基于測查數據的“旋轉”教學建議

陸昌波

【摘 要】通過對學生“旋轉”思維水平的測查、分析及思考，整體審視教材，提出幫助學生通過圖形的旋轉變換學習，更好地提升幾何素養的三條建議：1.整合教材，分解難度；2.豐富素材，理解要素；3.語言表征，精準科學。

【關鍵詞】旋轉；思維水平；測查；分析；啟示

人教版教材五（下）第5單元“圖形的運動（三）”是小學階段最后一次以新課形式學習此領域的相關知識，具體內容包括4個例題（圖形旋轉的含義、特點、把一個簡單圖形旋轉90°和解決問題）。學生在二（下）初步感知生活中的對稱、平移和旋轉現象，四（下）學習軸對稱圖形，本單元內容承上啟下：既要關注新舊知識的聯結點，用原有知識推動“旋轉”的學習，又要為中學進一步學習“旋轉”的基本性質打下堅實的基礎。筆者試圖通過兩次測查，收集與整理相關數據，分析與思考學生學習“旋轉”的困難點，以便一線教師在教學設計時有的放矢，有效提高學生幾何思維水平。

一、測查結果的統計與分析

（一）學生真的能結合生活實例正確判斷旋轉現象嗎？

從上表不難看出，無論哪個年級，8個圖全部判斷正確的學生占比不高，車道出入桿誤判率最高，秋千圖誤判率第二。筆者特意請各個年級學生訪談（現以5名五年級學生回答為例）。筆者問蕩秋千圖是不是旋轉，其中2名學生說不是，3名學生說是。判斷不是旋轉的學生說：“因為蕩秋千沒有蕩一圈，所以不是。”判斷是的學生反駁：“這秋千可以蕩一圈的，只是圖上的人不敢蕩一圈！蕩得太高會摔下來的。”筆者指著車道出入桿圖問：“這條桿總不能轉一圈了吧？怎么你也說是旋轉呢？”判斷此圖不是旋轉的學生趕緊附和逼問：“對呀對呀！你們說理由啊！”幾位判斷是旋轉的學生說不出理由，只是說：“反正這就是旋轉。”按范希爾的觀點，直觀水平的學生能按照外觀從整體上識別圖形，這種識別常常依賴于具體的范例。正因為學生只能通過整體輪廓辨認旋轉，而無法使用旋轉的三要素來分析蕩秋千和車道出入桿這兩幅圖，所以導致誤判。

（二）旋轉三要素錯況分析：學生對哪個要素的理解感到最困難？

1.關于旋轉中心的調查與分析

從上表看出，除了六年級學生剛在暑假前的五（下）學過旋轉正確率最高外，其他年級能正確填0點的不多。筆者選幾種出錯率高的學生個別訪談后還發現：填什么與學生最近學過什么有關。例如三年級填“繞15點”的學生說：老師你看從秒針12到3走過15小格15秒呀（學生剛在本學期第一單元學過“秒的認識”）。四、五年級填“繞3點或12點”的學生說：從12走到3，我想就填12（或3）點鐘好了。

2.關于旋轉方向的調查與分析

旋轉方向是把握圖形旋轉的三要素之一，用下面的題目測試，得到了表格中的結果。

從此表可看出，學生“順時針”方向不是不知道，筆者訪談每個年級填“右”或“3”的學生，他們都能用手勢在鐘面上比畫順時針方向，只是不會用“順時針”這個詞而已。語言是思維的外殼，由此可驗證范希爾的觀點：每一個層次都有其專屬的階段性語言符號，在某一層次使用的語言符號，可能到了另一層次就必須調整為另一種語言符號。

3.旋轉角度的測試與分析

旋轉角度是描述旋轉重要維度，用下面的問題測試學生，得到表格中的結果。

學生對旋轉角度的理解，除三年級空白沒填占比比填90°高外，其他年級正確率比各種錯誤填法占比高。

從上述分析可知，旋轉三要素中旋轉角度表述學生元認知基礎較好，隨年級升高穩步增長。而旋轉中心、旋轉方向則是從低水平開始，經過五（下）的教學活動分別跳到93.71%和89.51%，似乎有點跳躍式發展，恰恰驗證范希爾理論的又一個特點：從一個水平過渡到另一個水平不是平緩的，而是一個“跳躍”的過程，在到達新水平前，學生會經歷一個“思維的危機”。

