆的現(xiàn)象，設(shè)計(jì)區(qū)分立體角和數(shù)學(xué)角的操作演示，以凸顯角作為平面圖形的本質(zhì)屬性。（2）有關(guān)角的大小操作活動(dòng)的序調(diào)整為：先建立正確的角的大小的觀念，再出現(xiàn)兩邊長(zhǎng)短不同的角的大小辨析。同時(shí)讓邊長(zhǎng)短不同的相等角由常規(guī)的判斷變?yōu)閷W(xué)生動(dòng)態(tài)的操作活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生對(duì)角的大小本質(zhì)的主動(dòng)感悟。這樣學(xué)生才能充分利用角的大小概念對(duì)邊的長(zhǎng)短的干擾進(jìn)行甄別，積累“應(yīng)用概念進(jìn)行辨別”的操作經(jīng)驗(yàn)。endprint

帶著這些思考，筆者進(jìn)行了第二次課堂嘗試，收到了很好的效果。

第二次教學(xué)與反思

【第二次課堂嘗試】

操作環(huán)節(jié)一：建構(gòu)“角”

1.師：今天我們一起認(rèn)識(shí)一種新的圖形——角。你知道角嗎？找找你的周圍，哪兒有角，上來指一指。（生上來有指桌角、墻角）

師：這些生活中的角都可以看成數(shù)學(xué)上的角嗎？通過今天的學(xué)習(xí)，我們就知道了。

2.老師提供一根吸管、兩根學(xué)具小棒、一根棉線，同桌合作，選其中的一種材料創(chuàng)造一個(gè)角。

反饋交流：學(xué)生在實(shí)物投影中擺角。

師（棉線沒有拉直）：這個(gè)是角嗎？為什么？

生：不是角，因?yàn)樗倪叢恢?，是彎彎的?/p>

師：請(qǐng)讓它變成你心中的角。

師：原來角的兩條邊要直直的。

師（小棒分開，沒有公共點(diǎn)）：這個(gè)是角嗎？為什么？

生：不是，因?yàn)樗鼈儧]有碰在一起。

師：請(qǐng)你把它變成角。

師：原來這兩條線段，要有公共的點(diǎn)。

師：小朋友做的角材料不同，大小不同，但有相同的地方，是什么？

生：有一個(gè)交叉點(diǎn)，有兩條直直的邊。

師：是的，它們都有一個(gè)尖尖的點(diǎn)，兩條直直的線。都可以看成數(shù)學(xué)中的角。

師：這個(gè)點(diǎn)我們叫作頂點(diǎn)；兩條直直的線，我們就叫作角的邊。

師：現(xiàn)在，看老師怎么來介紹角。（邊比畫邊說）一個(gè)頂點(diǎn)，兩條邊，這兒有一個(gè)角（畫圓弧）。誰能像老師這樣，來介紹另外兩個(gè)？

生上來準(zhǔn)確介紹了另外兩個(gè)角。

正確地介紹角的方法由教師先做演示操作，其實(shí)是角的本質(zhì)屬性的外顯，學(xué)生每一次找角時(shí)都可以規(guī)范地用上，在不斷鞏固角各組成要素的同時(shí)，也時(shí)時(shí)關(guān)注角的核心是兩邊之間所夾的距離的大小，為下面的學(xué)習(xí)做鋪墊，一舉兩得。

3.師：看來，小朋友對(duì)角已有一些了解。那這些物品中有角嗎？（三角尺、鐘面、數(shù)學(xué)書）你能像剛才這樣來介紹嗎？

生規(guī)范地介紹，媒體抽象出角。

4.師：現(xiàn)在你能用數(shù)學(xué)的眼光再來判斷一下，大家一開始指的生活中的角，是數(shù)學(xué)的角嗎？

生：桌角不是，它跟數(shù)學(xué)角不一樣。

師：是的，桌角、墻角是物體上突出的部分，不是數(shù)學(xué)上的角。就像這個(gè)長(zhǎng)方體盒子，這個(gè)突出的地方是數(shù)學(xué)的角嗎？

生：不是。

師：那你能在這個(gè)長(zhǎng)方體中找到數(shù)學(xué)的角嗎？

生上來用規(guī)范的方法介紹長(zhǎng)方體一個(gè)點(diǎn)出發(fā)的一個(gè)角。

師：真棒，他在盒子的這個(gè)面上找到了角。還是這個(gè)頂點(diǎn)，還有其他的角嗎？

5.師小結(jié)：看來，生活中的角和數(shù)學(xué)的角還是不太一樣，大家說的桌角、墻角都是立體的，而數(shù)學(xué)上的角是個(gè)平面圖形。

