熱環(huán)境下長寬比對L型折板統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)的影響研究

陳 強(qiáng)， 張 鵬， 李彥斌， 吳邵慶,2， 費(fèi)慶國,2

(1.東南大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京 210096；2. 東南大學(xué) 江蘇省工程力學(xué)分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096)

高速飛行器在飛行過程中面臨著復(fù)雜嚴(yán)酷的高溫、振動(dòng)和噪聲環(huán)境[1-2]。高溫使材料性能參數(shù)發(fā)生變化同時(shí)也改變結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布狀態(tài)[3-4]，進(jìn)而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性呈現(xiàn)出與常溫環(huán)境不同的規(guī)律，因此熱效應(yīng)是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中必須考慮的因素。同時(shí)，飛行器所面臨的動(dòng)力學(xué)環(huán)境頻譜較寬，其中振動(dòng)的頻率范圍為0～2 000 Hz，噪聲的頻率范圍可達(dá)10～10 000 Hz，目前針對高頻段的動(dòng)力學(xué)分析常采用統(tǒng)計(jì)能量分析[5](Statistical Energy Analysis, SEA)方法進(jìn)行研究。

統(tǒng)計(jì)能量分析方法將研究對象從隨機(jī)參數(shù)描述的總體中抽取出來，忽略被研究對象的具體細(xì)節(jié)，進(jìn)而使用統(tǒng)計(jì)的方法獲取時(shí)域、頻域和空間上的能量平均值，為解決復(fù)雜系統(tǒng)高頻動(dòng)力學(xué)問題提供了有力工具。目前統(tǒng)計(jì)能量分析方法已成功應(yīng)用于航空航天、汽車及建筑等領(lǐng)域[6-8]。統(tǒng)計(jì)能量分析的精度主要取決于其分析參數(shù)的準(zhǔn)確性，即系統(tǒng)的模態(tài)密度(Modal Density)、單個(gè)子系統(tǒng)的內(nèi)損耗因子(Internal Loss Factor, ILF)、各個(gè)子系統(tǒng)間的耦合損耗因子(Coupling Loss Factor, CLF)。

結(jié)構(gòu)幾何尺寸對結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性、熱應(yīng)力和穩(wěn)定性等有較大影響[9]，是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化中重點(diǎn)關(guān)注的因素。對于統(tǒng)計(jì)能量分析而言，結(jié)構(gòu)幾何尺寸對結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響，主要通過統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)的變化進(jìn)行評估。目前國內(nèi)外針對結(jié)構(gòu)幾何尺寸對結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)的影響已開展了相關(guān)研究。Pankaj等[10]分別采用理論方法、有限元法并結(jié)合Free-SEA軟件研究了常溫環(huán)境下耦合邊尺寸對L型折板的耦合損耗因子的影響，發(fā)現(xiàn)耦合邊長度對常溫環(huán)境下結(jié)構(gòu)的內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子影響不大。江民圣等[11]通過波方法研究了板厚對L型折板能量傳遞系數(shù)的影響。目前針對長寬比對統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)影響的研究主要集中在常溫環(huán)境下，涉及熱環(huán)境下的研究較少。熱效應(yīng)所引起的材料力學(xué)性能參數(shù)變化及產(chǎn)生的熱應(yīng)力會(huì)使得結(jié)構(gòu)的剛度發(fā)生變化，對結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響不能忽視，因此有必要開展熱環(huán)境下長寬比對L型折板統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)的影響研究。

本文基于有限元法和計(jì)及熱效應(yīng)的功率輸入法，針對高溫和常溫環(huán)境下長寬比對L型折板統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)的影響開展研究。首先介紹基于波方法的統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)解析解，闡述基于功率輸入法和計(jì)及熱效應(yīng)功率流模型的數(shù)值方法；其次，對比數(shù)值解和解析解驗(yàn)證分析方法的準(zhǔn)確性；最后，分析高溫環(huán)境下長寬比對結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力的影響，開展高溫和常溫環(huán)境下長寬比對結(jié)構(gòu)模態(tài)、內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子的影響研究。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 基于波方法的統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)理論解

對于簡單結(jié)構(gòu)，如圖1所示的L型板和T型板，通過波方法[9]可獲取其在常溫環(huán)境下的統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)的理論解。

