多檔位行星變速傳動系統動力學參數優化修改

竇作成， 李以農， 杜明剛， 楊 陽， 趙臘月

(1. 重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044； 2. 中國北方車輛研究所，北京 100072)

行星變速傳動系統因結構緊湊、容易實現多個檔位的傳動速比，在車輛傳動系統中被廣泛采用。近年來行星變速傳動系統檔位數逐漸增加(6檔甚至更多)，在增強其傳動平順性等優點的同時也使得系統結構越來越復雜[1]，在設計中很容易出現參數選取不合理導致系統多個檔位在外界激勵下都會發生扭轉共振。為避免這種惡劣情況的發生，需要對參數進行動力學優化修改[3-4]。由于行星變速傳動系統中不同參數對同一檔位固有頻率有不同的影響，而同一參數對不同檔位的固有頻率影響也存在差別。因此，僅依靠人工對參數進行修改來獲得滿足行星傳動變速系統所有檔位固有頻率都避開工作轉速的要求需要耗費大量的人力和時間，而且很難得到一個最優的調節效果。那么建立一種高效的針對多檔位行星變速傳動系統的參數優化修改方法，以獲得系統所有檔位在工作轉速范圍內都不出現扭轉共振的設計參數具有重要意義。

為避免傳動系統出現共振的參數優化修改首先需要進行靈敏度分析，以使參數修改更具針對性。國內外很多學者都進行了行星傳動系統固有頻率對參數靈敏度的研究， Guo和Lin等[2-5]研究了行星齒輪嚙合剛度、轉動慣量對行星排固有特性和振動模態應變能的影響。齊寅明等[6]分析了由三級簡單行星排構成的盾構機減速器固有特性及對參數靈敏度。黃毅、劉輝等[7-8]針對車輛傳動系統動力學響應進行了靈敏度分析。在計算出傳動系統固有頻率對系統參數的靈敏度后，需要通過動力學參數修改才能達到避免系統出現共振、減小系統振動的目的。項昌樂等[9]采用多步靈敏度法對車輛傳動系統某一檔參數進行了動力學修改，得到了某個參數調整后系統固有頻率的變化情況。張代勝等[10]通過建立扭轉剛度和轉動慣量對固有頻率的影響曲線來尋找較優的參數，以達到減小傳動系統振動的目的。現有的文獻只對變速傳動系統一個檔位或定傳動比系統出現共振時進行系統參數優化修改，還沒有針對多個檔位同時出現扭轉共振的行星變速傳動系統進行動力學參數優化修改的研究。

本文建立了多檔位行星變速傳動系統集中參數模型，分析了系統扭轉振動固有頻率對齒輪間嚙合剛度、軸段扭轉剛度和各構件轉動慣量的相對靈敏度，并以此作為參數優化約束條件。為獲得更好的參數優化結果，采用基于遺傳算法的多步優化方法，每步優化中均采取相對初始參數變化率最小的動態優化目標和動態約束條件。對比分析了該優化方法和單步獨立最優得到的優化結果，并研究了優化步長對優化結果的影響。對行星傳動系統固有頻率對參數靈敏度用于傳動系統多個檔位和單個檔位參數優化修改的特點進行了分析。并分析了系統參數不確定性引起的共振檔位固有頻率穩定性。

1 系統動力學模型

根據某多級行星變速傳動系統結構，建立圖1所示扭轉振動集中參數模型。該系統共有三個行星排，行星排1、行星排2為含有4個行星輪的簡單行星排，行星排3為含有兩類各3個行星輪的復合行星排。各行星排中行星輪均沿圓周等距分布，相同類型的行星輪質量、轉動慣量以及輪齒嚙合剛度取相同值。Ci(i=1,2,3,L,H,R)為行星變速傳動系統中離合器，通過改變各離合器結合分離組合方式，該行星變速傳動系統可以實現8個檔位的傳動。系統包含29個構件，但是由于每個檔位都有兩個離合器結合，因此系統每個檔位含有27個旋轉方向自由度。Ji(i=1,2,3,H1,H2)為各慣性元件轉動慣量：其中，J1為發動機至變速傳動系統動力輸入端傳動構件等效到動力輸入端的等效轉動慣量；J2、J3為動力輸出端至車輪各傳動構件轉動慣量和車體平動質量的等效慣量轉換到動力輸出端的等效轉動慣量。ki(i=1～8)為各慣性元件間連接件扭轉剛度。

