含功能梯度材料的周期管路振動特性研究

杜春陽, 郁殿龍, 溫激鴻, 劉江偉, 賈鵬飛

(國防科學技術大學 裝備綜合保障技術重點實驗室,長沙 410073)

管路系統通常用來傳遞能量或物質，廣泛應用與船舶動力、航空航天等領域。充液管路系統是管路系統中最常見的一種結構形式。充液管路系統中存在液體的壓力波脈動、管壁振動以及兩種振動的相互耦合。當振動的頻率與管路系統的固有頻率相重合時，會發生共振現象，危害較大[1]。現階段的管路減振措施主要有設置支撐、安裝阻振質量、安裝撓性接管[2]、安裝動力吸振器，貼敷阻尼材料等[3]。這些措施雖然可以一定程度的解決管路的振動問題，但也存在一定缺陷。

基于聲子晶體理論，設計周期性管路系統，可以有效的對某些特定頻段的振動進行控制與削弱[4]，但是由于周期性管路由兩種或多種材料周期性組成，在兩種不同材料的結合處由于兩邊的材料性能不同，產生應力集中問題比較突出。

為解決上述問題，在本篇論文中，在基于聲子晶體理論設計的經典周期管路系統的基礎上，周期性的嵌入功能梯度材料(Functionally Graded Materials，FGM)，分析功能梯度材料對帶隙和應力集中的影響。

功能梯度材料由于其特殊的性能如高剛度，減小殘余應力和熱應力等受到許多研究學者的關注[5-6]。選用兩種或多種性能不同的材料，通過連續的改變這兩種或多種材料的組成和結構，使其界面消失導致材料的性能隨著材料的組成和結構的變換而緩慢變化，形成功能梯度材料[7]。吳曉等[8]采用Timoshenko梁修正理論研究了功能梯度材料梁的動力響應問題，證明了不同梯度指數能對梁的固有振動頻率和動力響應產生影響。Yang等[9]分析了含功能梯度材料的帶孔板的應力集中問題。沈惠杰等[10]利用有限元法研究了含功能梯度材料的圓柱殼體的帶隙特性。Wu等[11]利用有限元法和傳遞矩陣法計算了應用功能梯度材料的一維聲子晶體的能帶結構，并對其影響影響因素進行了分析。Chakraborty等[12]應用譜有限元法對功能梯度材料梁在高頻載荷下的波傳播行為進行了研究。不同于功能梯度材料徑向分布的梁， Shahba等[13-14]分析計算了功能梯度材料軸向分布梁的振動特性。上述分析主要集中在FGM對周期管路的帶隙調節，對消除應力集中研究尚不深入。本文將在現有研究的基礎上，研究含功能梯度材料周期管路的帶隙特性，并分析了其對于管路應力集中的削弱作用。

1 模型計算

相較于經典周期管路，含功能梯度材料的周期管路在結構上的顯著差別就是在兩種材料之間采用一段沿軸向材料參數均勻變化的功能梯度材料構成的管路來進行銜接。

圖1 管路理論模型Fig.1 The sketch of periodic pipe with FGMs and classic periodic pipe

梁模型和殼模型是研究充液管路振動主要采用的兩種理論模型。充液管路振動模式有軸向振動、扭轉振動、彎曲振動，以及它們之間的復雜耦合振動。其中彎曲振動在振動模式中占主要分量。因此，研究彎曲振動對管路振動控制具有重要的理論意義。研究管路彎曲振動大多數基于梁模型理論[15]。一般情況下，充液管路長度與管外徑之比較大，振動時更多地表現出梁模態特性，周向模態可忽略。本文研究的管路符合這些特點，因此重點介紹兩種梁模型—Timoshenko梁模型和Euler梁模型,由于其振動方程包含了截面轉動慣量和剪切變形項，使得Timoshenko梁模型比Euler梁模型更精確，本文采用Timoshenko梁模型，利用有限元法，劃分細小單元，對細小單元進行處理。有限元法對固體材料以黏合形式接觸的結構與運動分析特別有效，此外，采用有限元法，可將流體與彈性管壁作為耦合系統考慮，分析流固耦合作用下充液管路的振動[16]。

