初中數學教學中反例的運用

熊俊偉

（江西省宜春市經都學校 江西宜春 336000）

引言

在平時的教學中，我們經常會遇到一些使我們感到困惑的問題。此時，我們需要發揮人腦思維的作用。如果我們不能從正面求出，為什么不試著從反面求出呢?反例教學可以引發學生的思維，使學生愿意去思索。[1]

一、在概念教學中反例的運用

初中數學教學應該通過運用反例來解釋基本知識，使學生能夠區分容易產生的混沌和錯誤，從而更加牢固。[2]

案例一：（1）在人教版七年級上冊第一章第二節“數軸、相反數與絕對值” 的教學中，數軸的概念為規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸?？梢粤信e以下反例來加深學生對數軸概念的理解。

如下所示，下列所表示的都不是數軸。

由以上反例知，數軸的三要素為：原點、正方向和單位長度。數軸是直線，而不是射線或線段。

（2）在人教版七年級下冊無理數的教學中，無理數的概念為無限不循環小數叫做無理數。例如，等都是無理數，π=3.14159265···學生常會錯誤理解為：無限小數或帶根號的數都是無理數。

下面舉出反例：

3.14不是無理數，無限循環小數是有理數；

（3）在人教版八年級上冊第十五章第三節“分式方程”的教學中，分式方程的概念：分母中含有未知數的方程叫做分式方程。

下列方程不是分式方程：

（4）在人教版七年級下冊“平行線”的教學中，平行線概念的錯誤理解：在同一平面內不相交的線是平行線。

下列不是平行線：

（正確的理解是在同一平面內不相交的直線是平行線。）

二、在平面幾何證明中反例的運用

在教學過程中，可以使用一些證明問題來檢驗邏輯是不是嚴格，并通過反例來否定不正確的證據，以便人們可以不斷摸索和發掘正確的方法和結論。

案例二：人教版八年級下冊的教學中，平行四邊形的條件：證若四邊形一組對邊及一組對角相等，則是平行四邊形。

圖1

證明：如圖1，設四邊形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠DCB。

作DE⊥AB，BF⊥DC，則Rt△ADE ≌ Rt△CBF（斜邊一銳角相等）

∴DE=EF（對應邊），Rt△DEB ≌ Rt△BFD（斜邊一股相等）

∴EF=DF，∴AB=DC（∵AE=FC）

∴ABCD是平行四邊形

圖2

分析：若四邊形一組對邊及一組對角相等，這四邊形不一定是平行四邊形。其實自四邊形一頂點作對邊的垂線，垂足可能是在對邊的延長線上。如圖 2，AD=BC，∠BAD=∠DCB，但自 B 作DC 的垂線，雖然仍可證得 AE=FC，EB=FD，但AB=AE + EB，DC=FC－FD，并不相等。原證沒有考慮這種情形，所以結論是錯誤的。

由上可以看出，反例對于證明的作用是相當重要的。

三、用反例否定錯誤推理

案例三：例1 判斷下列推理的正誤：

（錯誤，在b≠0時才成立，b=0時，0沒有倒數。）

（錯誤，當 a 是負數時，不等式兩邊同除以一個負數不等號方向會改變。）

例2要證明“兩個無理數的積仍是無理數”這一命題是否為真命題時，為無理數，則此命題為真。

面對這樣的問題，我們應嘗試著舉出反例，若為有理數，此命題為假命題。像這樣，我們可以通過給出一個反例驗證真假。

四、反例的運用應注意的問題

1.反例的舉例要有意義

毫無目的的反例就沒有意義可言。針對課本的教學內容，針對性地提出反例，合理地進行教學設計。針對問題的難易程度，有計劃地運用重點和難點。

2.運用反例的時間

什么時候使用反例，使用的基礎是什么，這就是老師在使用反例前需要考慮的事情。在教學過程中運用反例是為了達到畫龍點睛的效果。因此，教師應認識到反例的使用只是一種輔助的手段，而不是一種唯一的手段。

3.運用反例時要師生互動

教師的輔助功能主要反映在指導方面上，有效的指導有助于學生獨立學習知識。對于反例的應用，有很多優點，可以從另一個角度來檢驗數學知識是否正確。然而，只有學生聽的反例教學，并不符合培養學生自主學習能力的初志。因此，教師應該在輔助學生之后給他們上課，以便他們可以提出自己的反例。

4.運用反例時避免分散注意力

在反例和正例同時出現的情況下，應避免反例分散學生的注意力。如果稍不注意，學生重點記憶反知識，導致學生認為正確的知識是錯誤的，進而使大腦記下反例，很難糾正。因此，在反例教學中，教師應避免分散學生的注意力。

結語

反例教學在課堂上起著一定的引導和調節作用，它還可以培養學生思維的嚴謹性和綜合性。此外，教師應認識到反例的使用只是一種輔助的手段，而不是一種唯一的手段。