圖1 簡單結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 1 Schematic diagram of simple structure

對于如圖1(a)所示的L型折板，兩板的內(nèi)損耗因子相等，板1的內(nèi)損耗因子η1：

η1=2ξ1

(1)

式中：ξ1為板1的平均模態(tài)阻尼比。

板1對板2的耦合損耗因子η12為[12]：

(2)

(3)

式中：X=t1/t2為兩板厚度比；τ12(0)=2(φ1/2+φ-1/2)-2為常傳遞系數(shù)，其中φ的表達(dá)式為：

(4)

由式(1)～式(4)可知，長寬比是影響L型板結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)的重要因素。

1.2 基于FEM-PIM方法統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)的數(shù)值解

由于波方法僅適用于簡單結(jié)構(gòu)，難以推廣至復(fù)雜結(jié)構(gòu)。因此，本文采取有限元法(Finite Element Method，F(xiàn)EM)和功率輸入法(Power Injection Method，PIM)獲取結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)。具體步驟為：首先通過FEM獲取系統(tǒng)的模態(tài)、質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；然后使用計(jì)及熱效應(yīng)的功率流模型計(jì)算結(jié)構(gòu)的輸入功率及振動(dòng)能量；最后結(jié)合PIM獲取結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)。

1.2.1 功率輸入法

對于具有N個(gè)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，其統(tǒng)計(jì)能量分析的動(dòng)力學(xué)方程為：

ωη[E1,E2,…EN]T=[P1,P2,…PN]T

(5)

式中：ω為頻帶中心頻率，Ei為子系統(tǒng)i在空間內(nèi)和頻域內(nèi)的平均能量；Pi為子系統(tǒng)i在空間內(nèi)和頻域內(nèi)的平均輸入功率；η為耦合系統(tǒng)的總損耗因子矩陣。

對于耦合系統(tǒng)的總損耗因子矩陣η，其矩陣元素為：

(6)

式中：ηi為子系統(tǒng)i的內(nèi)損耗因子；ηji為子系統(tǒng)j與子系統(tǒng)i間的耦合損耗因子。

僅在子系統(tǒng)i上施加輸入功率為Pi的載荷時(shí)，有：

(7)

對于具有N個(gè)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，逐一在各子系統(tǒng)上施加載荷，將得到的如式(7)類型的N個(gè)方程以矩陣形式表達(dá)為：

ωηE=P

(8)

已知P和E，即可得到耦合系統(tǒng)的總損耗因子矩陣η：

(9)

1.2.2 計(jì)及熱效應(yīng)的功率流模型

溫度對結(jié)構(gòu)剛度的影響主要體現(xiàn)在兩方面：一方面，溫度的升高使得材料的力學(xué)性能發(fā)生變化，導(dǎo)致其剛度改變；另一方面，結(jié)構(gòu)在熱應(yīng)力的作用下產(chǎn)生附加應(yīng)力剛度矩陣。因此，計(jì)及熱效應(yīng)的有限元?jiǎng)恿W(xué)方程可表示為：

([Ks+KT+Kσ]+jωC-ω2M)ui=F

(10)

式中：Ks為常溫下結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；KT為材料參數(shù)變化引起的剛度改變矩陣[13]；Kσ為熱應(yīng)力引起的附加剛度矩陣[14]；C和M分別為結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣和質(zhì)量矩陣；u為節(jié)點(diǎn)位移；F為外載荷激勵(lì)向量。

由計(jì)及熱效應(yīng)的有限元?jiǎng)恿W(xué)方程可知，系統(tǒng)振動(dòng)的勢能T和動(dòng)能V分別為：

(11)

式中：K=Ks+KT+Kσ為總體剛度矩陣。

對于L型折板結(jié)構(gòu)，將其劃分為a和b兩個(gè)子系統(tǒng)。其中子系統(tǒng)b的響應(yīng)向量ub可通過轉(zhuǎn)化矩陣Zb獲得，即ub=Zbu。系統(tǒng)b的勢能Tb和動(dòng)能Vb分別為：

(12)

