基于圖式化素養的分數基本性質教學探索

【摘 要】圖式化素養是指學生以圖像表征為支架，通過圖形、圖式、文字、符號等多種數學語言相互轉化的視覺學習過程，對形式的數學本質內容進行內化理解的數學核心素養。學科視角下，核心素養培養的突破口在于學習方式的轉變。本研究以分數基本性質為載體，以圖式化素養培養為切入點，從知識本源、課程標準、教材研究、教學設計等維度展開實踐并進行總結，以期概括出基于數學核心素養的教學研究一般化操作策略。

【關鍵詞】圖式化素養；分數基本性質；教學研究

數學是深奧的，學生期待的卻是生動的數學學習，那么如何用“生動”的方式來學“深奧”的數學呢？數學圖式可以在兒童天性和學科本質之間架構一座橋梁，讓學習情趣與學科理趣有機融合，促使意義融通。

圖式化是對形式的數學本質內容的內化過程，是對數學概念、原理、模式的理解過程。圖式化素養是指學生以圖像表征為支架，通過圖形、圖式、文字、符號等多種數學語言相互轉化的視覺學習過程，對形式的數學本質內容進行內化理解的數學核心素養。

學科視角下，核心素養培養的突破口在于學習方式是否轉變，在于是否在每一節課的教學中落地。在這里，筆者將以分數基本性質為載體，以圖式化素養為切入點，從知識本源、課程標準、教材研究、教學設計等維度，談談自己的一些實踐體會，以期概括出基于數學核心素養的課堂教學研究一般化操作策略。

一、追溯本源：建立知識“序”，確立素養目標核心“點”

分數的基本性質在分數教學中占有重要的地位，在小學數學學習中起著承前啟后的作用（見圖1）。它是自然數情況下商不變性質的延伸，從而引起分數表示的不唯一性。如何讓學生去體驗分數的無限“等價類”，理解與尋找等值分數？這就需要明確素養目標的核心“點”——讓學生經歷圖式化過程應是其核心環節，培養圖式化素養應是其核心任務。

教學需要挖掘分數基本性質的本質，引導學生主動加入到知識的理解與建構的過程中，在這個過程中達成圖式化核心素養的培養任務。

二、整體著眼：基于標準表現“序”，形成評價測量“度”

當我們確立了學科核心素養目標“點”后，如何在具體的教學中落實呢？這就需要我們基于課程標準，去科學細化，明確所要培養的學科核心素養外在表現，建立起“序列”，從而使教學了然于心。

（一）多維閱讀，尋求著力“點”

關于分數基本性質，我國從1963年頒布的《全日制小學算術教學大綱（草案）》開始，到《義務教育數學課程標準（2011年版）》，都把“分數的基本性質”列入教學內容。在1963年的大綱中，分數基本性質的要求是“掌握”，之后的要求是“理解”。

至于如何“理解”，課程標準并沒有給出答案，我們需要展開多維閱讀。比如分數基本性質，美國2010年版《同一州核心課程標準》中這樣呈現。

三年級：在“理解分數是一種數”中指出“用具體的例子解釋分數的相等，通過分數大小的推理來比較分數”，具體的要求是“理解如果兩個分數的大小相同，或者在數軸上由同一個點表示，則這兩個分數相等……”

四年級：在“對于等分數和排序的進一步理解”中指出“利用直觀的分數模型解釋分數[ab]等值于[n·an·b]；利用這個原理來認識和生成等分數……”

從美國的課程標準中，我們發現“利用直觀的分數模型建立等值分數的表象”和“利用基于圖示的實踐活動解釋分數等值的原因”這兩點很顯著，這就給我們教學指明了具體的方向。

（二）細化知識，分析匹配“度”

筆者認為，圖式化素養包含讀圖、分析、畫圖、表達、解決問題等豐富多元的元素，其中讀圖、表征和互譯是三大核心元素。讀圖，經歷從操作到表象的體驗過程。表征是對知識的精加工，體現從模仿到探究的創作過程。“互譯”是不同數學語言的相互轉換、溝通、重組與整合的過程。

基于這樣的理解，我們基于圖式化素養處理現有課程標準做出如下分析（見表1），解讀內容標準，概括（或提取、抽象）出內容所指向的素養。

（三）建立序列，把握評價“度”

在分析內容標準的基礎上，明確表現標準，建立能力素養序列，嘗試進行相對有序的水平評價（見表2），著眼于整體，著手于細微。

三、立足教材：明晰教材呈現“序”，確立核心素養切入“口”

基于學科核心素養的教材研究，我們需要思考兩個問題：第一，這節課要培養學生的核心素養是什么，教材設計中是如何體現的？知識學習與學科核心素養發展的關系研究。找出兩者之間的內在聯系，思考如何通過知識學習促進學科核心素養發展。第二，該核心素養可以通過什么方式讓學生習得，教材中是如何體現這些學習方式的？

（一）比較教材，明晰呈現“序”

筆者以現行浙教、北師、蘇教、人教、西師、青島等版本教材為對象，研究了教材的引入部分，發現除北師大版教材以外，其他版本教材均以“[12=24=48]”為認知特例，通過對折、對折、再對折進行操作強化。在此基礎上，再引導學生開展運用直觀方式驗證與尋找相等分數的探究活動。分數的基本性質從“[12]”開始，切合學生的現有生活經驗和知識經驗。

同時，筆者也對圖示工具、學習方式等核心要素進行了比較，見表3。

我們發現，各版本教材都注重提供直觀模型，引導學生主動發現分數的基本性質。其中，浙教版的設計更深刻一些，如結合圖示尋找與[23]相等的分數（如圖2），再在排序中研究分數的變化規律的設計，頗具匠心。