(1)

進一步，通過求解矩陣T的特征值，即可得到Bloch波矢與頻率的關系。

(2)

COMSOL Multiphysics是一款高度集成的大型工程模擬軟件，提供幾何結構創建、網格剖分、物理過程定義、計算求解、數據可視化及后處理等功能，可通過附加激勵信號來計算分析模型的特性[17]。COMSOL軟件已經被廣泛應用于周期結構和聲學超材料的研究中[18-21]，應用COMSOL軟件，可以通過設置周期邊界條件，有效計算能帶結構和傳播特性。

2 帶隙特性計算：

在計算中，管路沿z方向周期排列，功能梯度材料的材料性能采用函數過渡，單元管路中材料參數過渡函數如式(3)所示[9]

(3)

式中：ψA-B和ψB-A分別為圖1(b)管路單元中兩段功能梯度材料接管的材料屬性，ψA和ψB是材料A和材料B的材料屬性(密度和楊氏模量等)，la、lb分別為單材料管路長度和功能梯度材料管路長度，z是管路上的點的Z坐標值。如圖1(b)所示的功能梯度材料管路單元，當式(3)中的n取值為1時，材料參數按照一個一次函數進行變化，隨著管路上點的z坐標變化，管路的材料參數從一種材料過渡到另一種材料。當n取值變化時，過渡函數將呈現出如圖2所示的不同函數特性。

圖2 功能梯度材料密度在不同n值下沿軸向變化示意圖Fig.2 Variation of density along the beam axis with different exponent n

3.1 功能梯度材料周期管路帶隙特性

計算中，材料A采用鋼，材料B采用環氧樹脂，兩者的性能參數，見表1。

表1 材料結構參數

表2 功能梯度材料管路結構參數

根據表2的結構參數進行建模與仿真，采用n=1的情況，材料性質以一次函數過渡。利用COMSOL軟件計算能帶結構，如圖3所示，圖3色散曲線從波矢0處出現三條色散曲線，分別對應縱向、扭轉和彎曲振動波。在計算其頻響曲線時，選用五個管路單元，在管路的管壁上分別施加相應的單位激勵(彎曲，扭轉，軸向)，在另一端的管壁上進行信號拾取，利用拾取的信號獲得相應振動的頻響曲線。根據帶隙曲線得知，能帶結構圖中包含了多種類型振動的帶隙，結合振動頻響曲線與能帶結構圖綜合分析得知，圖中2 000 Hz以下有三個彎曲振動帶隙，分別為97.48 ～141 Hz，429.7～900.1 Hz，1226～1 490 Hz；有兩個扭轉振動帶隙分別為343～900.9 Hz，1 231～1 696 Hz；有兩個軸向振動帶隙565～907 Hz，1 231～1 490 Hz。

通過分析能帶結構和頻率響應曲線，可以發現在563.1 ～900.1 Hz，1 226 ～1490 Hz頻率范圍內三種振動帶隙都共存，可以有效抑制各種振動模式的傳播。

圖3 功能梯度材料以一次函數過渡Fig.3 The vibration band structures and FRF of periodic pipe with FGMs for n=1

鑒于彎曲振動控制在管路減振中的重要意義，我們主要考慮彎曲振動的帶隙位置以及寬度的變化。為了進一步驗證功能梯度材料管路的帶隙特性，將其與經典周期管路進行比較。

表3 經典周期管路結構參數

利用COMSOL計算出經典周期管路的能帶曲線，對比兩者彎曲振動帶隙的變化。

圖4 經典周期管路與功能梯度材料管路帶隙圖與頻響曲線比較Fig.4 The comparison of vibration band structures and the flexural vibration FRF between periodic pipe with FGMs and classic periodic pipe