式中：Kb和Mb分別為子系統(tǒng)b剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。

通過模態(tài)分析可獲得系統(tǒng)前n階模態(tài)質(zhì)量歸一化模態(tài)振型向量。記第j階模態(tài)的振型向量為φj，前n階模態(tài)振型向量組成的模態(tài)振型矩陣為Φ=[φ1,φ2,…,φn]。根據(jù)模態(tài)的正交性：

(13)

式中，ωj為第j模態(tài)的固有頻率，j∈[1,n]。

第j階模態(tài)受到的模態(tài)力Fj及其在該模態(tài)力作用下的位移響應(yīng)Yj為：

(14)

當(dāng)只在子系統(tǒng)a上施加載荷Fu時(shí)，在模態(tài)坐標(biāo)系下，系統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)能V、勢能T和對子系統(tǒng)a的輸入功率Pin分別為：

(15)

將式(14)代入式(12)中可得，模態(tài)坐標(biāo)系下子系統(tǒng)b計(jì)及熱效應(yīng)的動(dòng)能Vb和勢能Tb分別為：

(16)

將計(jì)算得到的輸入功率、子系統(tǒng)振動(dòng)能量代入式(9)中即可得到結(jié)構(gòu)的內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子。

2 數(shù)值仿真

為研究結(jié)構(gòu)長寬比對統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)的影響，本文以夾角為90°的L型對稱折板為研究對象，其幾何模型如圖2所示，其中板厚t為1 mm、板寬L2為300 mm。板材料為TA7鈦合金，材料屬性如表1所示。采用殼單元建立其有限元模型，單元尺寸為5 mm。兩板除耦合邊外各邊簡支。在分析過程中結(jié)構(gòu)阻尼參考文獻(xiàn)[15]中的經(jīng)驗(yàn)公式設(shè)置。

圖2 L型對稱折板Fig. 2 L-shaped symmetry folded plate

溫度/℃彈性模量/GPa熱膨脹系數(shù)×10-6/℃-1泊松比密度/(kg·m-3)20109.5-20098.18.90.334420

由于統(tǒng)計(jì)能量理論假設(shè)分析頻帶內(nèi)各模態(tài)的振動(dòng)能量相等，因此計(jì)算中宜選取對系統(tǒng)各階模態(tài)輸入功率相近的載荷。雨流載荷(Rain On the Roof，ROF)[16]是一種空間內(nèi)各點(diǎn)互不相關(guān)的寬帶激勵(lì)，它可以均等地、充分地激勵(lì)起子系統(tǒng)的局部模態(tài)，滿足統(tǒng)計(jì)能量分析中頻帶內(nèi)各模態(tài)振動(dòng)能量相等的假設(shè)，因此在后續(xù)的算例中均在結(jié)構(gòu)上施加單位雨流載荷。雨流載荷的載荷幅值與作用點(diǎn)的材料密度成正比，對于離散的有限元模型，雨流載荷對應(yīng)式(15)中Qf里的矩陣A，滿足A=S2M，其中S表示載荷強(qiáng)度。

由于統(tǒng)計(jì)能量分析理論中，同一個(gè)板內(nèi)的不同模態(tài)群也被視為不同的子系統(tǒng)，即同一個(gè)板內(nèi)的彎曲模態(tài)、面內(nèi)模態(tài)、剪切模態(tài)被視為不同的子系統(tǒng)。對于夾角為90°的L型折板薄壁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)由彎曲模態(tài)主導(dǎo)，可視為滿足對稱性。

2.1 方法驗(yàn)證

L型折板中的板1和板2分別對應(yīng)子系統(tǒng)a和子系統(tǒng)b。首先進(jìn)行常溫(20℃)環(huán)境下長寬比L1/L2為1時(shí)的數(shù)值分析。在板1上施加垂直于面板方向的單位雨流載荷，基于FEM-PIM開展結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)能量分析。由式(9)計(jì)算得到板1的內(nèi)損耗因子及板1對板2耦合損耗因子的數(shù)值解，并將二者與理論解進(jìn)行對比分析，其中解析解可通過式(1)和式(2)計(jì)算得到，分別如圖3和圖4所示。計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)頻帶中心頻率低于1 000 Hz時(shí)，內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子與理論解相差較大，這是因?yàn)榉治鲱l段內(nèi)模態(tài)數(shù)較少，未能滿足統(tǒng)計(jì)能量分析中分析頻帶內(nèi)模態(tài)數(shù)大于5的假設(shè)條件[5]。隨著中心頻率的增加，內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子均與理論解基本一致，在1 000 Hz至5 000 Hz頻段內(nèi)，內(nèi)部損耗因子和耦合損耗因子的平均誤差分別為0.6%和1.7%。

