流固耦合數(shù)值方法研究概述與淺析

何 濤

(1.上海師范大學 土木工程系，上海 201418； 2. 英國伯明翰大學 工程學院，伯明翰 B15 2TT)

流固耦合(Fluid-Structure/solid Interaction, FSI)是指浸沒在流場中的結(jié)構(gòu)(或固體)受流體激振力發(fā)生振動或/和變形、同時結(jié)構(gòu)(或固體)的變化又顯著改變流體流動特征而形成的、兩介質(zhì)間無法分割的相互作用。它是自然界的普遍現(xiàn)象，如花瓣隨風飄揚、昆蟲振翅飛行和水中魚兒游淌等。連生命體內(nèi)也不乏各種流固耦合現(xiàn)象，如咽喉呼吸、血管內(nèi)血液流動及心臟泵送血液等。流固耦合在在工程領域尤為常見，如若忽視其效應或?qū)ζ淇紤]不當，極有可能對工程結(jié)構(gòu)造成災難性后果。以土木工程(結(jié)構(gòu)風工程)為例，超高層建筑、高聳結(jié)構(gòu)、空間結(jié)構(gòu)、大跨橋梁及長徑線纜等風敏感結(jié)構(gòu)在強風作用下易產(chǎn)生劇烈振動和/或過大變形。此類結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量輕、柔性大、阻尼小和自振頻率低等特點，流固耦合效應突出，風損風毀現(xiàn)象已屢見不鮮。1940年11月7日美國華盛頓州塔科馬窄橋建成僅四個月就發(fā)生垮塌，如圖1(a)所示。究其原因，該橋因氣動設計失當導致結(jié)構(gòu)臨界風速區(qū)間未能避開當時當?shù)仫L速(約19 m/s，不及設計風速50%)，引發(fā)扭轉(zhuǎn)顫振而損毀。2010年12月10日、2011年11月22日和2013年3月9日，屬于北京標志建筑的首都機場T3航站樓屋頂局部金屬板3次被強風掀開撕裂，內(nèi)部隔熱層材料飄落至停機坪區(qū)域和跑道，導致多架次航班延誤，如圖1(b)所示。這是由于目前對大跨金屬屋面風致疲勞及其在強風吸力下傳力機制認識不足所致。

這種迥異介質(zhì)間的相互作用引起科學家和工程師們的強烈興趣，成為備受矚目的研究熱點。流固耦合蘊含復雜的數(shù)學原理和深刻的物理現(xiàn)象[1]。就數(shù)學意義說，耦合作用同時對兩場控制偏微分方程引入額外的、隨時空變化的邊界條件，為難點之所在。從物理現(xiàn)象看，鈍體受流體激振力、慣性力及彈性力等多重因素耦合作用，會出現(xiàn)渦激振動、馳振、顫振甚至渦激振動與馳振重疊[2-4]，致振機理復雜，對其理解還遠未達到成熟。事實上，流固耦合常是一個強非線性問題，影響因素眾多且難以分割成流體和固體單獨分析，對基礎理論、數(shù)值方法和實驗測試等提出嚴峻挑戰(zhàn)。因此，如何準確考慮流固耦合作用是一個亟待解決的關鍵問題。還以結(jié)構(gòu)風工程為例，傳統(tǒng)手段將風作為外荷載施加在結(jié)構(gòu)上，通過等效靜風荷載近似考慮動力效應，取得了一定成效[5-6]。事實上，風與結(jié)構(gòu)的作用是雙向耦合的。如果忽略這點，勢必與實際情況產(chǎn)生較大偏差。遺憾的是，相關研究目前仍顯不足，工程應用零星，更缺乏系統(tǒng)的科學認識。我國相關規(guī)范、規(guī)程和行業(yè)規(guī)定等在這方面也無法提供詳細有效的條文保障，滯后于工程建設需求。以準穩(wěn)態(tài)風振理論為例，氣動參數(shù)的獲取嚴重依賴數(shù)據(jù)輸入(由數(shù)值計算或?qū)嶒灉y試提供)且會因數(shù)據(jù)誤差導致多重值，常用于相對簡單情形[7]。當前理論發(fā)展與工程實踐對流固耦合的認識均不盡如人意。

1 研究概述

流固耦數(shù)值模擬既是研究熱點，也是研究難點。現(xiàn)有數(shù)值方法可分為整體算法、分區(qū)算法等常規(guī)算法和其它非常規(guī)算法(如圖2所示)；其中，分區(qū)算法可進一步分為顯式、隱式和半隱式算法。本文將以任意拉格朗日—歐拉(Arbitrary Lagrangian-Eulerian, ALE)有限元方法為主線、穿插描述其它新方法，介紹流固耦合數(shù)值算法的經(jīng)典研究和近年來的重要進展。