圖1 多檔位行星變速傳動系統扭轉振動模型Fig.1 Torsional vibration model of multi-speed planetary transmission

圖2 簡單行星排1、2集中參數模型Fig.2 Lumped parameter model of simple planetary set 1 and 2

圖3 復合行星排3集中參數模型Fig.3 Lumped parameter model of compound planetary set 3

行星變速傳動系統中行星排坐標系設定為：太陽輪、行星架和齒圈取絕對坐標系，行星輪的坐標系取為隨行星架同步旋轉的轉動坐標系。分析中設定所有構件沿逆時針旋轉方向為正方向，輪齒的相互壓縮方向為變形的正方向，圖2、圖3給出了簡單行星排1、2和復合行星排3各構件的正向旋轉方向及相互嚙合關系。圖2中，kipjsi為簡單行星排i中第j個行星輪與其太陽輪si間的嚙合剛度，kipjri為簡單行星排i中第j個行星輪與其齒圈ri間的輪齒嚙合剛度，(i=1,2；j=1,2,3,4)；圖3中，k3pjsi為復合行星排3第j個內圈行星輪與其太陽輪s3間的嚙合剛度，k3pjri為復合行星輪3第j個內圈行星輪與其齒圈r3間的嚙合剛度，k4pjri為復合行星排3第j個外圈行星輪與其齒圈r4間的嚙合剛度，k3pj4pj為復合行星排3第j個內圈行星輪與第j個外圈行星輪間的嚙合剛度，(j=1,2,3)。

運用拉格朗日方程建立系統扭轉振動微分方程，方程中含有27個旋轉方向自由度，由于各檔位離合器的結合方式不同使得不同檔位下的運動構件不同，每一檔位的運動微分方程需要單獨列寫。為了文章精簡此處僅給出通用方程式。

L=T-U

(1)

(2)

式中：T為行星變速傳動系統動能；U為行星變速傳動系統扭轉彈性勢能；L為拉格朗日泛函。

由拉格朗日方程得到系統矩陣形式的無阻尼扭轉振動微分方程：

(3)

根據系統各構件自由振動響應函數q=θiejwit，由式(3)得到計算系統固有頻率和振型的特征方程

(4)

式中：ωi為系統第i階固有頻率，Θi為系統第i階固有頻率對應振型，J為系統慣性矩陣，K為系統剛度矩陣。

根據式(4)可以計算得到行星變速傳動系統各檔位的固有頻率。表1為行星變速傳動系統參數，其中齒輪平均嚙合剛度值通過文獻[11]計算得出；當離合器將兩個構件結合時，其轉動慣量進行相加處理。表2為行星變速傳動系統8個檔位固有頻率，由式(22)可知系統的工作轉速范圍為26.67～81.67 Hz，因此只需對系統前5階固有頻率進行分析研究即可。

表1 行星變速傳動系統參數

表2 行星變速傳動系統各檔位前5階固有頻率

2 固有頻率對參數相對靈敏度

在計算傳動系統固有特性對參數靈敏度時通常是采用式(4)直接對參數求偏導，以獲得參數改變一絕對數值后固有特性改變量[12-13]，稱為絕對靈敏度。這種方式得到的靈敏度值不能直接進行不同參數間靈敏度大小的比較，當參數間存在數量級差別時，利用靈敏度進行動力學修改時需要進行無量綱化處理以減小計算誤差[14]。為此，本文用式(4)對參數的變化率求偏導來避免前面兩個問題，稱為相對靈敏度。為了簡便，后面提到的靈敏度都是指相對靈敏度。

