基于實測數據的行人上下樓梯人體動力學模型

朱前坤， 陳 凱， 杜永峰， 李宏男, 劉路路

(1.蘭州理工大學 防震減災研究所，蘭州 730050；2.大連理工大學 建設工程學部，遼寧 大連 116024；3.東南大學 土木工程學院，南京 210096 )

對于承載人群活動的人行天橋、樓板或者樓梯等結構而言，在正常使用時會產生不同程度的振動，人的活動是主要的激勵作用，當人以接近結構基頻的步頻行走時產生的動力響應更大，因此人行走時的人致激勵是模擬此類結構在人行走時的動力響應分析的關鍵。由于人行天橋和樓板與樓梯的結構形式的差異導致人在結構上行走時步態的差異，從而決定了人致激勵模型的不同。學者們對樓板上的人行激勵研究的比較多[1-3]，Bishop等[4-5]最早對樓梯上人行走時的落足曲線進行了系統的研究，得到了大量的不同頻率下的動力荷載因子的統計值，并且得到了可供計算分析的荷載手冊，之后又對荷載模型進行了系統的研究。Gaile等[6]對樓梯研究發現，當人們以正常速度或者最適合自己的速度上下樓梯時，步頻趨近于定值，并且得到了上下樓梯前三階的動力荷載因子及相位角。

以上研究都是得到人對樓梯結構產生的荷載，卻并不能真實的代表人在樓梯上行走時對結構產生的作用，尤其是現在的結構越來越趨向于輕質大跨，當這種柔性結構上人群密度較大時，結構的動力特性會發生變化，進而改變結構的基頻，而結構的振動也會影響行人的步態，即人-結構會發生動相互作用。Barker等[7]研究發現密集的人群會增加體系的阻尼、減小結構的響應。秦敬偉等[8-9]對靜態人體-結構相互作用進行了研究，結果表明不同的姿態的人體對結構的動力特性有不同的影響，而后又基于雙足步行模型研究人體-結構相互作用，研究表明對于柔度較大的人行天橋，人體-結構相互作用較大。Kim等[10]對行人在人行橋上行走時產生的動力效果進行了研究，每個行人等價為一個包含質量、剛度、阻尼的生物力學系統，對比分析了在人致激勵和生物力學系統下結構響應的差異。但是所采用的生物力學系統的參數取自于ISO5982規范[11]，該參數適用于站著不動的人，并不能代表行走的人，因為人在行走時膝蓋會彎曲，從而改變整個身體的剛度。Felipe等[12]對人行橋上人行走時的活動進行了研究，采用33個實驗對象得到大量加速度時程數據，建立數學模型，最終得到了豎向人體動力學模型的質量、剛度和阻尼等3個參數隨頻率變化的表達式。Toso等[13]在Felipe的基礎上，優化了前者的實驗方法和數學模型的求解，建立優化的人體動力學模型，并將該模型應用到人行橋的有限元模型中進行數值模擬，與實驗結果對比可知優化的模型與實驗數據更加接近。

目前樓梯采用更加輕質大跨的新穎的結構形式，其舒適度問題越來越受到關注，而且國內外學者對于樓梯上人致激勵已經有了研究，但是對樓梯上行人的人體動力學模型卻鮮有研究，人在樓梯上行走與在人行天橋上行走時的步態差異較大，有必要研究樓梯上的人體動力學模型。本文基于行人上下樓梯大量的實測數據，建立人在樓梯上活動時單自由度人體動力學模型。

1 數學模型的建立

與文獻[12]類似，本文采用一個單自由度動力系統模擬人體，該系統代表上下樓梯的行人，其集中代表在行走時豎直方向的運動，系統中的表觀質量是將人體的質量集中到重心處，剛度代表人體下肢的機械阻抗，阻尼代表人體的能量耗散。

1.1 模型假設

人在樓梯上行走時，在豎直方向上的行為特點是膝蓋會彎曲，人的重心與踏步板之間會有一個相對位移，而且隨著膝蓋周期性的彎曲和伸直，相對位移也會周期性的變化，即豎向的運動是由于重心的上下起伏引起，同時由于踏步板的作用，運動系統中的剛度k、阻尼c和表觀質量m也會變化。基于上述思想，用基礎代表踏步板，用一個單自由度模型代表人體，在基礎上構建一個單自由度模型，基礎的運動與人體重心的運動保持平衡，該模型如圖1所示。

