三角恒等變換的解析技巧

章新喬

（江西省南昌市新建區教師進修學校 江西南昌 330100）

三角恒等變換對發展學生的運算能力和推理能力起著重要的作用，在歷年高考及自主招生試題中屢見不鮮，解答三角恒等變換問題，有助于學生體會運算求解能力，推理再探索，發現數學結論和建立數學體系中作用的思路。

一、角的變形，角之間的關系產生聯想

題1：已知：sin（3π/4+α）=5/13，cos（π/4-β）=3/5，0＜α＜π/4＜β＜3π/4，求cos（α+β）的值。

解析：∵0＜α＜π/4＜β＜3π/4， ∴3π/4＜3π/4+α＜π， -π/2＜π/4-β＜0

∴ cos（3π/4+α）=-12/13；sin（π/4-β）=-4/5

∴ cos（α+β）=sin[π/2+（）]=sin[（3π/4+α）- （π/4-β）]

=sin（3π/4+α）cos（π/4-β）-cos（3π/4+α）sin（π/4-β）

=…=-33/65

二、函數名稱的變換，化異為同

題2：√3tan10°+4sin10°的值為________ 。

解析：原式=（√3sin10°+4sin10°cos10°）/ cos10°

=（√3sin10°+2 sin20°）/cos10°

=[√3sin（30°-20°）+2 sin20°]/cos10°

=（√3sin30°cos20°-√3cos30°sin20°+2sin20°）/ cos10°

=（√3/2cos20°+1/2sin20°）/ cos10°=sin（60°+20°）/cos10°

=…=1

三、靈活應用公式，“1”的代換

在三角函數運算、求值、證明中，有時需要將常數轉化為三角函數值，常數“1”的代換變形有1=sin^2 α+cos^2 α，化簡三角函數式時若遇到1±sinα 的形式，則sinα需利用二倍角公式，可化為只含α/2的完全平方三角函數的形式，開方運算時，要注意符號問題。

題3：化簡：√（1+sinθ）-√（1-sinθ）， θ∈（0，π）

解析：原式=√[sin（θ/2）+cos（θ/2）]^2-√[sin（θ/2）-cos（θ/2）]^2

=︳sin（θ/2）+cos （θ/2）︳-︳sin（θ/2）-cos （θ/2）︳

當θ/2∈（0，π/4]時，cosθ/2≥sinθ/2＞0，

∴原式=sin（θ/2）+cos（θ/2）- cos（θ/2）+ sin（θ/2）=2sin（θ/2）

當θ/2∈（π/4，π/2）時，sin（θ/2）＞cos（θ/2）＞0，

∴原式=sin（θ/2）+cos（θ/2）- sin （θ/2）+ cos（θ/2）=2cos（θ/2）

四、降冪與升冪

降冪是三角變換常用方法，對次數高的三角函數式，采用降冪處理方式，如：sin^ 2 α=1/2 （1-cos2α），cos^2 α=1/2（1+cos2α），降冪之后，通常可以應用和、差角的公式，但降冪也并非絕對，有時也要升冪，“逆用”具有升冪功能，特別適用于帶有根式的三角函數式化簡等。

題4：化簡：sin^3 αsin3α+cos^3 αcos3α

解析：原式= sin^2 αsinαsin3α+cos^2 αcosαcos3α

=（1-cos2α）/2·sinαsin3α+（1+cos2α）/2·cosαcos3α

=1/2 （sinαsin3α+ cosαcos3α）+1/2 cos2α（cosα cos3αsinα sin3α）

=1/2 cos（3α-α）+1/2 cos2αcos（3α+α）=1/2 cos2α+1/2 cos2αcos4α

=1/2 cos2α（1+cos4α）=1/2 cos2α·2cos^2（2α）=cos^3（2α）

五、抓住整體，轉換結構

三角函數式問題，可根據其自身特點，相應地構設與其相“匹配”的另一整體，然后由其“相依而伴”的關系進行求解。

題5：已知tanα，tanβ是方程x^2-8x-3=0的兩根，試求sin^2（α+β）

-3sin（α+β）cos（α+β）+2的值。

解析：∵tanα+tanβ=8， tanα·tanβ=-3

∴tan（α+β）=（ tanα+tanβ）/[1- tanα·tanβ]=…=-2

∴sin^2（α+β）-3sin（α+β）cos（α+β）+2

= {sin^2（α+β）-3 sin（α+β）cos（α+β）+2[sin^2（α+β）+ cos^2（α+β）]}/ [sin^2（α+β）+ cos^2（α+β）]

=[3tan^2（α+β）-3tan（α+β）+2]/[tan^2（α+β）+1]=…=8/5

六、探究開放，提高能力

題6：是否存在整數κ和銳角α，使得能夠將3sin^2x+√3sinxcosx+4cos^2 x+κ-1/2寫成sin（2x+α）的形式？若存在，求出它們的值；若不存在，請說明理由。

解析：3sin^2x+√3sinxcosx+4cos^2 x+κ-1/2

=3·（1-cos2x）/2 +√3/2 sin2x +4·（1+cos2x）/2 +κ-1/2

=3+√3/2 sin2x+1/2 cos2x +κ=sin（2x+π/6）+ κ+3

∴寫成sin（2x+α），則κ+3=0，α=π/6 +2nπ， （n∈Z）

∴存在整數κ=-3，銳角α=π/6使之成為sin（2x+α）的形式。