圖3 板1的內(nèi)損耗因子Fig. 3 ILF of plate 1

由于目前缺乏高溫環(huán)境下統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)的理論解，且高溫環(huán)境下的高頻試驗(yàn)開展難度較大。由式(15)和式(16)可知，本文采用的基于FEM-PIM計(jì)及熱效應(yīng)統(tǒng)計(jì)能量分析方法的準(zhǔn)確性主要取決于熱環(huán)境下系統(tǒng)的固有頻率、模態(tài)振型、剛度矩陣和質(zhì)量矩陣等參數(shù)的準(zhǔn)確性。本文中這些參數(shù)主要通過有限元方法獲得，目前計(jì)及熱效應(yīng)的結(jié)構(gòu)有限元計(jì)算精度較高且已有較多研究成果[3-4]，因此本文采用的FEM-PIM方法在高溫環(huán)境下統(tǒng)計(jì)能量分析所得結(jié)果也是可信的。

圖4 板1對板2的耦合損耗因子Fig. 4 CLF of plate 1 to plate2

為研究結(jié)構(gòu)長寬比對統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)的影響，本文選取了長寬比L1/L2為0.5～1.4間共11個(gè)模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，開展常溫和高溫環(huán)境下結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)能量分析，其中高溫環(huán)境中對結(jié)構(gòu)施加200℃的均勻溫度載荷。選取2 800 Hz～3 550 Hz頻段Δω(中心頻率為3 150 Hz)為分析頻段。

2.2 長寬比對結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力的影響

表2給出了部分尺寸結(jié)構(gòu)在熱環(huán)境下熱應(yīng)力分布。由表2可知，長寬比對結(jié)構(gòu)的熱應(yīng)力分布有較大影響，總體而言，結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力較大的位置均出現(xiàn)在耦合邊及約束邊界。同時(shí)，長寬比對結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力的幅值有較大影響，結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力的最大值整體呈現(xiàn)隨長寬比增加逐漸減小的趨勢。

2.3 長寬比對結(jié)構(gòu)固有特性的影響

常溫和高溫環(huán)境下，11組模型中部分尺寸結(jié)構(gòu)的第一階模態(tài)如表3所示。計(jì)算結(jié)果表明：長寬比對結(jié)構(gòu)的固有頻率影響較大，隨長寬比的增加，結(jié)構(gòu)第一階固有頻率均逐漸降低。高溫環(huán)境下結(jié)構(gòu)第一階固有頻率高于常溫環(huán)境下，這是由于高溫使得結(jié)構(gòu)發(fā)生了熱變形，熱變形在約束條件下使結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生預(yù)拉或預(yù)壓應(yīng)力或二者同時(shí)存在，使得結(jié)構(gòu)發(fā)生軟化或硬化。常溫環(huán)境下結(jié)構(gòu)振型分布規(guī)律基本一致；高溫環(huán)境下，長寬比對結(jié)構(gòu)振型影響較大，產(chǎn)生了較多局部模態(tài)這主要是由于熱應(yīng)力較大的幅值和非均勻的分布造成的。熱應(yīng)力對結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布影響較小，但其產(chǎn)生的附加剛度改變了結(jié)構(gòu)的整體剛度分布，從而使得結(jié)構(gòu)振型發(fā)生變化。

常溫和高溫環(huán)境下Δω頻帶內(nèi)模態(tài)密度如圖5所示。計(jì)算結(jié)果表明：兩種環(huán)境下長寬比的增加整體上使得模態(tài)更加密集；常溫環(huán)境下的模態(tài)密度低于高溫環(huán)境下的模態(tài)密度，這主要是因?yàn)樵讦う仡l帶內(nèi)，高溫引起的TA7鈦合金材料彈性模量降低對結(jié)構(gòu)固有特性影響占主導(dǎo)地位。