圖1 在支撐作用下的單自由度模型Fig.1 SDOF under support

圖1中，ut和u分別為該自由度關于固定參考點和基礎的位移；ug為基礎關于同樣的固定參考點的相對位移。

實際情況是人體的重心在移動而不是基礎，所以關鍵是基礎和重心的相對運動。因此，該體系的平衡方程式為

(1)

由于該單自由度模型是連接到固定的基礎上，兩者之間作用力與反作用力相互平衡。假定踏步板的反作用力PGR等于質量塊連接到踏步板之間產生的所有力的總和，表達式為

(2)

求解該微分方程，計算m，c，k。方程(2)的求解等價于求解如下位移頻響函數：

(3)

式中：D(ω)為單自由度體系的穩態位移響應；PGR 0(ω)為激起該響應的諧波荷載幅值；ω為該諧波荷載的頻率；j為復數。由方程(3)可得到該體系的加速度頻響函數的方程式為

(4)

1.2 模型求解

式(4)中待求參數為m，c，k，也就是說需要三個方程聯立求解，即確定加速度A(ω)和PGR 0(ω)的前三階諧波幅值，產生一個3×3方程組，如方程(5)所示。

(5)

對于每個行人都可以測試得到一組加速度時程曲線，進行頻譜分析，提取前三階譜的幅值；而踏步板的反作用力PGR可以寫成傅里葉級數的形式，在特定的頻率下對應一個幅值，因此可以得到在前三階加速度譜的頻率下的諧波荷載值PGR 0(ω)。上樓梯和下樓梯的模型假設與求解過程類同，只是方程組中未知數的系數差異較大，導致上下樓梯的人體生物力學模型的不同。

2 試驗測試

2.1 加速度的測量

本文采用新型微電子機械系統(MEMS)AH100B三軸加速度傳感器測定行人上樓梯和下樓梯的加速度時程。在考慮不同樓梯的影響時，考慮其動力學特征的不同，其荷載模型參數不同，但仍可以將本文荷載模型作為參考使用。因為樓梯的不同對行人而言，最終影響的是行人上下樓梯時的步頻，所以本文的實測試驗數據主要考慮了行人上下樓梯時的步頻大小，故在試驗測試時，測試者將分別按照自己快、中、慢時的步速上下樓梯。如圖2所示，試驗是在某一教學樓的室外長懸挑樓梯上進行的，該樓梯是混凝土結構，懸挑長度1.3 m，水平傾角26°，共有10個梯段，每一梯段共有13個臺階。為了保證實驗對象的多樣性，減少實驗誤差，保證數據的可靠性，本文將針對不同年齡段的52個實驗對象(31名男性和21名女性)進行測試，其基本信息如表1所示。

表1 測試者基本信息

試驗測試時，將MEMS加速度傳感器固定在人體質心部位，由文獻[14]知：質心位置女性為0.55h；男性為0.57h(其中h為人體高度)。加速度傳感器的采樣頻率設定為100 Hz。如圖2所示，為保證信號的精確性，本次試驗擬采用在每位測試者質心位置前面和背面固定兩個相同的傳感器，取兩次信號的平均值作為一次試驗獲得的連續加速度時程。為了獲得平穩的信號，要求每個測試者從平臺開始走，一步走一個臺階，當踏上第2個臺階的時候開始采集數據，走完該梯段時終止采集。每個測試者將分別按照自己快、中、慢時的步速上下樓梯，上下樓梯時按照事先畫好的直線走，測試者上下樓時將分別走12到18次，次數隨機分配。同時要求每個測試者統一穿橡膠底的球鞋，被測試者為單獨上下樓梯，考慮其個體效應。上樓梯和下樓梯各自測得了1 536組數據。