圖2 流固耦合數(shù)值方法分類Fig.2 Classification of numerical methods for FSI

1.1 國外研究現(xiàn)狀

1.1.1 整體算法

從連續(xù)介質(zhì)力學出發(fā)，可將流體和固體統(tǒng)一起來，從而發(fā)展出了整體算法。整體算法將流體變量和結(jié)構(gòu)變量組裝到同一組系統(tǒng)方程中迭代求解，其特殊求解方式導致系統(tǒng)方程規(guī)模龐大、剛度矩陣非對稱、非線性強。故整體算法喪失了程序模塊性和求解靈活性，需較大修改甚至重新編寫已有程序。盡管如此，整體算法嚴格遵守物理守恒、自動滿足界面條件、可克服強附加質(zhì)量效應，引起學者們的濃烈興趣。Blom[8]較早運用整體算法分析一維活塞問題。穩(wěn)定性分析表明：隱式求解整體方程令該算法為無條件穩(wěn)定；阻尼分析表明：該算法無多余能量項，避免計算發(fā)散。Hübner等[9]選用速度作為系統(tǒng)變量，借助空時有限元法獲得系統(tǒng)的同一空時離散方案，整體求解了幾何非線性流固耦合問題，體現(xiàn)出較大挑戰(zhàn)性。美國麻省理工學院Bathe[10]領導開發(fā)的ADINA軟件內(nèi)置整體求解模塊，已用于土木工程、航空航天工程、汽車工程及石油化工等行業(yè)。但該軟件在幾何建模和后處理方面的功能較為單一，有待改善。Liu等[11]基于ALE有限元法提出二階整體算法，其特色在于構(gòu)建聯(lián)合場變量的界面顯式推進方案，可適應任意質(zhì)量比(即結(jié)構(gòu)密度與流體密度之比)。

1.1.2 分區(qū)算法

一般認為，流固耦合系統(tǒng)由兩場(即流體和結(jié)構(gòu)兩個真實物理場)或三場(即兩個真實物理場再加上動網(wǎng)格這一虛擬場)方程控制[12]。這就給分區(qū)算法提供了施展拳腳的舞臺。分區(qū)算法順序交錯求解各子問題，可最大限度利用已有程序，靈活選擇不同求解器，很好保持了程序模塊性，因而應用更廣。

顯式分區(qū)算法無需在每時間步內(nèi)迭代計算，故具有概念清晰、求解簡單和效率高的優(yōu)點；其缺點是受時間滯后效應影響不滿足界面守恒，適合較大質(zhì)量比情形。Nomura等[13]利用流線迎風彼得洛夫-伽遼金(SUPG)有限元法和預測—多步校正法計算了剛體流固耦合問題，并首次引入一般平面運動協(xié)調(diào)條件刻畫剛體動邊界與其重心的幾何關系。Wall等[14]開創(chuàng)性設計了方柱后懸臂梁的渦激振動算例，并運用顯式分區(qū)算法求解。由于結(jié)構(gòu)幾何非線性增加求解難度以及充分反映柔性體的復雜流致振動現(xiàn)象，該算例已成為校驗耦合算法的基準問題。Jaiman等[15]構(gòu)建了聯(lián)合界面邊界條件(Combined Interface Boundary Condition, CIBC)方法，結(jié)合顯式分區(qū)算法計算一維活塞問題。該方法的優(yōu)點為：通過修正界面條件改善顯式分區(qū)算法的精度和穩(wěn)定性，大為緩解不利的附加質(zhì)量效應。通過將火箭模型理想化為剛體，Lefran?ois[16]數(shù)值模擬了二維膨脹火箭引擎噴嘴的側(cè)向受荷運動，詳細分析結(jié)構(gòu)位移、扭轉(zhuǎn)頻率及壓力變化等振動響應；其中，子塊移動技術可避免或減少動網(wǎng)格擬靜力方程計算，效率很高。顯式分區(qū)算法能很好平衡計算精度與效率，是求解大規(guī)模氣動彈性問題的最佳選擇。例如，Belver等[17]直接數(shù)值模擬了一90 m鋼煙囪的渦激振動，運用分步法結(jié)合正交亞格子穩(wěn)定化技術求解流場、在結(jié)構(gòu)方程中考慮瑞利阻尼效應。需指出，美國斯坦福大學Farhat教授的工作顯著推動了顯式分區(qū)算法發(fā)展。Farhat等[18]注意到，結(jié)構(gòu)時間步遠大于流體時間步，故可在一個結(jié)構(gòu)時間步內(nèi)循環(huán)計算流體若干次，避免兩場同步推進增加計算成本，由此提出了流體子循環(huán)概念。Farhat等[19]將流體滯后結(jié)構(gòu)半個時間步形成交錯求解，以彌補常規(guī)方法違反界面速度連續(xù)性的不足，提升了計算精度。