由式(4)對參數變化率xm求導，得

(5)

(6)

根據特征方程中無重根部分矩陣正交條件：

(7)

由式(6)、式(7)可得系統固有頻率對構件參數變化率靈敏度計算公式

(8)

系統參數變化率為xm=Δx/x，x為系統參數值，那么式(8)最終可化為

(9)

由式(9)可以得到固有頻率對轉動慣量變化率的靈敏度

(10)

固有頻率對剛度變化率的靈敏度

(11)

3 基于遺傳算法的多檔位參數優化修改模型

通過固有頻率對參數的靈敏度計算可以知道各參數對每一階固有頻率影響的大小，但是當多個參數都對固有頻率有影響時就很難獲得一個最優的調整結果，因此需要采取優化算法來幫助獲得一個最優解。遺傳算法根據適者生存、優勝劣汰等自然進化規則搜索和計算問題的解，相比于線性規劃等傳統優化算法，遺傳算法不容易陷入局部最優，可以更好地獲得最優解。

當知道固有頻率的調整量，以及通過式(10)、式(11)獲得固有頻率對各參數的靈敏度后可以確定遺傳優化算法的等式約束條件[15]：

[S]{Δp}={ΔN}

(12)

式中：ΔN為系統需要調整的n個固有頻率調整向量， {ΔN}=[ΔN1,ΔN2,ΔN3,…,ΔNn]T；Δp為q個需要調整的參數調整率向量， {Δp}=[Δp1,Δp2,Δp3,…,Δpq]T； [S]為需要調整的n個固有頻率對需要調整的q個參數的靈敏度， 為n×q階Jacobi矩陣

(13)

一般實際應用中，需要調整的固有頻率數少于需要調整的參數數目，即n

minf(Δp)={Δp}T{Δp}

(14)

(15)

式中：Ulow、Uhigh分別為參數調整的下界和上界。

調整后的參數為：

(16)

式(14)～(16)的參數優化調整方法只能運用于小幅度的調整，當需要調整的固有頻率和參數較大時需要采取多步調整。如果直接采用式(14)作為優化函數，Δp為相對前一步調整得到的參數改變率，最后調整完成后得到的相對最初參數調整率平方和不一定最小。為了使相對初始參數調整率平方和最小，第i步參數調整的目標優化函數變為式(17)所示

(17)

式中：Pi-1為第i-1步調整后得到的參數向量；P0為系統初始參數向量；Δpi為第i步優化調整得到的參數相對第i-1步調整后得到的參數改變率向量。

那么約束方程中第i步調整時參數的最大改變率應該變為式(18)所示

(18)

將式(18)進行移項化簡處理后有

(19)

綜合式(14)～(19)得到優化算法的每一步優化調整的最優函數和約束條件為

(20)

優化調整后得到系統的最終參數為

(21)

4 優化仿真分析

4.1 系統固有頻率對參數靈敏度計算

該行星變速傳動系統由V型8缸柴油發動機驅動，工作轉速為800 ～2 450 r/min，其輸出扭矩的主諧次激勵為2諧次(第4諧次)。通過發動機固有頻率和轉速間轉化式(22)可以得出系統固有頻率位于26.67～81.67 Hz范圍內時將會有扭轉共振發生。

(22)

式中：N為系統固有頻率(Hz)；v為諧次；n為發動機轉速(r/min)。

再根據表2中計算得到的系統各檔位固有頻率，可以知道發動機主諧次激勵與各檔位固有頻率關系如圖4所示，第1、4、7檔的第4階固有頻率(橫線)與發動機工作轉速激勵(斜線)存在交點(如圖4(a)所示)，在系統工作中會產生共振，而其它檔位不會產生共振(如圖4(b)所示)。為了使系統所用檔位在發動機工作轉速范圍內都不會發生共振，需要調整參數使第1、4、7檔第4階固有頻率增大使其固有頻率分布如圖5所示，同時其余各檔的固有頻率分布保持圖4(b)所示的關系。