圖2 某室外懸挑樓梯及測試者Fig.2 A cantilevered stair and test subject

2.2 確定

加速度的測量方法保證了信號的平穩，也就是說整個加速度時程避免了信號衰減的現象，信號的衰減會影響譜的幅值。限于篇幅的限值，此處隨機選取一組上樓梯時豎向的加速度時程，如圖3所示。通過離散傅里葉變換獲得加速度時程的頻譜圖，如圖3所示，每一組數據得到頻譜圖后都能夠提取出前三階的幅值(A1、A2、A3)和該幅值下對應的頻率(ω1、ω2、ω3)。

圖3 加速度時程曲線及FFT頻譜圖Fig.3 Acceleration and time curve and FFT spectrum

2.3 確定PGR 0(ω)

在方程(5)中另外一個輸入的參數為諧波荷載幅值PGR 0i(PGR 01、PGR 02、PGR 03)。人在樓梯結構上的行走對踏步板產生的激勵可以寫成傅里葉級數的形式，其中豎向的諧波激勵形式如下：

(6)

式中：G為人體重量(N)；αzi為z向第i階諧波的動載系數，也常稱為動力荷載因子，定義為αi=Ai/G，Ai為第i階諧波動荷載幅值；fp為人行走頻率(Hz)；φzi為z向第i階諧波相位角；n為模型中考慮的階數。

本課題組對樓梯結構上豎向的人致激勵研究成果如下[15]：

上樓梯時前3階的動力荷載因子計算式為

(7)

下樓梯時前3階的動力荷載因子的計算式為

(8)

在上述公式中fp=ωi/(2π)。

3 人體動力學模型參數分析

基于方程式(5)可知輸入的參數為前三階的加速度頻譜幅值(A1、A2、A3)、該幅值下對應的頻率(ω1、ω2、ω3)以及前三階諧波荷載幅值(PGR 01、PGR 02、PGR 03)，待求參數為m，c，k。本文擬采用最小二乘法求解該非線性方程組。初值的定義比較困難，結合文獻[12，14]，對于每個測試對象，質量的上限值應為該測試對象的質量，下限定義為0；對于剛度，當人直立站著不動的時候認為是行走時的剛度上限；而對于阻尼，由于人身體與踏步板接觸時間的差異，人在站著的時候比行走情況下會吸收更多的振動能量，此時的阻尼值被認為是該模型阻尼的上限值。剛度、阻尼的下限值的定義參考文獻[14]，各參數的取值范圍以及初值如表2所示，表中M為測試者的質量。對于某些測試者來說，他們的數據可能會無法很好地吻合方程式(5)，在一些方程中出現誤差較大，甚至無解的情況。這可能是因為采用的動力荷載因子本身也是統計值，對于某些個別測試者而言無法充分的應用。因此將一些誤差較大的解去掉。

表2 參數的初值及范圍

3.1 上樓梯的參數

3.1.1 參數的分布情況

通過上述方法獲得的上樓梯時的人體動力學模型參數的統計值，如表3所示。

表3 求解得到的參數

為了驗證求解出的人體動力學模型參數m，c，k的合理性，分別對此3個參數進行數學統計分析，明確各參數的分布情況，如圖4所示。分析可知大致服從正態分布，而c，k均大致服從對數正態分布。

圖4 各參數分布情況Fig.4 Distribution of each parameters

3.1.2 參數的相關性分析

對行人的人體動力學參數(m，c，k)以及人體質量M和步頻fp進行相關性分析，由于組合類型較多，限于篇幅，此處只列出部分統計值R2和相關類型，R2值從0到1，R2值越大表明相關性越好，如表4所示。從表4可知，輸入參數(M、fp)與輸出參數(m，c，k)進行線性相關分析時，R2值相差較大。c，k均與fp相關性較大，這是因為人行走越快，fp越大，膝蓋的彎曲程度越大，人與結構接觸的時間越短，吸收的能量越少；而相比之下，m與M比m與fp相關性更大些，事實上，人體質量M與人體動力學模型的人體表觀質量m理論上是具有較大相關性的。而總體來說，采用多變量進行含有交叉乘積項的二次回歸分析時，擬合效果較好(95%的保證率)。