先用半抽象的簡(jiǎn)單材料創(chuàng)造角，而后再?gòu)纳顚?shí)物中抽象出角，這樣的順序調(diào)整，目的是摒棄非本質(zhì)屬性的干擾，喚醒學(xué)生心中對(duì)抽象角的正確前認(rèn)知，再通過兩次辨析強(qiáng)化突出角本質(zhì)特點(diǎn)。而在數(shù)學(xué)角概念初步建立后，再通過“從實(shí)物中抽象出角、利用概念辨析課前學(xué)生心中的生活角、在立體角中找數(shù)學(xué)角”這一系列的操作活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷鞏固和運(yùn)用概念進(jìn)行自主判斷的學(xué)習(xí)過程，至此，錯(cuò)誤前經(jīng)驗(yàn)得以修正，正確的概念得以建構(gòu)。

操作環(huán)節(jié)二：理解角的大小的本質(zhì)

1.師：現(xiàn)在咱們?cè)賮硗嫱婊顒?dòng)角。

要求：（1）每人用學(xué)具中的小棒做一個(gè)活動(dòng)角。（2）同桌兩個(gè)小伙伴比一比，誰的角更大。

兩個(gè)學(xué)生上來比角的大小，師介紹規(guī)范的重疊比較法。

師：我們已經(jīng)知道怎樣比較角的大小了。那你能讓自己的角變小嗎？再讓角變大。

師：說說你們是怎么讓角變大變小的呢？

生（邊演示邊說）：角的兩邊拉開，角就變大了，縮攏，角就變小了。

師演示：原來，角兩邊張開大，角就大；角兩邊張開小，角就小。角的大小其實(shí)就是角兩邊張開的大小。

2.師：老師擺了這樣一個(gè)角，你能用你的活動(dòng)角擺一個(gè)和老師一樣大的角嗎？

生：能！

師：你們的邊這么短，可以嗎？

生上來擺，引導(dǎo)用重疊法：頂點(diǎn)重合，水平的一條邊重合，第二條邊旋轉(zhuǎn)，直到與另一條邊重合。

師：他是怎么做到的？

生：一條邊重合，另一條邊張開張開，張開到一樣大為止。

師：原來頂點(diǎn)和邊都重合了，說明這兩個(gè)角兩邊張開的大小一樣，它們就是大小相等的角。

師：把兩個(gè)角分開，這兩個(gè)居然是大小相等的角，看上去好像我這個(gè)大得多呀。

生：你不能看邊，邊再長(zhǎng)也沒用。

師： 你的意思是，角的大小和邊的長(zhǎng)短——

生：沒關(guān)系。

師：那角的大小和邊的什么有關(guān)系？

生：角的大小和邊叉開的大小有關(guān)系。

在下面的練習(xí)中，對(duì)大小相等，但邊長(zhǎng)短不一樣的角，學(xué)生都能準(zhǔn)確判斷。

第二次教學(xué)時(shí)，活動(dòng)角的操作順序?yàn)椋?/p>

活動(dòng)1：同桌比活動(dòng)角的大小，通過教師演示重疊法，初步建構(gòu)角大小比較的方法。

活動(dòng)2：讓活動(dòng)角變大變小。此時(shí)，“角的大小即為面的大小”的錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)被正確的角大小概念代替。

活動(dòng)3：利用角的大小比較的方法，擺一個(gè)和教師的角相等的角。邊長(zhǎng)短不同的相等角的比較，一般都是直接呈現(xiàn)兩個(gè)角進(jìn)行判斷，筆者讓學(xué)生在擺的動(dòng)態(tài)操作中，主動(dòng)關(guān)注角的大小的本質(zhì)：兩邊的位置關(guān)系，而非邊的長(zhǎng)短。

如此的順序調(diào)整收到了很好的效果：角的大小的核心要素先入為主納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)，成為后兩個(gè)操作活動(dòng)的檢驗(yàn)方法，并被不斷強(qiáng)化，學(xué)生對(duì)“角的大小與邊的長(zhǎng)短無關(guān)，與兩邊叉開的大小有關(guān)”的感悟自然水到渠成。endprint