針對存在共振的第1、4、7檔第4階固有頻率，根據式(10)，(11)計算得到行星變速傳動系統扭轉振動固有頻率對轉動慣量參數的靈敏度(圖6)和對剛度參數的靈敏度(圖7)。從圖6可以看出，轉動慣量5(JH2)對第1、4、7檔固有頻率都有很大的影響，轉動慣量1(J1)只對第4檔固有頻率有較大影響，轉動慣量11(Jr2)對第4、7檔固有頻率有較大影響而對第1檔固有頻率幾乎沒有影響，轉動慣量參數16(Js3)對三個檔位固有頻率都有較大影響且大小相近。從圖7可以看出，系統固有頻率對不同剛度參數的靈敏度值差別較對不同轉動慣量參數的靈敏度更小，但不同檔位間的固有頻率對剛度參數的靈敏度差別較大。第4檔固有頻率對剛度參數1(k1)的靈敏度明顯大于其它兩個檔位，第4、7檔固有頻率對除剛度參數1(k1)外的靈敏度值區別較小，而第1檔與其它兩檔有較大的區別。系統同一構件的剛度和轉動慣量是存在相互影響的，但是在實際設計中可以通過改變構件的結構分別獲得滿足要求的剛度值和轉動慣量值，因此在研究中認為這兩個參數是相互獨立的。

圖4 系統各檔位固有頻率-發動機激勵關系Fig.4 The relation of natural frequencies of system and engine excitation

圖5 系統期望固有頻率-發動機激勵關系Fig.5 The relation of natural frequencies of system and engine excitation of expectation

圖6 系統固有頻率對轉動慣量靈敏度Fig.6 The sensitivity of natural frequencies to rotational inertias

圖7 系統固有頻率對剛度靈敏度Fig.7 The sensitivity of natural frequencies to stiffnesses

4.2 參數優化修改

由式(22)得到的發動機主諧次扭轉振動激勵在工作轉速范圍內對應的最高頻率為81.67 Hz，那么可設定調整的目標固有頻率大于等于82 Hz。系統三個需要調整檔位取相同的調整量，再根據表2中三個檔位的第4階固有頻率設定固有頻率目標調整量ΔN=28 Hz。由于固有頻率調整量較大，需采用多步參數優化以獲得更為精確的調整目標，每步調整量為nHz。表3為設定參數最大可調整范圍為±100%，固有頻率取不同調整步長時，分別以式(14)為優化函數的單步最優和以式(17)為優化函數的相對初始參數最優進行優化計算，得到的不同優化結果。參數優化修改的結果好壞通過式(23)所示參數調整率平方和p′與式(24)所示三個檔位固有頻率調整誤差的平方和N′來體現，p′和N′的值越小說明優化的結果越好。

(23)

(24)

表3 取不同調整步長得到的參數改變量和頻率調整誤差

圖8 系統優化前后轉動慣量變化率Fig.8 The change ratio of the rotational inertia after optimization

圖9 系統優化前后剛度變化率Fig.9 The change ratio of the stiffness after optimization

從表3可以看出，不管是采用單步最優還是采用相對初始參數最優，固有頻率誤差都隨步長減小而逐漸減小。但是當步長取0.1時兩種優化方式得到的固有頻率誤差都比步長取0.2時更大，這是由于步長取得過小后計算的累積誤差開始大于精度提高后獲得的靈敏度誤差減小量。采取單步最優時步長對參數改變量影響較小，p′大約都為2.9左右。而采取相對初始參數最優時，參數改變量隨步長減小而逐漸減小，同時在任意步長下采取相對初始參數最優得到的參數改變量都遠小于采取單步最優獲得的參數改變量，同時固有頻率調整誤差也更小，說明采用相對初始參數最優可以獲得相比采用單步最優更好的參數優化修改結果。

