移動荷載作用下懸浮隧道動力響應分析

項貽強， 林 亨， 陳政陽

(浙江大學 建筑工程學院，杭州 310058)

懸浮隧道(Submerged Floating Tunnel, SFT)，又名“阿基米德”橋，是一種新型的跨江河、湖泊的交通結構物。其概念最早是由英國的Sir James Reed提出，之后挪威的Trygve_OIsen Dale做了相關方面的研究，后在1960年末，懸浮隧道引起了來自挪威、日本、意大利和中國等研究者的興趣[1]。懸浮隧道主要是由依靠懸浮在水下一定深度的隧道管體，限制管體過大位移的錨固裝置和與兩岸銜接的駁岸段組成。懸浮隧道因其受惡劣天氣影響小，對周邊環境影響低，單位造價少等優勢，成為21世紀最具競爭力的跨江海交通結構物[2]。

同其他結構相比，懸浮隧道依靠錨固在海床上錨索的張力和流體的浮力平衡自重，在運營過程中常年受到水下洋流和移動車載的作用，運營的環境十分的復雜。基于此，國內外的學者都對其開展了相關的研究，Sato等[3]認為相對剛度在小于一定范圍的情況下，可以將等間距錨索支撐的懸浮隧道等效為作用在彈性基地上的梁，并在此基礎上導出了結構控制方程。葛斐等[4]采用Hamilton原理推導得到了懸浮隧道管段和錨索的運動控制方程，在時間域內采用逐步積分法迭代求解，并采用Airy線性波理論和Morison方程計算懸浮隧道上的波浪力。Tariverdilo等[5]將移動車輛等效為移動常荷載，考慮流體附加的慣性效應分析了懸浮隧道的動力響應。項貽強等[6]對懸浮隧道管體和錨索系統的參數振動和渦激振動進行研究，分析了錨索-管體耦合系統振動的特性。晁春峰等[7]以千島湖懸浮隧道錨索為原型，對懸浮隧道錨索在均勻流作用下的渦激振動特性進行了試驗研究。

移動車輛荷載下結構的動力響應問題隨著輕軌和高鐵的興起而逐步受到人們的重視，對于懸浮隧道也不例外。文中將懸浮隧道簡化為一個等間距彈性支撐梁，并基于Morison方程在考慮流體附加慣性效應和阻尼效應的基礎上，建立懸浮隧道在移動荷載作用下的振動微分控制方程。基于MATLAB采用自編四階龍格-庫塔函數方法進行數值求解，以此研究移動荷載作用下流體效應、振動模態階數、錨索剛度和移動速度等對懸浮隧道動力響應的影響。

1 理論分析模型

對于未經簡化的懸浮隧道模型，由于其形式布置多樣，常使結構相關的動力響應研究變得復雜。如圖1所示，懸浮隧道結構體系是由隧道管體、錨索張力腿、管段連接裝置、錨固裝置等組成。其中，錨索張力腿上的力包括橫向力和豎向力，而一般靜水情況下，橫向力通過兩側錨索的分力自平衡抵消，故在不考慮橫向波流作用時，隧道管體僅受豎向力的作用。

圖1 模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the model

文中討論錨索張力腿式懸浮隧道，張力腿豎向等效剛度為K，且各彈性支撐間距為H，為了便于研究移動荷載作用下懸浮隧道的動力響應，可參照文獻[3]，將等間距彈性支撐的懸浮隧道等效為彈性地基梁結構，如圖2所示。于是，僅在豎向移動荷載P0作用下，參考橋梁在移動荷載作用下的振動控制方程[8]，懸浮隧道的豎向動力平衡方程可表示為式(1)所示。

(1)

式中：EI為懸浮隧道的豎向彎曲剛度；w為懸浮隧道管體的豎向位移；ms為單位長度懸浮隧道的質量；cs為懸浮隧道的黏滯阻尼系數；δ為Dirac(狄拉克)函數；L為懸浮隧道長度；κ為等效線張力腿豎向剛度[3]，κ=K/H；P0為常量的荷載；v為移動荷載的速度；fD為隧道管體豎向振動引起的流體對其單位長度的附加慣性力和阻尼力之和。

圖2 簡化分析模型Fig.2 Analytical model of SFT

由Morison公式[9]，fD可表示為

(2)

式中：ρw為流體密度；D為管體直徑；CD為拖曳力系數；Cm為附加質量系數； 取CD=0.7，Cm=1.0[10]。

上述方程，可采用分離變量法[11]， 將懸浮隧道位移w(z,t)表示為如下的形式，

(3)