表4 相關性分析

3.1.3 參數的回歸分析

建立人體動力學模型不僅是為了研究行人在行走時對結構產生的作用，更具有實際意義的是將該模型應用到工程中，更加準確的模擬和評估結構的振動特性，因此需要得到該模型中各參數的表達式。人體動力學模型參數主要包括m,c,k，采用M、fp進行回歸分析。一般選用R2值較大的函數形式進行擬合，也就是采用含有交叉乘積項的二次回歸擬合，擬合時盡量首先將輸入值M、fp作為自變量，尤其是對于人體表觀質量m，擬合時應當包含M；對于阻尼c，擬合時應當包含M；而剛度k在擬合時應當包含fp。因此結合表4，綜合考慮之后，依次擬合c(M，fp)、k(c，fp)、m(M，k)。m,c,k擬合的表達式如表5所示，各數據點與擬合的曲面，如圖5所示。

圖5 各參數回歸情況Fig.5 Regression of each parameters

回歸表達式R2c(M,fp)=-0.424M2-203.861fp2+2.400Mfp+52.645M+1479.365fp-3343.7960.51k(c,fp)=0.0122c2-3697.673fp2-11.712cfp+8.774c+33882.611fp-36896.4680.42m(k,M)=-4.257×10-8k2-0.011M2-4.279×10-5kM+0.005k+2.214M-60.5810.52

3.2 下樓梯的參數

3.2.1 參數的分布情況

下樓梯時的人體動力學模型參數的研究過程類似于上樓梯的參數研究，而各參數的求解相對于上樓梯的求解較差，有效的解相對較少，m，c,k,M，fp的統計值如表6所示。

一般情況下，在保持行人能夠順暢的自由上下樓梯時，行人下樓梯時的步伐要快于上樓梯的步伐，從表6可以看出，步頻fp的各項統計值均大于上樓梯的值，這與實際是相符的。結果發現下樓梯時人體動力學模型的人體表觀質量m、阻尼c、剛度k的平均值均大于上樓梯時的參數值。分別對個參數進行數學統計分析，明確各參數的分布情況，如圖4所示。同樣的，分析可知m大致服從正態分布，而c,k均大致服從對數正態分布。

表6 求解得到的參數

3.2.2 參數的相關性分析

對行人的人體動力學參數(m,c,k)以及人體質量M和步頻fp進行相關性分析，同樣的，由于組合類型較多，此處只列出部分統計值R2和相關類型，如表7所示。從表7可知，輸入參數(M、fp)與輸出參數(m,c,k)進行線性相關分析時，c,k均與fp相關性較大，這一點與上樓梯時的一致；而與上樓梯時相反的是，m與fp比m與M相關性更大些。顯然采用多變量進行含有交叉乘積項的二次回歸分析時，動力學參數與其他變量的相關性明顯提高。

表7 相關性分析

3.2.3 參數的回歸分析

依然選用R2值較大的函數形式進行擬合，選擇含有交叉乘積項的二次回歸擬合，擬合時盡量首選輸入值M、fp作為自變量，而且對于人體表觀質量m，擬合時應當包含M。因此結合表7，綜合考慮之后，依次擬合m(M，fp)、c(M，fp)、k(m，fp)。m,c,k擬合的表達式如表8所示，各數據點與擬合的曲面如圖6所示。

圖6 各參數回歸情況Fig.6 Regression of each parameters

回歸表達式R2m(M,fp)=-0.05M2-11.70fp2+0.02Mfp+6.17M+42.03fp-172.570.46c(M,fp)=-0.55M2-381.72fp2-7.19Mfp+93.67M+2646.67fp-5705.150.64k(m,fp)=-11.0m2-5204.25fp2-255.77mfp+1959.54m+48725.80fp-110532.820.57

對于確定的行人按照確定的步頻行走時，如果已知該行人的質量，則可以得到該行人的人體動力學參數，即獲得單個人的力學模型，進而可以結合人群的密度模擬人群效應。

4 結 論

本文參考樓板結構上的人體動力學模型的研究方法，分別對行人上、下樓梯的行走過程建立人體動力學模型，包含質量m、阻尼c、剛度k三個參數。首先將該模型等效為以m,c,k為未知數的三元非線性方程組，基于行人在樓梯上行走活動的豎向加速度數據，結合樓梯上的荷載模型，求解得到m,c,k三個參數。并且對m,c,k進行相關性分析，采用二次曲面擬合得到m,c,k的計算公式，為上、下柔性樓梯的人致振動響應計算提供了人體動力學模型。

[ 1 ] 陳雋, 彭怡欣, 王玲. 基于步態分析技術的三向單足落步荷載曲線試驗建模[J]. 土木工程學報, 2014(3):79-87.

