在有序操作中建構概念，在有效活動中積累經驗

張莉

數學知識和數學學習強調“有序”已經是業界的共識。就數學學習活動尤其是操作活動的組織和安排而言，如何根據學情來建立操作活動的序，并在有序的操作中建構概念，進而讓學生積累好的活動經驗，這應當是教師需要重點考慮的問題?；诖死砟睿P者對二上“角的初步認識”一課進行了研磨，并收獲了不少感悟。

第一次教學與反思

【第一次課堂嘗試】

操作環節一：建構“角”的概念

師：小朋友們，今天我們來認識“角”，生活中，你見到過角嗎？

生：三角形上有角。

生：牛角、羊角。

生：還有桌角、墻角。

師：這些都是我們數學上的角嗎？通過今天的學習，小朋友就可以知道了。

師：老師帶來了三件物品，它們身上有角嗎？請你找一找。（媒體出示：紅領巾、鐘面、數學書）

生指角，師指出正確的指角方法。

師：觀察這三個角，它們有什么相同的地方？（媒體隱去實物，抽象出角）

生：都是尖尖的。

生：邊都是直直的。

師：是的，這個尖尖的地方叫作頂點，這直直的兩條線就是角的邊。

師：現在再來找找周圍的角，你能用正確的方法指出來嗎？有兩個學生還是指立體角，接下來判斷角的練習時也有出錯情況，如把整個三角形判斷成一個角。

……

操作環節二：感悟角的大小的本質

1.生用學具小棒做一個活動角，并讓角變大變小。

師：你們怎么讓角變大變小的呢？

生：我是把角張開些，角變大，縮攏一些，角變小。

師：原來角兩邊張開大，角就大；角兩邊張開小，角就小。（邊說邊演示）

2.師：想一想，如果我想讓角就這么大，不能再變大變小，該怎么辦？

生：把角的頂點這里粘住，不能動了。

師：好，聽你們的。（師固定）這個角的大小真的不會變了嗎？看我讓它變?。舻恫粩喟堰吋舳蹋┙亲冃×藛?？

生：越來越小了。

生：沒變小。（學生意見不一致）

師：真的變小了嗎？剛才我們不是把頂點固定住，讓角不能變大變小嗎？

生：哦，那沒變小。

師：那角的大小和什么有關，和什么沒有關系呢？

生：角的大小和角的兩邊有關系。

師：和角兩邊的什么有關系？

生：和角兩邊的長短有關系。

師：和長短有關系嗎？你看角的兩邊剪短了，角的大小沒有變呀。

生：哦，沒關系。

師總結：角的大小和角兩邊張開的大小有關系，和畫出邊的長短沒關系。

3.師：現在你能用活動角做一個比老師的角大一點的角嗎？（生上來擺，師演示重疊比較法）

在下面練習中，當出現一組邊長短差異很大的相等角時，部分學生判斷錯誤。

【反思】

課后，基于學情的深入分析，筆者列出了問題所在，并分析原因，提出改進策略。

一、問題

操作環節一：前經驗真的被喚醒了嗎？

在引入角的概念時，我遵循了常規設計：先自己找生活中的角，喚醒相關生活經驗，然后從熟悉的實物中抽象出數學的角，尋找角的共同屬性。但從課堂反饋來看，效果并不好，初步認識角以后，生活中的立體角和抽象的數學角繼續混淆著存在于學生的腦海中，學生并未把概念的內涵和外延理清楚。

操作環節二：活動角的操作真的有效嗎？

感悟角的大小的操作活動，筆者先通過“活動角變大變小、固定老師的活動角、不斷剪短固定角兩邊”這一系列操作活動，感悟角的大小與邊叉開的大小有關，與畫出邊的長短無關，再通過“擺一個比老師的角更大的角”這個活動學習用重疊法比較角的大小的方法。但實際效果也不好，角的大小的本質由教師直接告知，學生在看似豐富的操作活動中，并未積累基于概念建構的相關活動經驗，故當出現邊長短的干擾時，還是無法正確判斷。

二、原因

1.對角這個平面圖形，學生其實是有可利用的前認知的，但同時也明顯存在生活經驗的負遷移。第一次操作活動讓學生從周圍實物中找角，不能有效激活學生前經驗中的那部分正確認知，而是激活了易混淆的生活立體角的經驗，而后續教師也沒有基于學情及時處理，導致學生未能很好地建構“角”。

2.在認識角以前，所有平面圖形的大小都是面的大小，遷移到角的大小的理解中，學生也深以為然。所以在邊長短相同的情況下，學生能自如地讓活動角變大變小，也許并不是概念理解下的正確操作，而是歪打正著。一旦邊的長短有明顯差異時，舊經驗就阻礙了對角大小的理解：教師演示用剪刀剪角的邊，很多學生認為角變小了，因為形成的面變小了。而接下來的“擺一個比老師的角更大的角”，學生腦中角的大小的概念是教師灌輸的“兩邊叉開大小”和原本經驗“面的大小”同時并存，負遷移并未被修正。那么當兩邊長不同的相等角出現時，判斷錯誤也是情理之中?？磥?，在還沒弄清楚“角的大小到底指什么”這個重要問題時，出現不同邊長的角的大小操作活動都是無效的。