式中：φn(z)為懸浮隧道n階的振型函數；qn(t)為懸浮隧道n階的廣義坐標。假設懸浮隧道結構兩端為簡支約束，滿足邊界條件的振型函數可取為

(4)

用Galerkin法[12-13]將該偏微分方程轉化為常微分方程組。

(5)

(6)

(7)

2 數值算例

由于目前世界范圍內尚無一例建成投入使用的懸浮隧道，故文中懸浮隧道基本參數參考目前國內外擬建懸浮隧道的設計參數[9,13-14]，具體參數見表1。根據本文提出的理論及建立的方程，基于MATLAB采用自編的四階龍格-庫塔函數方法進行數值求解。

表1 懸浮隧道基本參數取值

為了定量分析移動荷載下結構豎向位移響應的反應值，工程中往往采用沖擊系數來考慮移動荷載的動力效應。故本文定義沖擊系數如下

(8)

式中：μ為懸浮隧道的沖擊系數；Rd(z)是移動荷載作用時結構某一位置z處的位移或內力的最大動力響應值；Rs(z)是將荷載作為靜荷載移動作用時結構某一位置z處的位移或內力的最大響應值。

3 結果分析

3.1 流體效應和振動模態階數的影響

不同于傳統橋梁結構，懸浮隧道的服役環境是在水中，其在結構振動時將受到流體的作用效應。圖3分別考慮靜荷載、考慮流體作用和不考慮流體作用(理想無水)工況下，懸浮隧道跨中位置在相同荷載移動速度90 km/h作用下結構對應的動撓度值和加速度響應。由圖3(a)可以發現，靜荷載作用下，結構的撓度值最小，考慮流體效應比不考慮流體效應的結構動撓度要大，其對應的結構沖擊系數分別為1.084和1.024，可見此時流體作用效應增強了移動荷載的沖擊效果。分析圖3(b)加速度響應，考慮流體作用時跨中的加速度幅值為4.787×10-3m·s2，要小于不考慮流體作用時跨中的加速度幅值7.632×10-3m·s2。可見流體作用改變結構加速度響應的頻率和幅值，對于結構穩定而言是有利的。

(a) 跨中位置撓度響應

(b) 跨中位置加速度響應圖3 懸浮隧道移動荷載作用下動力響應Fig.3 Dynamic response of SFT subject to moving load

基于此，分別對不同長度跨徑的懸浮隧道在不同振動模態階數情況下結構的沖擊系數進行分析。圖4進一步給出了不同結構長度跨中斷面在式(4)考慮n=1，3，5，7和9階振動模態下結構的沖擊系數值。相比而言，300 m長度的懸浮隧道沖擊系數隨振動模態階數變化不大，而800 m長度的懸浮隧道沖擊系數隨振動模態結束變化明顯，并逐步趨向于穩定值。這說明流體作用效應同結構跨徑和振動模態階數相關，對于計算跨徑較長懸浮隧道結構的沖擊系數，有必要考慮高階振動模態。

通過式(2)可見，流體的作用效應分為慣性項與阻尼項，兩者相互交替共同作用在結構上。通過分析模態階數n=9時的不同跨徑懸浮隧道有水和無水的沖擊效應可見，當跨徑為300 m時，有水的沖擊系數與無水沖擊系數為1.102和1.059，兩者相差4.1%，而當跨徑為800 m時，有水的沖擊系數與無水沖擊系數為1.037和1.040，兩者相差-0.3%。可見對于跨徑不長的結構，流體對結構的振動具有促進作用，此時流體的作用影響是不利的；而對于跨徑較長的結構而言，流體對結構的振動具有抑制作用，此時流體能削弱結構的沖擊影響。

圖4 不同模態階數下跨中的沖擊系數Fig.4 Impact coefficient of mid-span in different mode order

3.2 錨索剛度的影響

錨索是懸浮隧道重要的支撐和限位結構，錨索斷面形式、材料以及布置間距通過影響錨索剛度對懸浮隧道的動力響應產生重要的影響。本文分別對K取5×107N/m，8×107N/m和1×108N/m時[14-15]，懸浮隧道跨中位置相同移動速度為90 km/h時荷載作用時的動力響應，如圖5所示。由圖5(a)計算得，當K從5×107N/m增大至1×108N/m時，懸浮隧道跨中最大動撓度值從9.914 mm減小至5.653 mm，其對應的沖擊系數為1.098和1.021。同時分析不同錨索剛度對應的跨中位置結構加速度響應如圖5(b)所示，其加速度幅值分別為4.798×10-3m·s2，4.787×10-3m·s2和4.201×10-3m·s2。通過上述的數值結果，可見錨索剛度對于懸浮隧道移動荷載沖擊效應和加速度響應具有一定的抑制作用。