表2 結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力

表3 常溫和高溫環(huán)境下結(jié)構(gòu)第一階模態(tài)

圖5 不同長寬比Δω頻帶內(nèi)模態(tài)密度Fig.5 Modal density in Δω under different aspect ratios

2.4 長寬比對輸入功率及振動(dòng)能量的影響

常溫和高溫環(huán)境下Δω頻帶內(nèi)輸入功率隨長寬比的變化如圖6所示。由圖6可知常溫和高溫環(huán)境下Δω頻帶內(nèi)輸入功率隨長寬比的變化趨勢與模態(tài)密度基本一致。由于雨流載荷的假設(shè)為各模態(tài)的輸入功率基本一致，因此相同頻段內(nèi)，模態(tài)密度的增多會(huì)使得輸入功率增大。

常溫和高溫環(huán)境下板1和板2的振動(dòng)能量如圖7所示。計(jì)算結(jié)果表明：兩種環(huán)境下，板1和板2的振動(dòng)能量均隨長寬比的增加而逐漸升高，這主要是由于其輸入功率的增大。同時(shí)，對于相同長寬比的結(jié)構(gòu)，在高溫環(huán)境下兩板的振動(dòng)能量均高于常溫環(huán)境，這主要是由于輸入功率的增加及模態(tài)振型的變化引起的。

圖6 不同長寬比Δω頻帶內(nèi)板1上載荷輸入功率Fig. 6 Injected power into plate 1 in Δω under different aspect ratios

圖7 不同長寬比Δω頻帶內(nèi)板1和板2的振動(dòng)能量Fig.7 Vibration energy of plate 1 and plate2 in Δω under different aspect ratios

2.5 長寬比對ILF及CLF的影響

常溫和高溫環(huán)境下Δω頻帶內(nèi)隨長寬比的變化如圖8和圖9所示。

圖8 不同長寬比Δω頻帶內(nèi)板1上內(nèi)損耗因子Fig. 8 ILF of plate 1 in Δω under different aspect ratios

圖9 不同長寬比Δω頻帶內(nèi)板1對板2的耦合損耗因子Fig. 9 CLF of plate 1 to plate 2 in Δω under different aspect ratios

由圖8和圖9可知，常溫環(huán)境下的內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子的數(shù)值解分別與式(1)和式(2)中的解析解結(jié)果基本一致，均與長寬比無關(guān)。高溫環(huán)境下內(nèi)損耗因子基本未隨長寬比的變化而變化，但要低于常溫環(huán)境，這是由于高溫導(dǎo)致兩板的振動(dòng)能量均有較大幅度的升高；長寬比的增加使得結(jié)構(gòu)的耦合損耗因子呈現(xiàn)出先升高后降低的趨勢，這主要是由長寬比對子系統(tǒng)振動(dòng)能量的影響所導(dǎo)致的。

3 結(jié) 論

本文基于有限元法和模態(tài)坐標(biāo)系下計(jì)及熱效應(yīng)的功率輸入法，開展了常溫和高溫環(huán)境下長寬比對L型折板統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)的影響研究。首先對比了單位雨流載荷作用下，子系統(tǒng)內(nèi)損耗因子及子系統(tǒng)間耦合損耗因子的數(shù)值解與解析解，驗(yàn)證了數(shù)值方法的正確性。隨后分析了高溫環(huán)境下長寬比對結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力的影響，開展常溫和高溫環(huán)境下長寬比對L型折板統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)的影響研究。結(jié)果表明：

(1)常溫和高溫環(huán)境下結(jié)構(gòu)的模態(tài)密度均隨長寬比的增加而增加，高溫環(huán)境下模態(tài)密度高于常溫環(huán)境。

(2)常溫環(huán)境下長寬比的增加對L型折板的內(nèi)損耗因子及耦合損耗因子影響不大，這與理論解的分析結(jié)果一致。

(3)高溫環(huán)境下長寬比的增加使得L型折板的耦合損耗因子呈現(xiàn)出先升高后降低的趨勢，但對內(nèi)部損耗因子影響不大。同時(shí)，其內(nèi)部損耗因子和耦合損耗因子均低于常溫環(huán)境。

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