隱式分區(qū)算法在每時間步內(nèi)依次迭代各單場方程直至收斂，雖較為耗時，但滿足物理守恒、避免數(shù)值失穩(wěn)。目前固定點法和牛頓法運用最為廣泛。Le Tallec等[20]發(fā)展了固定點法的預條件最速下降松弛技術。該算法被證明為穩(wěn)定的能量守恒方案，用于求解復雜工業(yè)問題。Küttler等[21]根據(jù)界面位移構(gòu)造動態(tài)松弛因子，提出了基于Aitken’s Δ2加速技術的固定點迭代法，數(shù)值模擬了柔性體流固耦合問題。特別指出，Le Tallec等為研究固定點法的重要工作，廣為引用。Wang等[22]基于梯度光滑技術分析了幾何非線性流固耦合問題，即采用邊界光滑有限元求解固體、梯度光滑有限差分法求解流場。由于流體速度和壓力不可顯式解耦，梯度光滑概念難以用于流體有限元計算，Wang等則通過有限差分法化解該難題。牛頓法可克服固定點法收斂緩慢的缺點，受到較多青睞。Dettmer等[23]提出牛頓—拉普森隱式耦合方法，殘差收斂分析表明該算法為二次收斂。Degroote[24]建議了界面準牛頓算法，可近似求解雅可比矩陣及其逆矩陣，收斂率較高。

半隱式分區(qū)算法是近年出現(xiàn)的第三類分區(qū)算法，求解過程分為顯式耦合和隱式耦合兩步，主要優(yōu)勢為：穩(wěn)定性與隱式分區(qū)算法相當，但效率更勝一籌。Fernández等[25]借助映射分離提出了半隱式算法，具體措施為：先顯式處理ALE對流—擴散項與網(wǎng)格運動以提高計算效率，然后在固定網(wǎng)格上隱式耦合壓力項與結(jié)構(gòu)運動以確保穩(wěn)定性。Breuer等[26]基于商業(yè)軟件獨立設計了一種分區(qū)半隱式預測—校正法，結(jié)合大渦模擬和非匹配網(wǎng)格模擬了圓柱后彈性懸臂梁的渦激振動問題。與Fernández等的研究不同，流體動量方程以整體方式求解，故在顯式步中僅含網(wǎng)格運動。隨后，Murea等[27]在界面處構(gòu)造最小二乘問題實現(xiàn)連續(xù)性條件，利用BFGS迭代法求解相應優(yōu)化問題并研究了算法穩(wěn)定性。文獻[27]的基本框架與文獻[26]保持一致。半隱式分區(qū)算法在血液動力學中通過出口/入口壓力條件實現(xiàn)半隱式耦合，目前尚難以用于計算結(jié)構(gòu)風工程問題。筆者針對半隱式分區(qū)算法的不足進行了研究，取得了一定成果，詳見后文。