同時根據錨索的剛度，分別計算了500 m長度的懸浮隧道在不同錨索剛度作用下的自振頻率，計算結果如圖6所示。通過對比可見，錨索剛度K為5×107N/m、8×107N/m、1×108N/m時對應的一階自振頻率和五階自振頻率分別為1.424 Hz、1.765 Hz、1.960 Hz和11.722 Hz、11.768 Hz、11.799 Hz。可見錨索剛度對于懸浮隧道低階的自振頻率影響要大于高階的自振頻率。因此，為了避免車輛通行和結構運營期間過大的不利振動，在工程實際設計中，有必要根據結構的形式計算布置合適的錨索剛度。

(a) 跨中位置撓度響應

(b) 跨中位置加速度響應圖5 不同錨索剛度懸浮隧道動力響應Fig.5 Dynamic response of SFT in different tether stiffness

圖6 不同錨索剛度的各階固有頻率Fig.6 Natural frequencies of the system in different tether stiffness

3.3 移動速度的影響

除了結構本身，移動荷載的速度對于懸浮隧道的動力響應也有重要的影響。本文對荷載在不同移動速度為30 km/h、60 km/h、90 km/h和120 km/h時，結構的加速度響應進行計算，結果如圖7所示。其對應的加速度幅值分別為1.502×10-3m·s2，3.128×10-3m·s2，4.787×10-3m·s2，5.967×10-3m·s2，加速度振動的幅值隨移動荷載速度的增加而增加。

圖7 不同移動速度下跨中位置加速度響應Fig.7 Acceleration response of mid-span in different moving velocity

同時，由圖8(a)、(b)、(c)和(d)可知，對懸浮隧道而言，荷載移動的速度越大，結構隨時間的波動程度就越大。相比而言，移動速度30 km/h、60 km/h、90 km/h和120 km/h對應的沖擊系數分別為1.020、1.012、1.084、1.032。沖擊系數沒有隨著移動荷載速度的增加而呈現出線性的增長，但是對應高速移動的荷載，勢必將造成懸浮隧道劇烈的振動，而這對于懸浮隧道來講是不利的。因此對于實際工程而言，有必要對懸浮隧道類似柔性結構限制車輛行駛速度來控制不利振動。

4 結 論

為分析移動荷載作用下懸浮隧道的動力響應，本文將懸浮隧道簡化為等間距彈性支撐梁，并基于Morison方程在考慮流體附加慣性效應和阻尼效應的基礎上，通過振型疊加法和Galerkin法得到懸浮隧道在移動荷載作用下的振動微分控制方程，并采用四階龍格-庫塔法進行數值求解。分析討論了流體效應、振動模態階數、錨索剛度和移動荷載速度等參數對懸浮隧道在移動荷載作用下結構振動的影響，從中可以得到以下結論：

(1) 懸浮隧道的沖擊系數和加速度響應與流體作用效應相關，而流體作用效應受結構跨徑和振動模態階數的影響。流體作用效應同結構跨徑和振動模態階數相關，對于計算跨徑較長懸浮隧道結構的沖擊系數，有必要考慮高階振動模態。同時，對于跨徑不長的結構，流體對結構的振動具有促進作用，此時流體的作用影響是不利的；而對于跨徑較長的結構而言，流體對結構的振動具有抑制作用，此時流體能削弱結構的沖擊影響。

(2) 移動荷載作用下，懸浮隧道錨索剛度對移動荷載沖擊效應和加速度響應具有一定的抑制作用。不同的錨索剛度對結構低階自振頻率影響大，對高階自振頻率影響小。故在工程實際設計中，有必要根據結構的形式計算布置合適的懸浮隧道錨索剛度。

(3) 高速移動的荷載將引起結構劇烈的振動，而這種劇烈的振動對于軌道車輛的行駛和結構安全運營是極為不利的。因此，一方面懸浮隧道對于高速軌道交通要慎用，另一方面有必要對懸浮隧道設計減振裝置以滿足高速軌道交通的需要。

上述結果只是考慮了單個豎向移動荷載作用下懸浮隧道動力沖擊系數的影響因素，對于多個豎向移動荷載及橫向波浪、洋流等影響分析有待于進一步的研究。

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