分析比較其帶隙特性，經典周期管路三個帶隙分別為84.32～95.18 Hz，302.4～634 Hz，792.4～1 286 Hz在帶隙范圍內，管壁的彎曲振動均不能傳播。相較于經典管路，含功能梯度材料的管路第一帶隙的位置雖然沒產生太大的變化，但是帶隙的寬度拓寬了，帶隙內振動衰減也明顯得到增強。由于經典周期管路的第一帶隙頻率范圍只有10 Hz左右，所以其頻響曲線中第一帶隙的衰減特性很弱，但是從含功能梯度材料的周期管路的頻響曲線可以很明顯的看出第一帶隙位置和其衰減特性。第二帶隙中心頻率向高頻偏移，但是寬度卻增加了。

2.2 帶隙影響因素

2.2.1 過渡函數對帶隙特性的影響

功能梯度材料管路的結構參數不變，采用表2的相應結構參數，改變過渡函數的指數值，使得n的值為0.1、1、10。分別計算其彎曲振動的頻響曲線，分析不同過渡函數對于管路帶隙特性的影響。

圖5(a)中，三種n值的管路第二帶隙對彎曲振動的衰減程度有相應的差異，n=10時衰減程度最強，并且帶隙的中心最低，n=0.1衰減程度最弱，n=1帶隙中心最高且帶隙最寬。第三帶隙對振動衰減的區別更為明顯，與第二帶隙的規律相似，n=10時衰減程度最大帶隙中心最低，但是n=1時振動衰減效果最差，帶隙中心最高且帶隙最窄。

圖5(b)中，放大了0～200 Hz位置的頻響曲線，n=1時衰減程度最強，帶隙寬度也最寬，而其他兩組的帶隙都比較窄，衰減也較弱。

2.2.2 功能梯度材料管路長度對帶隙特性的影響

晶格常數不變，改變的值，改變功能梯度材料管路在單元管路中的配比，過渡函數選用一次函數(n=1)，lb的值分別為0.25 m，0.2 m，0.1 m，分別計算其彎曲振動的頻響曲線。

圖5 不同過渡函數指數n頻響曲線比較Fig.5 The flexural vibration FRF of periodic pipe with FGMs for different exponent n

圖6 不同功能梯度材料管路長度頻響曲線比較Fig.6 The flexural vibration FRF of periodic pipe with different length FGMs

圖6(a)中，隨著lb值的增加，單元管路內功能梯度材料管路的配比增加，二、三帶隙的帶隙中心向高頻偏移，對于振動的衰減能力削弱。

圖6(b)中，放大了0～200 Hz位置的頻響曲線，隨著lb值的增加，第一帶隙中心向高頻偏移，帶隙變寬，并且對于振動的衰減作用變強。

通過上述仿真，可以得出結論：功能梯度材料對于管路的帶隙有一定的影響，通過改變不同的功能梯度材料在單元管路中所占的比例，以及不同的指數函數，可以綜合的分析功能梯度材料對周期管路的帶隙特性的影響。仿真中選用三種功能梯度材料管路長度配比，分別取值為：lb=0.25 m，lb=0.2 m，lb=0.1 m。指數n值分別取0.1、0.3、0.5、0.7、0、3、5、7。考慮前兩個帶隙的位置，分析管路的彎曲振動帶隙的位置和寬度變化(見圖7)。

圖7 不同長度配比下帶隙的變化Fig.7 The flexural vibration band gaps of periodic pipe with different length FGMs and different exponent n

圖7是帶隙的位置分布圖，兩類標記不同的曲線分別代表第一帶隙和第二帶隙的位置。從帶隙的分布圖中可以看出不同的占比的功能梯度材料管路在指數n變化時，所表現出的規律基本一致，n=0時，管路為經典管路，第一帶隙較窄，寬度約為10 Hz，第二帶隙起始點為300 Hz，截止約600 Hz，寬約300 Hz。n值從0升至7時，第一帶隙和第二帶隙的起始首先向高頻偏移，到了n≥1時，起始頻率開始向低頻偏移；第一帶隙和第二帶隙的寬度也隨著n值的變化發生相應的變化，n≤1時，帶隙的寬度與n值的大小成正相關，n≥1時，帶隙的寬度與n值的大小成負相關。對于不同的lb值，也就是不同的功能梯度材料管路長度，當lb值減小時，第一帶隙和第二帶隙的起始頻率向低頻移動，但是帶隙的寬度也同樣出現了減小。第一帶隙的起始頻率隨著n值和lb值的影響相較于第二帶隙來說比較小，但是其帶隙寬度影響卻較為明顯，對比與經典周期管路的10 Hz，lb=0.25 m，n=1時，第一帶隙的帶隙寬度可以達到57 Hz左右。

