求積問題中的“反直覺”現象

郜舒竹

【摘 要】“反直覺”現象指的是數學課程內容中蘊含著的與學生的直覺認識相違背的現象。是學生數學學習中產生困難與錯誤的原因。在數學課程內容中挖掘這樣的反直覺現象，有益于在“變教為學”的教學實踐中，讀懂學生的學習，設計有效的學習活動。求積問題指的是與長度、面積、體積有關的問題，其中蘊含著大量反直覺現象，也是許多學生數學錯誤產生的源泉。

【關鍵詞】求積；直覺；反直覺

學生學習數學過程中出現錯誤，是普遍而且必然的現象。尋找并且分析錯誤產生的原因，是數學教學研究面對的重要課題。挖掘數學課程內容中的反直覺現象，可以成為分析錯誤原因的有效途徑。同時也是實現讓錯誤成為教學資源的有效方法。

一、直覺與反直覺

“反直覺（Counter Intuitive）”現象是相對于人的直覺認識的現象，每一個人依據個人經驗，針對某對象都會有一種非邏輯的認識，這種非邏輯的認識屬于直覺的范疇。對任何對象直覺認識的正確性，都是有一定范圍限定的，一旦超出這個范圍，這種直覺的認識就可能不再適用。這樣超出直覺范圍，使得原有直覺認識不再適用的現象，就叫作反直覺現象。

相對于在算式1的學習中形成的“線性分配”的直覺認識，算式2實質上已經超出了“線性分配”的適用范圍，因此就成為了反直覺現象。

在分數加法和減法運算的學習中，學生會出現諸如“[12]+[13]=[1+12+3]=[25]”的錯誤。在中學學習三角函數的類似公式時，學生會出現類似于“sin（[α+β]）=sin[α+sinβ]”的錯誤。出現這些錯誤的根源都在于這些公式不符合學生關于“線性分配”的直覺認識，屬于相對于“線性分配”直覺認識的反直覺現象。對這樣反直覺現象的了解，有助于預見學生學習中的困難與錯誤。

二、周長與面積關系的反直覺現象

數學課程中諸如長度、面積和體積的問題，歷史上統稱為“求積（Quadrature）問題”。此類問題中常常出現與人的直覺認識不同的現象，也就是反直覺現象。比如在學習長方形的周長和面積過程中，較多地接觸到如圖1樣式的圖形。

因此關于周長與面積的關系，逐漸就會形成如下的直覺認識：

l周長越長，則面積越大；

l面積越大，則周長越長；

l兩個圖形如果周長相等，則面積相等；

l兩個圖形如果面積相等，則周長相等。

當遇到不符合這樣直覺認識的圖形，也就是遇到反直覺現象時，自然就會出現認知的困難。比如下面的問題：

問題1：圖2中兩個圖形的面積都是5平方厘米，兩個圖形的周長是否相等？

由于這兩個圖形違背了“面積相等則周長相等”的直覺認識，因此就可以預見有學生會認為兩個圖形周長相等。再比如下面的問題：

問題2：圖3中的長方形ABCD和曲邊圖形EFGH的寬度相等，都等于a。豎直的兩條直線xx1和yy1相互平行。那么長方形ABCD和曲邊圖形EFGH的面積是否相等？

圖3中的長方形ABCD和曲邊圖形EFGH的周長顯然是不相等的，前者應當小于后者。這時按照直覺的認識，自然就會認為長方形ABCD的面積也小于曲邊圖形EFGH的面積。而事實上，二者的面積是相等的。這一點可以通過“等量減等量，結果仍相等”進行證明。

首先不難看出，BFGC與AEHD是可以相互重疊的兩個圖形，因此面積是相等的。用這兩個圖形同時去掉公共部分BEHC，那么兩個圖形就分別變為EFGH和ABCD，因此二者面積應當相等。

將反直覺現象融入到學生的學習活動中，可以在教學中引發學生的數學錯誤，給學生自己思考并感悟錯誤原因的機會，實現讓錯誤成為教學資源的目的。而且還有助于引發學生的“好奇心（Curiosity）”，增強數學學習中的思維含量。

三、表面積與體積關系的反直覺現象

類似的反直覺現象在立體圖形中也會出現。比如下面的問題：

問題3：圖4中有標記為“1”和“2”的兩張完全相同的長方形（長和寬不相等）紙。首先將1號長方形紙直接卷成一個圓柱體。將2號長方形紙旋轉90度后卷成一個圓柱體。那么這兩個圓柱體體積是否相等？

由于兩個圓柱體的側面是完全相同的長方形紙圍成，因此兩個圓柱體的表面積應當相等。自然而然的直覺思維就會認為兩個圓柱體的體積也應當相等。而事實上兩個圓柱體的體積是不相等的。

同樣方法可以得到2號圓柱體的體積為：[b2a4π]。二者是不一樣的。同樣的反直覺現象也出現于對于圓錐體積的學習中。在圖5中，右側圓柱體可以看作是左側長方形旋轉而成，圓錐體可以看作是左側三角形旋轉而成。

在小學六年級數學課程中，通常會通過實驗的方法得到“圓錐體積等于等底等高圓柱體積的三分之一”的結論。而事實上這一結論并不符合學生的直覺思考，根據平面圖形的經驗，圖5中左側三角形的面積應當是長方形面積的二分之一，因此直覺的認識是，右側圓錐體體積應當是圓柱體體積的二分之一，而不是三分之一。

如今的數學教學倡導“變教為學”，實現學習活動為中心的課堂教學。這就需要為學生設計有效的學習活動。這樣的學習活動不僅應當突出數學知識的本質，還應當與學生認識規律有機結合。關于反直覺現象的研究就是力圖實現這樣的結合。

（首都師范大學初等教育學院 100048）endprint