CHEN Jun, PENG Yixin, WANG Ling. Experimental investigation and mathematical modeling of single footfall load using motion capture technology[J]. China Civil Engineering Journal, 2014(3):79-87.

[ 2 ] 陳雋, 王浩祺, 彭怡欣. 行走激勵的傅里葉級數模型及其參數的實驗研究[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(8):11-15.

CHEN Jun,WANG Haoqi, PENG Yixin. Experimental investigation on Fourier-series model of walking load and its coefficients[J]. Journal of Vibration And Shock, 2014, 33(8):11-15.

[ 3 ] 丁國, 陳雋. 行人荷載隨機性對樓蓋振動響應的影響研究[J]. 振動工程學報, 2016, 29(1):123-131.

DING Guo, CHEN Jun. Influence of walking load randomness on vibration responses of long-span floor[J]. Journal of Vibration Engineering, 2016, 29(1):123-131.

[ 4 ] BISHOP N W M, WILLFORD M, PUMPHREY R. Human induced loading of flexible staircases[J]. Safety Science, 2001, 18(4):261-276.

[ 5 ] KERR S C, BISHOP N W M. Human induced loading on flexible staircases[J]. Engineering Structures, 2001, 23: 37-45.

[ 6 ] GAILE L, RADINSH I. Human induced dynamic loading on stairs [J]. World Academy of Science, Engineering and Technology, 2012(6): 1271-1277.

[ 7 ] BARKER C, MACKENZIE D. Calibration of the UK Nationnal Annex. Footbridge 2008[C]. Proceedings of the International Conference. Porto, Portugal, 2008.

[ 8 ] 秦敬偉, 楊慶山, 楊娜. 人體-結構系統靜態耦合的模態參數[J]. 振動與沖擊, 2012, 31(15):150-157.

QIN Jingwei, YANG Qingshan,YANG Na. Modal parameters of human body-structure static interaction systems[J].Journal of Vibration And Shock, 2012, 31(15):150-157.

[ 9 ] 秦敬偉, 楊慶山. 基于雙足步行模型和反饋機制的人體-結構相互作用[J]. 建筑結構學報, 2014, 35(增刊1):18-24.

QIN Jingwei, YANG Qingshan. Human-structure interaction based on bipedal walking model and feedback mechanism[J]. Journal of Building Structures, 2014, 35(Sup1):18-24.

[10] KIM S H, CHO K I, CHOI M S, et al. Development of human body model for the dynamic analysis of footbridges under pedestrian induced excitation[J]. International Journal of Steel Structures, 2008, 8(4):333-345.

[11] 全國機械振動沖擊與狀態監測標準化技術委員會，中國質檢出版社第三室.機械振動、沖擊與狀態監測國家標準匯編.人體振動與沖擊卷[M].北京：中國質檢出版社，2011.

[12] DA SILVA F T, Pimentel R L. Biodynamic walking model for vibration serviceability of footbridges in vertical direction[C]// Proceedings of the 8th International Conference on Structural Dynamics, EURODYN 2011, Leuven, Belgium. 2011: 1090-1096.

[13] TOSO M A, GOMES H M, SILVA F T D, et al. Experimentally fitted biodynamic models for pedestrian-structure interaction in walking situations[J]. Mechanical Systems & Signal Processing, 2015, 72/73:590-606.

[14] PAVIC A, REYNOLDS P, SACHSE R. Human-structure dynamic interaction in civil engineering dynamics: a literature review[J]. Shock & Vibration Digest, 2003, 35(1):3-18.

[15] 杜永鋒，劉路路，朱前坤，等.上下樓梯時人行荷載模型參數的試驗研究[J]. 振動與沖擊, 2016，35(21)：220-228

DU Yongfeng，LIU Lulu,ZHU Qiankun,et al. Tests for parameters of pedestrian load model during human walking up and down stairs[J].Journal of Vibration and Shock,2016，35(21)：220-228