3 功能梯度材料對應力集中的影響

功能梯度材料對管路的應力集中問題有一定的減緩作用。計算中，建立五個周期單元的管路模型，在管路的一段加一個垂直于管路軸線的力，在COMSOL中進行掃頻，頻率范圍為1～1 600 Hz，選取幾個頻率點進行觀測，分析彎曲振動的應力分布情況。

首先建立一個經典周期管路模型，參數與表1,3一致。選取的觀測頻率點290 Hz屬于通帶位置，90 Hz，500 Hz屬于帶隙位置，應力分布情況如圖8所示。

(a) 頻率90 Hz

(b) 頻率500 Hz

(c) 頻率290 Hz

圖9 有限周期管路應力傳輸特性Fig.9 The stress FRF of finitely classic periodic pipe

圖9是有限周期管路另一端管壁的應力隨頻率的變化曲線，三個觀測點分別在圖中對應指出。從圖8,9看出，在帶隙范圍內，應力主要集中在靠近激勵端的前一個或者兩個單元內，而后面幾個單元應力集中問題比較小，帶隙頻率范圍內的管路應力集中問題可以有效抑制。但當激勵頻率處于通帶位置時，應力在管路系統的所用單元上都有分布，應力集中的問題很明顯，在實際應用中，可以通過對管路系統進行設計，可以通過設計帶隙位置衰減特定頻率的振動傳播以及管路系統的應力集中問題。

當加入功能梯度材料后，管路的帶隙特性發生了較大的變化，建立一個lb=0.2 m，n=1的模型，其他參數與表1,2一致。同樣觀測這幾個頻率點的管路的應力分布。但是由于帶隙特性發生變化，90 Hz，290 Hz為通帶位置，500 Hz仍處于帶隙位置，應力分布情況如圖10所示。

經典周期管路的結論在功能梯度材料管路上一樣適用，在帶隙范圍內，應力主要集中于前一個或者兩個單元，后面的單元基本上不受到影響。但是在通帶范圍內的兩個觀測點的應力分布出現了不同于經典管路的情況，90 Hz和290 Hz位置的應力只集中于前兩個單元。由于功能梯度材料管路與經典周期管路的帶隙特性相差較大，根據圖4的頻響曲線，選擇0～300 Hz進行應力的比較分析，在此頻段內，兩種管路的能帶結構基本都處于通帶范圍內。

(a) 頻率90 Hz

(b) 頻率290 Hz

(c) 頻率500 Hz

兩類管路的應力隨頻率變化都基本滿足帶隙規律，在帶隙范圍內，觀測的應力值很小，故應力沒有向后方單元傳播。同樣在通帶范圍內，含功能梯度材料的管路的應力值明顯小于經典周期管路。表明功能梯度材料可以有效的消除周期管路單元的應力集中問題。

4 結 論

利用有限元法，基于聲子晶體理論，考慮了功能梯度材料在周期直管管路系統中的應用，研究了功能梯度材料周期管路的帶隙特性以及對管路的應力集中影響。

與經典周期管路相比，包含功能梯度材料的周期管路明顯改變了帶隙的位置與帶隙的寬度。改變函數的指數值，改變功能梯度材料在管路單元中所占的比例，可以獲得不同的帶隙效果。

(1)相較于經典周期管路，功能梯度材料可有效調節周期管路的帶隙特性，使得第一帶隙出現了明顯的拓寬。而其他兩個帶隙都會產生相應的中心位置的偏移和帶隙寬度的變化。

(2)功能梯度材料能夠很好的消除周期管路不同材料界面處產生的應力集中問題，可以有效的減緩管路系統的應力損傷。

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