三、對策

基于上述的學情分析和反思，筆者想到了兩次操作活動的序的安排均需調整，具體來說就是：（1）在認識角時，將“實物中抽象出數學角”這一活動延后，先去除無關因素的干擾，用最簡單的材料操作，激活學生正確的前經驗，并針對生活角與數學角易混淆的現象，設計區分立體角和數學角的操作演示，以凸顯角作為平面圖形的本質屬性。（2）有關角的大小操作活動的序調整為：先建立正確的角的大小的觀念，再出現兩邊長短不同的角的大小辨析。同時讓邊長短不同的相等角由常規的判斷變為學生動態的操作活動，激發學生對角的大小本質的主動感悟。這樣學生才能充分利用角的大小概念對邊的長短的干擾進行甄別，積累“應用概念進行辨別”的操作經驗。endprint

帶著這些思考，筆者進行了第二次課堂嘗試，收到了很好的效果。

第二次教學與反思

【第二次課堂嘗試】

操作環節一：建構“角”

1.師：今天我們一起認識一種新的圖形——角。你知道角嗎？找找你的周圍，哪兒有角，上來指一指。（生上來有指桌角、墻角）

師：這些生活中的角都可以看成數學上的角嗎？通過今天的學習，我們就知道了。

2.老師提供一根吸管、兩根學具小棒、一根棉線，同桌合作，選其中的一種材料創造一個角。

反饋交流：學生在實物投影中擺角。

師（棉線沒有拉直）：這個是角嗎？為什么？

生：不是角，因為它的邊不直，是彎彎的。

師：請讓它變成你心中的角。

師：原來角的兩條邊要直直的。

師（小棒分開，沒有公共點）：這個是角嗎？為什么？

生：不是，因為它們沒有碰在一起。

師：請你把它變成角。

師：原來這兩條線段，要有公共的點。

師：小朋友做的角材料不同，大小不同，但有相同的地方，是什么？

生：有一個交叉點，有兩條直直的邊。

師：是的，它們都有一個尖尖的點，兩條直直的線。都可以看成數學中的角。

師：這個點我們叫作頂點；兩條直直的線，我們就叫作角的邊。

師：現在，看老師怎么來介紹角。（邊比畫邊說）一個頂點，兩條邊，這兒有一個角（畫圓弧）。誰能像老師這樣，來介紹另外兩個？

生上來準確介紹了另外兩個角。

正確地介紹角的方法由教師先做演示操作，其實是角的本質屬性的外顯，學生每一次找角時都可以規范地用上，在不斷鞏固角各組成要素的同時，也時時關注角的核心是兩邊之間所夾的距離的大小，為下面的學習做鋪墊，一舉兩得。

3.師：看來，小朋友對角已有一些了解。那這些物品中有角嗎？（三角尺、鐘面、數學書）你能像剛才這樣來介紹嗎？

生規范地介紹，媒體抽象出角。

4.師：現在你能用數學的眼光再來判斷一下，大家一開始指的生活中的角，是數學的角嗎？

生：桌角不是，它跟數學角不一樣。

師：是的，桌角、墻角是物體上突出的部分，不是數學上的角。就像這個長方體盒子，這個突出的地方是數學的角嗎？

生：不是。

師：那你能在這個長方體中找到數學的角嗎？

生上來用規范的方法介紹長方體一個點出發的一個角。

師：真棒，他在盒子的這個面上找到了角。還是這個頂點，還有其他的角嗎？

5.師小結：看來，生活中的角和數學的角還是不太一樣，大家說的桌角、墻角都是立體的，而數學上的角是個平面圖形。

先用半抽象的簡單材料創造角，而后再從生活實物中抽象出角，這樣的順序調整，目的是摒棄非本質屬性的干擾，喚醒學生心中對抽象角的正確前認知，再通過兩次辨析強化突出角本質特點。而在數學角概念初步建立后，再通過“從實物中抽象出角、利用概念辨析課前學生心中的生活角、在立體角中找數學角”這一系列的操作活動，讓學生經歷鞏固和運用概念進行自主判斷的學習過程，至此，錯誤前經驗得以修正，正確的概念得以建構。