1.2 國內(nèi)研究現(xiàn)狀

近年來，國內(nèi)學者越來越關注流固耦合問題，研究熱情持續(xù)高漲，涌現(xiàn)出較多高水平成果，成績不俗。哈爾濱工業(yè)大學沈世釗等[28]運用顯式分區(qū)算法分析了二維柔性膜結(jié)構(gòu)與風耦合作用，并對比了不考慮流固耦合作用的結(jié)果。在文獻[28]中，流場求解基于泰勒—伽遼金方法，湍流計算使用Smagorinsky大渦模擬。同濟大學顧明等[29]提出“模態(tài)耦合因子”新概念，運用隨機振動理論近似求解風載下結(jié)構(gòu)的共振響應耦合模態(tài)，并用于分析鐵路上海南站大跨屋頂風效應。昆明理工大學張立祥等[30]基于隱式分區(qū)算法和大渦模擬數(shù)值計算了三維渦輪機葉片的流固耦合效應，其特色之處在于運用了預測—多步校正法和Newmark方法分別預測流體和固體，然后進行雙修正。大連理工大學孫東科、林家浩課題組基于商業(yè)軟件實施隱式迭代，并選用k-ω湍流模型數(shù)值模擬了二維機翼顫振問題[31]。遼寧工程技術大學孫芳錦與同濟大學顧明合作進行基于ANSYS軟件二次開發(fā)的流固耦合研究，運用整體算法數(shù)值模擬了柔性膜結(jié)構(gòu)風振耦合作用[32]。西安交通大學張家忠課題組數(shù)值模擬了二維局部柔性機翼的流固耦合，采用簡化梁撓度方程考慮結(jié)構(gòu)局部大變形[33]。上海交通大學周岱課題組利用顯式分區(qū)算法數(shù)值模擬了雙柱體尾激振動，揭示了相應流致振動現(xiàn)象及作用機理[34]。葛耀君[35]課題組基于風洞實驗數(shù)據(jù)研究提出風載下柔性結(jié)構(gòu)的尾流振子模型，具有較強工程意義。華南理工大學魏德敏等[36]考慮不同來風特性研究了索穹頂結(jié)構(gòu)風振響應。湖南大學陳政清[37]課題組基于ANSYS軟件研究了安裝亮化燈具導致的斜拉橋拉索風致馳振作用，將模型簡化為相對來流有一定攻角的三圓柱串列模型，分析了不同風速對橋梁結(jié)構(gòu)及拉索的影響。浙江大學樓文娟[38]課題組根據(jù)三角形重心坐標系原理提出基于顯式耦合計算的流固耦合網(wǎng)格協(xié)調(diào)插值新方法，數(shù)值模擬了柔性平屋蓋結(jié)構(gòu)風振響應，分析了氣動阻尼效應。天津大學及春寧等[39]模擬了層流下串列低質(zhì)量比雙圓柱的渦激振動，討論了2種工況和不同間距比，基于流致振動現(xiàn)象給出耦合機理解釋。

此外，清華大學、北京大學、香港大學、中科院力學所等眾多單位從不同角度研究了流固耦合問題，在此不再贅述。

1.3 基于CBS方法的流固耦合研究

特征線分裂(Characteristic-Based Split, CBS)技術是一種通用的計算流體動力學數(shù)值方法，應用較為廣泛[40-41]。筆者運用ALE-CBS有限元法進行了一系列流固耦合數(shù)值方法研究，包括：

(1)構(gòu)建了混合型界面耦合條件，并不斷完善其理論。針對CIBC公式中存在結(jié)構(gòu)應力項、不能用于剛體流固耦合和無法反映完整流體應力張量的不足，提出了改進CIBC方法[42-48]。

(2)發(fā)展了單場單體求解的優(yōu)化方法，并結(jié)合改進CIBC方法，分別建立了顯式、隱式和半隱式分區(qū)耦合算法[42-53]。

(3)數(shù)值模擬了各類典型幾何截面鈍體的流致振動，揭示了振動鈍體的響應規(guī)律和特征現(xiàn)象[54-59]。

有關CIBC方法的最新研究進展，讀者可參閱最新綜述論文，見文獻[60]。

2 發(fā)展趨勢

隨著計算力學理論和計算機技術的發(fā)展，流固耦合計算新方法不斷被提出，呈現(xiàn)百花齊放、百家爭鳴的總體發(fā)展趨勢，其實質(zhì)反映了數(shù)值研究不斷追求“高精度、高效率與穩(wěn)定性”的永恒目標，主要體現(xiàn)在：

(1)ALE方法繼續(xù)占據(jù)主流，其它新概念將有較大發(fā)展。ALE描述統(tǒng)一了拉格朗日描述和歐拉描述，克服了各自缺點：既能追蹤動邊界，又可避免網(wǎng)格畸變。借助ALE描述，基于網(wǎng)格的空間離散方法可方便求解流固耦合且相當有效。隨著研究不斷深入、其它技術短期內(nèi)難有重大突破，ALE方法將繼續(xù)成為數(shù)值分析流固耦合的主流手段。得益于理論進步，一批新方法同時將有較大飛躍。以浸透邊界元法[61]為例，該方法早期缺點(如核函數(shù)插值導致精度下降、計算剛體困難及耦合施力不一致等)一一被解決或改進。“浸透”概念還顯著推動其它歐拉型方法的快速發(fā)展，帶動新研究熱潮。