根據表3中的結果，以固有頻率調整步長取0.2 Hz時得到的參數優化修改結果作為最終優化修改參數。圖8、9分別為行星變速傳動系統參數優化修改后轉動慣量參數和剛度參數變化率。

從圖8中可以看出轉動慣量1(J1)、5(JH2)、11(Jr2)的變化率比較大，其中轉動慣量11(Jr2)減小了近70%，轉動慣量1(J1)和轉動慣量5(JH2)分別減小了約50%和60%。從圖9中可以看出，剛度7(k7)、12(k2pjs2)減小了20%，剛度11(k2pjr2)減小了17%，剛度1(k1)、10(k1pjs1)增大了約25%，剛度9(k1pjr1)增大了20%。總體來說剛度參數相對于轉動慣量參數來說調整幅度更小，同時剛度參數調整更加均勻。對比圖8和圖9，除剛度9(k1pjr1)和轉動慣量7(Jr1)的變化涉及到同一構件r1外，其它各參數都只受到不同的構件影響，即參數的調整不會出現相互矛盾的情況。可以直接通過改變構件厚度或增輪緣厚度和輻板厚度的方式來改變構件的轉動慣量和齒輪嚙合剛度，通過改變軸段半徑的方式來軸段剛度，這樣可以不用改變傳動系統的結構和傳動比，以實現較小的改變即可達到參數修改的目的。剛度9(k1pjr1)和轉動慣量7(Jr1)調整量都不大，減小行星齒輪和齒圈的輪緣厚度的同時增大其輻板厚度，或將齒圈用質量更輕強度更高的材料代替可獲得同時滿足調整要求的參數值。

從圖6、7中系統扭振固有頻率對轉動慣量和剛度的靈敏度計算結果以及相關文獻[4,6]的研究都可以得出：行星傳動系統扭振固有頻率對轉動慣量的靈敏度都≤0，對剛度的靈敏度都≥0，即要使系統固有頻率增大需要減小構件的轉動慣量或者增大構件剛度。當對某一確定系統或行星變速傳動系統某一個檔位進行動力學修改時可以根據這一原則進行參數調節。但從系統優化前后參數變化率(圖8、9)可以看出，當設定所有檔位的調整目標都是增大其固有頻率時，卻出現某些構件的轉動慣量增大以及剛度減小的情況。因為僅根據靈敏度正負值進行參數調節時可能會出現其中某一檔固有頻率滿足目標調整量而另外某檔固有頻率調節量過大，為了使所有檔位同時滿足目標調整量就需要對參數進行反向調節。因此對多檔位行星傳動系統進行基于固有頻率對參數靈敏計算的動力學參數修改時，僅依靠計算得到的固有頻率對各類參數靈敏度值(或者固有頻率隨參數改變的變化規律)就很難得到滿足要求的參數值。

表4 行星變速器優化后各檔位前5階固有頻率

表4為行星變速器優化后各檔位前5階固有頻率，由表4可以看出，對參數進行動力學優化修改后的行星變速傳動系統各檔位固有頻率都不再位于發動機工作轉速范圍內，即所有檔位固有頻率都小于26.67 Hz或大于81.67 Hz。對比表2中參數優化修改前行星變速傳動系統各檔位固有頻率，系統8個檔位的前3階固有頻率變化都不大，這保證了系統不會在發動機低轉速激勵下出現扭轉共振。除第1、4、7檔的第4階固有頻率有較大幅度的增大外，第5、8檔有20 Hz左右的增大，但這種增大是設計中所期望的，其它檔位僅有微小的變化。

圖10 固有頻率相對不確定量(5%)Fig.10 Relativity uncertainty of natural frequencies(5%)