操作環節二：理解角的大小的本質

1.師：現在咱們再來玩玩活動角。

要求：（1）每人用學具中的小棒做一個活動角。（2）同桌兩個小伙伴比一比，誰的角更大。

兩個學生上來比角的大小，師介紹規范的重疊比較法。

師：我們已經知道怎樣比較角的大小了。那你能讓自己的角變小嗎？再讓角變大。

師：說說你們是怎么讓角變大變小的呢？

生（邊演示邊說）：角的兩邊拉開，角就變大了，縮攏，角就變小了。

師演示：原來，角兩邊張開大，角就大；角兩邊張開小，角就小。角的大小其實就是角兩邊張開的大小。

2.師：老師擺了這樣一個角，你能用你的活動角擺一個和老師一樣大的角嗎？

生：能！

師：你們的邊這么短，可以嗎？

生上來擺，引導用重疊法：頂點重合，水平的一條邊重合，第二條邊旋轉，直到與另一條邊重合。

師：他是怎么做到的？

生：一條邊重合，另一條邊張開張開，張開到一樣大為止。

師：原來頂點和邊都重合了，說明這兩個角兩邊張開的大小一樣，它們就是大小相等的角。

師：把兩個角分開，這兩個居然是大小相等的角，看上去好像我這個大得多呀。

生：你不能看邊，邊再長也沒用。

師： 你的意思是，角的大小和邊的長短——

生：沒關系。

師：那角的大小和邊的什么有關系？

生：角的大小和邊叉開的大小有關系。

在下面的練習中，對大小相等，但邊長短不一樣的角，學生都能準確判斷。

第二次教學時，活動角的操作順序為：

活動1：同桌比活動角的大小，通過教師演示重疊法，初步建構角大小比較的方法。

活動2：讓活動角變大變小。此時，“角的大小即為面的大小”的錯誤經驗被正確的角大小概念代替。

活動3：利用角的大小比較的方法，擺一個和教師的角相等的角。邊長短不同的相等角的比較，一般都是直接呈現兩個角進行判斷，筆者讓學生在擺的動態操作中，主動關注角的大小的本質：兩邊的位置關系，而非邊的長短。

如此的順序調整收到了很好的效果：角的大小的核心要素先入為主納入認知結構，成為后兩個操作活動的檢驗方法，并被不斷強化，學生對“角的大小與邊的長短無關，與兩邊叉開的大小有關”的感悟自然水到渠成。endprint

【反思】

結合本次磨課經歷，我對數學課堂中的操作活動與數學活動經驗積累有了一點別樣的感悟——就我們的數學課堂來說，概念建構中的操作活動是積累活動經驗的重要途徑，而數學操作活動的規范有序，是順利建構概念的基本保證?；诟拍罱嫷挠行Р僮鬟^程，也是數學活動經驗的逐步積累過程：學生借助動手操作、動腦思考、自我調整，不斷地獲得個性化的概念學習的策略，并逐步形成可以運用于其他學習情境的思考和解決問題的經驗。

從磨課過程可以發現，兩次操作產生不同效果的主要原因，并非具體的操作內容，而是操作活動的順序安排上。究其原因，是課前筆者對“在什么時候操作？怎么操作？” 思考得更多，而對基于學情的操作活動的規范有序欠缺思考，從而影響了概念建構，自然學生也無法獲得符合他們個性特征的學習方法?？磥恚挥袑⒉僮骰顒拥男虻陌才鸥茖W，學生才能順利建構概念，進而積累數學活動經驗。

1. 操作活動的序應契合學生的認知規律，在概念建構中積累“比較、修正、抓本質”的數學活動經驗。杜威說：教育就是經驗的改造或改組。所以，設計操作活動前，教師需先了解學生的認知特點：學生的前經驗是什么？經驗中的正遷移和負遷移分別是什么？學生對概念的理解，最困難的是什么？只有把握了學情，操作活動設計才有依據。操作活動應盡量先激活與教學要素緊密對接的那部分前經驗，再利用正確的概念改造原本錯誤的經驗。這個過程，其實也是幫助學生積累概念學習中的相關活動經驗。如本課中，先激活數學角的前認知，再去辨析“生活角”。又如第二個操作環節中，先建立正確的角的大小的概念，然后再加入邊的長短這個非本質屬性的干擾，都是以正確經驗來修正模糊經驗，如此，學生才能正確啟動比較、反思、重構的模式，進而本質屬性慢慢凸顯，這何嘗不是一種自主建構概念的數學活動經驗的積累呢？

2. 操作活動的序要符合知識的邏輯順序，在概念建構中實現同化與順應，積累“建立關聯，完善結構”的經驗。 概念的學習其實更重要的是建立聯系，將新知整合到舊知體系中，實現“同化”，并以新概念改造原有認知結構，實現“順應”。但如果操作活動序的安排違背了知識自身的邏輯，那么當新信息出現時，學生就無法找到與原有認知結構“相合”的部分，無法對新信息進行同化和順應，操作也就失去了加深理解、積累活動經驗的作用。如在進行角的大小操作時，我們發現“大小”這個概念的前經驗會影響新知的有效建構，故只有先建立角的大小的觀念，學生才能實現同化，并在此基礎上，通過觀察、類比、動態變化等途徑，對概念進行多元表征，而后才能進一步引導學生理解“角的大小與邊叉開的大小有關，與邊的長短無關”，打破”平面圖形的大小就是面的大小”的原有經驗，實現“順應”，學生從中也積累了“通過多元表征，主動建立關聯，完善認知結構”的活動經驗。

（浙江省寧波市愛菊藝術學校 315000）endprint