（二）基于教材，確定切入“口”

通過教材的比較研究，筆者認為“圖式化”素養在分數基本性質教學中可以從以下三個方面切入。

（1）凸顯圖式直觀。各版本教材設計均凸顯“圖式直觀”元素，教學中基于圖式可以引導學生運用多感官參與學習，從而形成關于分數基本性質這部分知識與策略的“圖式”。endprint

（2）聚焦分數單位。分數的基本性質其核心在于“分數單位”。基于“量的守恒”，聚焦分數單位，充分運用線段模型，在“度量”中尋找等值分數，從而理解等值內涵。

（3）關注知識并聯。商不變性質、分數的基本性質及比的基本性質，其本質相同，形式不同。我們應關注新舊知識之間的來回互譯，加深學生對分數基本性質的理解，完成知識體系的建構。

四、優化教學：摸清認知障礙“點”，設計核心素養落地“維”

基于上位知識、課程標準、教材的研究，我們對如何在分數基本性質教學中培養圖式化素養已經有了比較清楚的認識與理解。接著，我們需要摸清認知障礙點，讓圖式化素養在課堂教學中落地。

（一）教學前測，摸清障礙“點”

在分數基本性質的教學中，學生的認知障礙點是什么呢？以前測的一個班（共計46人）為例，學生在說明“[23]和[812]是否相等”時，具體的前測結果呈現如下：

——認為不相等的有5人。（單位“1”不統一，導致出錯4人。份數數錯，導致錯誤1人）

——認為相等的有41人，其中有1人用分數的意義說明：把12平均分成3份，1份是4個，分子是8也可以說是12的[23]；

在認為相等的學生中，有1人求分數值；有18人用數形結合說明；有12人證明出錯，主要是單位“1”不統一；有9人直接用分數的基本性質循環說明。

通過前測我們發現，有高達89%的學生對分數的基本性質知曉，但僅有2個學生能把商不變性質和分數基本性質對應起來，對“單位1”“分數單位”“為什么相等”等知識點有障礙。因此，聚焦分數單位，體檢“等價類”分數，等值分數的理解與尋找，前后知識的融會貫通應是教學的關鍵點。

（二）活動設計，確定體驗“維”

基于前面的多維研究，對于分數基本性質的本質、內涵、教學重難點都有了深刻的認識，對于圖式化素養與知識之間的內在聯系也有較為清晰的把握。這樣，我們可以對活動進行靈活設計，在完成知識目標的同時，確保能力素養目標有效達成。

在教學活動設計時，可以借助于立足圖式化思維，強調“讀圖”“表征”“互譯”等圖式化活動方式（如圖3），為學生創造一個主動理解的機會，體驗和感受數學發現的過程。

1.基于讀圖：直觀圖示，感知體悟

筆者認為，對于分數基本性質這部分內容而言，數學圖示呈現過程應該是面積模型（長方形、正方形平均分成幾份）→分數墻→數線—半抽象線段模型→線段模型—數軸雛形等，其活動方式主要為“讀圖”。在各版本的教材比較中，我們發現青島版、北師大版及浙教版都出現半抽象或抽象的線段模型（如圖4）。

在新知探究環節，我們認為需要以數線模型為主要圖示，而在溝通應用環節，可以運用線段模型。

2.基于表征：多維推進，促進內化

在圖式化思維中，學生可以在表征的過程中對問題進行深層次的思考，引發深度學習，提升思維品質。圖式表征的推進過程可以如圖5所示。

走進情境：從現實情境進入，以“一半，[12=24=48]”為認知特例，讓學生初步感悟分數的基本性質。

動手操作：通過學生的動手操作引入，在涂一涂、折一折等活動中發現分子、分母的變化規律，展現學習過程，體驗具體到抽象的理解過程。

畫圖內化：利用已有的經驗，利用個性化的符號，自己尋求合適的圖示（如實物抽象圖、面積模型、數線模型、數軸模型等）來說明分數是否等值。

舉例驗證：[35=3○（ ）5○（ ）=（ ）（ ）]圓圈里可以填什么符號？括號里呢？獨立思考用基本圖式演示，幫助學生形象理解分數的基本性質，感悟變與不變的函數思想。

這樣，學生通過對分數圖示的觀察、發現、思索，強調腦、眼、手、圖形之間的信息加工和重構，完成知識自我內化的過程，是圖式化素養培養的重要一環。

3.基于互譯：多維轉換，求聯求通

只有在求聯求通多維轉換的互譯溝通過程中，才能加深學生對分數基本性質的理解，完成知識體系的建構。課堂上，我們可以借助具體的等式變形（圖6），讓學生比較清晰地感受知識間的內在聯系，然后再引導學生通過畫圖表征、數學演算、語言表達、舉例說明等方式來與商不變性質進行溝通。

只有將具象化的現實情境轉化為可視化的圖示表述和數學運算表達，知識發展的邏輯順序與學生的認知序列相契合，學生的圖式思維逐步走向深刻，素養才能慢慢形成。

綜上，筆者以分數基本性質的研究為載體，以圖式化素養為例，試圖概括基于學科核心素養的課堂教學研究的一般化策略。數學核心素養的獲得需要學生自己經歷模仿、感悟、體驗的長過程，并在此過程中生成并積累，并非一蹴而就，教師則引導學生經歷數學核心素養形成的過程。

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（浙江省杭州市富陽區富春第二小學 311400）endprint