因系統構件制造、裝配誤差等會引起參數不確定導致固有頻率變化。從表4可以看出，系統參數優化后第1、4、7檔第4階固有頻率離系統最高工作轉速81.67 Hz較近，因此需要對這三個檔位第4階固有頻率因參數波動引起的固有頻率穩定性問題進行研究。為避免因固有頻率波動致使系統再次出現共振的最大允許波動量為1.5%。根據文獻[16]中求解區間特征值問題的非迭代方法求得系統一個參數波動范圍為5%，而其它參數沒有波動時固有頻率的相對不確定量，如圖10所示。圖10(a)、(b)分別為轉動慣量和剛度參數波動引起的系統第1、4、7檔第4階固有頻率相對不確定量，圖中Rlow和Rup分別表示相對不確定量的下界和上界。從圖10中可以看出，轉動慣量波動引起的固有頻率相對不確定量較小，最大值由J5(JH2)引起，僅為1.2%，不會導致系統出現共振；剛度參數引起的固有頻率相對不確定量較大，由k14(k3pjs3)引起的相對不確定量已達5%，會導致系統出現共振。當k14(k3pjs3)波動量低于1.5%時可使系統固有頻率相對不確定量低于1.5%，以確保不會發生扭轉共振，圖11為剛度波動1.5%時引起的固有頻率相對不確定量。

圖11 固有頻率相對不確定量(1.5%)Fig.11 Relativity uncertainty of natural frequencies(1.5%)

圖12、13分別為行星變速傳動系統參數優化前、后發動機主諧次激勵下系統第1、4、7檔位各構件扭轉振動響應幅值隨發動機轉速的變化圖。從圖12中可以看出，參數優化前第1、4、7檔有明顯的共振峰值，其中第4檔振動最大值超過了1.5°，第4、7檔最大幅值也超過0.5°。比對圖13中參數優化后的響應結果，三個檔位在發動機工作轉速內都沒有出現共振峰值，第1檔最大扭振幅值小于0.2°，第7檔最大扭振幅值為0.25°。扭振幅值最大值出現在第4檔的最高轉速處，但在實際使用中第4檔為中間檔位，驅動轉速一般不會到達最高，實際工作中參數優化后第4檔的扭轉振動最大幅值僅為0.2°左右。達到了避免行星變速傳動系統各檔位在發動機工作轉速范圍內不發生扭轉共振，減小系統扭轉振動響應的目的。

圖12 參數優化前系統各構件扭轉振動響應幅值Fig.12 Torsional response amplitude of elements of the system before optimization

圖13 參數優化后系統各構件扭轉振動響應幅值Fig.13 Torsional response amplitude of elements of the system after optimization

5 結 論

本文針對行星變速傳動系統多個檔位同時存在扭轉共振的問題，通過共振固有頻率對參數的相對靈敏度計算，結合基于遺傳算法的多步優化方法對系統參數進行了優化修改，最終使得行星變速傳動系統所有檔位在工作轉速范圍內都不出現共振，其主要結論如下：

(1) 采用多步參數優化修改方法時，每步都以相對初始參數變化率的平方和最小為優化目標可以獲得相比以單步參數變化率的平方和最小為優化目標更好的優化結果，而選取過小的固有頻率調整步長反而會使得最終的優化結果變差。

(2) 行星變速傳動系統不同檔位固有頻率對同一參數靈敏度不同，不同檔位固有頻率對剛度參數的靈敏度較對轉動慣量的靈敏度差別更大。

(3) 單個檔位固有頻率對構件轉動慣量靈敏度為負，對軸段扭轉剛度和齒輪嚙合剛度靈敏度為正，但對多個檔位進行參數優化修改時，僅通過某個參數靈敏度值來修改參數的調節方式不再有效。

(4) 根據參數優化目標對多檔位行星變速系統參數進行優化修改，優化后系統所有檔位在工作轉速范圍內都不會發生扭轉共振，系統構件扭轉振動響應幅值明顯減小。

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