【反思】

結(jié)合本次磨課經(jīng)歷，我對(duì)數(shù)學(xué)課堂中的操作活動(dòng)與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累有了一點(diǎn)別樣的感悟——就我們的數(shù)學(xué)課堂來說，概念建構(gòu)中的操作活動(dòng)是積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要途徑，而數(shù)學(xué)操作活動(dòng)的規(guī)范有序，是順利建構(gòu)概念的基本保證?；诟拍罱?gòu)的有效操作過程，也是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的逐步積累過程：學(xué)生借助動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考、自我調(diào)整，不斷地獲得個(gè)性化的概念學(xué)習(xí)的策略，并逐步形成可以運(yùn)用于其他學(xué)習(xí)情境的思考和解決問題的經(jīng)驗(yàn)。

從磨課過程可以發(fā)現(xiàn)，兩次操作產(chǎn)生不同效果的主要原因，并非具體的操作內(nèi)容，而是操作活動(dòng)的順序安排上。究其原因，是課前筆者對(duì)“在什么時(shí)候操作？怎么操作？” 思考得更多，而對(duì)基于學(xué)情的操作活動(dòng)的規(guī)范有序欠缺思考，從而影響了概念建構(gòu)，自然學(xué)生也無法獲得符合他們個(gè)性特征的學(xué)習(xí)方法?？磥恚挥袑⒉僮骰顒?dòng)的序的安排更科學(xué)，學(xué)生才能順利建構(gòu)概念，進(jìn)而積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

1. 操作活動(dòng)的序應(yīng)契合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在概念建構(gòu)中積累“比較、修正、抓本質(zhì)”的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。杜威說：教育就是經(jīng)驗(yàn)的改造或改組。所以，設(shè)計(jì)操作活動(dòng)前，教師需先了解學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)：學(xué)生的前經(jīng)驗(yàn)是什么？經(jīng)驗(yàn)中的正遷移和負(fù)遷移分別是什么？學(xué)生對(duì)概念的理解，最困難的是什么？只有把握了學(xué)情，操作活動(dòng)設(shè)計(jì)才有依據(jù)。操作活動(dòng)應(yīng)盡量先激活與教學(xué)要素緊密對(duì)接的那部分前經(jīng)驗(yàn)，再利用正確的概念改造原本錯(cuò)誤的經(jīng)驗(yàn)。這個(gè)過程，其實(shí)也是幫助學(xué)生積累概念學(xué)習(xí)中的相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。如本課中，先激活數(shù)學(xué)角的前認(rèn)知，再去辨析“生活角”。又如第二個(gè)操作環(huán)節(jié)中，先建立正確的角的大小的概念，然后再加入邊的長(zhǎng)短這個(gè)非本質(zhì)屬性的干擾，都是以正確經(jīng)驗(yàn)來修正模糊經(jīng)驗(yàn)，如此，學(xué)生才能正確啟動(dòng)比較、反思、重構(gòu)的模式，進(jìn)而本質(zhì)屬性慢慢凸顯，這何嘗不是一種自主建構(gòu)概念的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累呢？

2. 操作活動(dòng)的序要符合知識(shí)的邏輯順序，在概念建構(gòu)中實(shí)現(xiàn)同化與順應(yīng)，積累“建立關(guān)聯(lián)，完善結(jié)構(gòu)”的經(jīng)驗(yàn)。 概念的學(xué)習(xí)其實(shí)更重要的是建立聯(lián)系，將新知整合到舊知體系中，實(shí)現(xiàn)“同化”，并以新概念改造原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)“順應(yīng)”。但如果操作活動(dòng)序的安排違背了知識(shí)自身的邏輯，那么當(dāng)新信息出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生就無法找到與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)“相合”的部分，無法對(duì)新信息進(jìn)行同化和順應(yīng)，操作也就失去了加深理解、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的作用。如在進(jìn)行角的大小操作時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)“大小”這個(gè)概念的前經(jīng)驗(yàn)會(huì)影響新知的有效建構(gòu)，故只有先建立角的大小的觀念，學(xué)生才能實(shí)現(xiàn)同化，并在此基礎(chǔ)上，通過觀察、類比、動(dòng)態(tài)變化等途徑，對(duì)概念進(jìn)行多元表征，而后才能進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生理解“角的大小與邊叉開的大小有關(guān)，與邊的長(zhǎng)短無關(guān)”，打破”平面圖形的大小就是面的大小”的原有經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)“順應(yīng)”，學(xué)生從中也積累了“通過多元表征，主動(dòng)建立關(guān)聯(lián)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（浙江省寧波市愛菊藝術(shù)學(xué)校 315000）endprint