（三）畫圖操作過程中哪里最難？

從上表可看出，學生到六年級剛開始的時候，能正確畫圖的學生占77.62%，方向畫反的學生最多。為進一步尋找學生畫圖操作的困難點，筆者在本學期對五年級兩個班的66位學生做了小范圍的調查，結果如下：

上圖顯示有20位學生（占30.3%）能把線段旋轉90°后的圖形正確畫出，而會畫三角形、長方形旋轉90°后的圖形僅占15%左右。在各種錯誤畫法里，移動旋轉中心而其他要素都對的有12人，占18.18%；旋轉方向畫錯的有8人，占12.12%；還有少部分學生與軸對稱和平移畫法混淆。旋轉中心在圖形外（第三學段的要求）的正確率只有3%，每班僅1位學生。

（四）學生會表述什么是旋轉嗎？

能用三要素準確描述旋轉圖形的只有六年級的15位學生，僅占10.49%。要求學生用自己的話說說什么是旋轉時，部分學生說“像鐘面（門、風車、飛機的機翼）一樣的就是旋轉”。用范希爾理論來解釋，“能畫圖，使用標準或不標準名稱描述圖形”，這依然是直觀視覺思維水平。這個問題蘇聯學者皮什卡羅曾花4年時間調查研究過，其中有2個結論是：（1）在前五個年級中，大多數兒童都從“整體”上知覺圖形。（2）在幾何發展的第一水平，學生要停留很長時間，到五年級末，只有10%到15%的學生能達到水平2，這是進一步學習幾何的基礎。

二、基于測查數據的教學建議

（一）整合教材，分解難度

既然線段的旋轉承載了對旋轉要素的深化理解的作用，是后面平面圖形旋轉的基礎，那么在實際教學中，像北師大版這樣設計線段旋轉的環節，是不是對突破畫圖這一難點更加有效呢？從測查數據中也能證明學生對畫線段繞一點旋轉90°的圖形最容易上手。專門從旋轉圖形畫法指導這一課時內容來看，讓學生從點、線、面的逐步旋轉，從用三角尺或三角形學具的實物旋轉再到在方格紙上畫出幾何圖形的旋轉，這樣設計拾級而上，更加有利于全體學生（特別是學困生）有效操作。

（二）豐富素材，理解要素

圖1是人教版二（下）的學習內容，圖2是人教版五（下）的學習內容，一對比就明白在測查中學生為什么對車道桿和秋千圖的判斷錯誤率最高。（1）是否能轉滿360°成為學生判斷的標準。（2）學生的判斷基本來自生活經驗：運動的整體感知大于部分的感知。（3）位置的描述偏向結果的描述。二年級旋轉中所有的素材都是完整旋轉，教學重點在于辨別平移和旋轉，學生自然形成第一印象——旋轉必須繞一點做圓周運動。建議教師在教學設計時多用局部旋轉圖形（如蕩秋千等），幫助學生理解旋轉三要素，并領悟用幾何要素來分析圖形的方法。

（三）語言表征，精準科學

尊重學生思維的現實起點，教師的學習素材、教具選擇和課堂用語都要與學生的思維水平匹配，否則學生將無法理解、思考“旋轉”過程及結果。從測查中的學生三要素錯況分析和學生自主表述什么是旋轉的思考中，再一次驗證范希爾理論：教師應該幫助學生把元認知不規范語言轉化為數學語言，以促進學生早日提升幾何思維水平。

一線數學教師最值得研究的是學生的思維水平，而有效的測查是深度琢磨學生思維水平的重要路徑。對學情的把握，不能僅憑教參的要求，也不能過分依賴教學經驗，而應通過科學的方法，收集、分析數據并深入思考，在此基礎上設計學案，實施課堂教學，方能提高教學實效，提升學生數學素養。

參考文獻：

[1] 鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2] 朱樂平，章穎.平移、旋轉和軸對稱教學研究[M].北京：教育科學出版社，2014.

（浙江省瑞安市塘下鎮鮑二村塘下實驗小學 325204）endprint