(2)提出統(tǒng)一公式整體算法，避免繁雜非線性迭代。常規(guī)整體算法尋求特殊的非線性方程線性化解法，計算精度與效率大打折扣。如能將流體和固體嵌入單一介質(zhì)框架內(nèi)，便可對二者采用相同變量與求解方案(即單一網(wǎng)格劃分、空間離散、時間推進方案和迭代技術)，協(xié)調(diào)性好，數(shù)學處理容易。例如，Papadakis[62]采用速度和壓力作為變量，對流體和固體構(gòu)造形式相同的控制方程和本構(gòu)關系，提出統(tǒng)一迭代求解方案。然而，這類研究目前尚不多見。

(3)發(fā)展精確、高效分區(qū)算法，發(fā)揮既有方法優(yōu)勢。具體體現(xiàn)在：①耦合先進單場技術。分區(qū)算法可最大限度保持程序模塊性，故耦合各種先進單場求解技術是自然選擇。譬如，Navier-Stokes方程的穩(wěn)定化解法、精確的固體光滑有限元方法、簡單高效的網(wǎng)格更新技術等改進措施；構(gòu)造新型界面耦合條件；靈活使用非匹配網(wǎng)格；耦合不同空間離散方法；等等。②穩(wěn)定化顯式分區(qū)算法。顯式分區(qū)算法的效率優(yōu)勢突出，但遇結(jié)構(gòu)較柔或強附加質(zhì)量效應時會出現(xiàn)數(shù)值失穩(wěn)。發(fā)展穩(wěn)定化顯式耦合技術，發(fā)揮高效優(yōu)勢、適應強附加質(zhì)量效應，是今后研究的重要發(fā)展方向。當前僅在血液動力學流固耦合分析中有少量應用[63]。③高效(半)隱式分區(qū)算法。(半)隱式分區(qū)算法迭代求解耗時。研究關鍵在于能否提出高效、高精度的迭代耦合算法。成功例子有Atiken方法和準牛頓法等。

3 目前存在的問題及解決途徑

由前文可知，當前流固耦合數(shù)值方法研究還存在以下不足：

(1)數(shù)值理論方面，包括：①傳統(tǒng)觀點認為單場交錯求解導致分區(qū)計算中的時間滯后效應，主要注重場方程求解，忽略了時變邊值延滯同時惡化兩場方程解的本質(zhì)；②連續(xù)介質(zhì)物理律及本構(gòu)關系在公式表達上具有高度一致性，當前還未充分利用這一特點開發(fā)更靈活的整體求解策略；③對實際湍流考慮不多且多受限于商業(yè)軟件。這些問題直接影響流固耦合計算的精度、效率和適用范圍。

(2)工程應用方面，包括：①數(shù)值研究較少涉及土木工程風敏感結(jié)構(gòu)，且在既有應用中多關注(二維)外形簡單的剛體或線彈性體，對(三維)超彈性柔性體、多鈍體群(尤其是剛-柔、柔-柔體系)研究不多；②實際工程多采用準定常方法將耦合效應簡化為擬動力作用，較少運用計算力學手段，難以精準確定全時程耦合作用；③片面強調(diào)風的復雜性或僅關注結(jié)構(gòu)響應，對流致振動現(xiàn)象本質(zhì)與機理認識不清、詮釋不足。

針對以上問題，可能解決途徑有：①理論方面，包括從數(shù)學理論與物理原理出發(fā)，大力發(fā)展新型/混合型流-固交界面條件、提出反映復雜歷史時程的預測措施、構(gòu)筑精確與穩(wěn)定的流體求解器、基于連續(xù)介質(zhì)力學的統(tǒng)一本構(gòu)方程等；②實踐方面，針對復雜形體的簡化工程計算方法、考慮結(jié)構(gòu)-強風充分耦合、在相關設計規(guī)范中引入更合理條款、加強風洞與水槽實驗技術研究、基于流動現(xiàn)象與振動響應的耦合機理深入研究等。

4 結(jié) 語

本文簡要評述與分析了流固耦合數(shù)值方法的研究進展及各自特點，討論了早期經(jīng)典文獻與近年最新研究成果。流固耦合問題屬多學科交叉研究，難度較大，研究成果遠未成熟。當前理論研究與應用雖有較快發(fā)展，但還需持續(xù)不斷深化。基于計算力學發(fā)展更為精確、高效和穩(wěn)定的數(shù)值模擬技術，模擬復雜實際情況(如湍流、結(jié)構(gòu)疲勞等)的流固耦合問題，并推進并行計算技術(如GPU輔助加速并行運算、云計算等)的深入應用，將是未來重要的研究方向。

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