基于數學核心素養下的課堂教學研究
——以“雙曲線及其標準方程”為例

吳禮琴

（安慶市第一中學，安徽 安慶）

一、教學分析

1.教材分析

本節課是北師大版選修2-1教材“雙曲線及其標準方程”第一課時，在學生學習完“直線和圓”以及“橢圓及其標準方程”的基礎上對數學解析法的又一次實際運用，同時也是進一步研究雙曲線幾何性質的基礎；從數學方法上講，也為進一步研究曲線與方程提供了基本模式和理論基礎。

2.教學目標

通過生活中用拉鏈畫雙曲線的實驗，引導學生用自己的語言敘述雙曲線的定義，會用定義判定點的軌跡，提升學生的直觀想象與數學抽象素養；類比推導橢圓的方程的方法，引導學生選擇適當的直角坐標系推導雙曲線的方程，提升學生的數學推理與運算素養；會用雙曲線定義和標準方程解決相關問題，提升學生的數學數據分析與數學建模素養；通過在動手探究、合作交流中自主學習，體會數形結合、分類討論等思想方法。

3.教學重難點

教學重點：如何引導學生自主探究獲得雙曲線定義及其標準方程。

教學難點：怎樣利用定義推導與化簡雙曲線的標準方程。

4.教學基本流程

探究引入→概念生成→方程推導→鞏固深化→課堂梳理→布置作業

二、設計與思考

1.探究引入

情境1：

問題1：老師在批改一道求橢圓標準方程題的時候，發現有學生寫出方程=1，這是橢圓方程嗎？這個方程表示什么曲線呢？通過幾何畫板作圖，引出雙曲線這個課題。

情境2：

嘗試實驗，探究概念。帶學生拿出事先準備好的自制教具：木板、拉鏈、圖釘、鉛筆，一起合作按要求畫雙曲線，同時配合用多媒體演示畫雙曲線。

設計意圖：以活動為載體，讓學生在“做中學”數學，通過畫雙曲線，經歷知識的形成過程，積累感性經驗。同時，我力求改變單一、被動的學習方式，讓學生成為學習的主人，給他們提供一個自主探索學習的機會，讓他們通過觀察、討論，概括出雙曲線的定義，這樣既獲得了知識，又培養了學生抽象思維的能力。

2.概念生成

問題3：曲線上的點有什么特點？

問題4：請同學們根據雙曲線的特點歸納雙曲線的定義。

學生歸納，與書本上定義相比較找出不足，再推出雙曲線定義。

設計意圖：通過幾何畫板展示使得內容直觀明了，有助于理解。引導學生恰當處理預設與生成的關系，通過反饋調節機制，及時評價，激勵學生的學習熱情。

3.方程推導

引導學生思考以下兩個問題：（1）求圓方程的一般步驟是什么？（2）圓心在原點與不在原點的圓的方程哪個形式更簡單？為什么？

提問：我們大家已經學過了橢圓及其標準方程了，那么大家知道怎樣在雙曲線上建立直角坐標系，才能使雙曲線方程更簡單？

通過前面解析幾何內容的回憶，引導學生思考、相互交流，從而選定下列建立坐標系的方案，推導雙曲線方程。

（1）以經過雙曲線兩焦點的直線為x軸，以兩個焦點連線的中點為原點，建立直角坐標系；（2）設出動點的坐標，再寫出動點滿足的集合；（3）把動點條件坐標化；（4）化簡得到方程

設計意圖：類比推導橢圓標準方程的過程，掌握雙曲線方程推導方法。通過雙曲線的兩種方程，進行對比反思，讓學生利用對稱性進行猜想，培養學生的類比思維能力，不僅使學生加深對雙曲線定義和標準方程的理解，有助于教學目標的實現，而且提高了學生的數學抽象、直觀想象及數學建模的核心數學素養，為后邊知識的學習打下基礎。

設計意圖：學生小組討論，個別學生回答，比較不同的結果。思考這三種情況，培養學生的數學抽象、數學推理的核心素養。

4.鞏固深化

例.已知雙曲線的兩個焦點坐標分別是F（1-5，0），F（25，0），雙曲線上的點到兩個焦點距離之差的絕對值是6，求雙曲線的標準方程（.題后反思：求標準方程要做到先定型，后定量）

設計意圖：數學概念是要在運用中得以鞏固的，通過該例題使學生進一步理解雙曲線的定義，掌握標準方程，使知識內化為素養，并在解題過程中感受“數形結合思想”。

5.課堂梳理

小結：一個概念；兩種圖像與方程；三種思想方法：類比法，數形結合，坐標法。

設計意圖：由師生共同完成課堂小結，引導學生積極發言，通過填寫表格對本節內容進行反思、歸納、總結，從而達到深化知識理解、構建知識網絡、領悟思想方法的目的。

6.布置作業

基礎題：課本80頁，1，2（要求：書寫具體解題過程）

拓展題：課本 83 頁，A2，3

設計意圖：設計了基礎題與拓展題，因材施教，這樣既面向總體又照顧學生差異，滿足不同學生發展的需要。

三、教學反思

我參加了2017年安徽省高中數學優質課比賽，課題是《雙曲線及其標準方程》，上課的對象是宿城一中高二年級的學生，上完這節課后，我進行了反思，結合本節課的具體內容，我確定了啟發探究式教學方法，尤其在引入上，我采用了從學生作業中出現的實際問題出發，通過幾何畫板驗證，直接引出課題，這種探究式引入符合學生的認知規律，也是數學研究的基本方法。教學程序上：我設置了一系列問題串來引領學生探究和思考，設計的問題都在學生的最近發展區，有開放度，有思維量，能激發學生的學習積極性。

不足的是，原本在拉鏈生成雙曲線畫圖試驗時，想讓學生動手實際操作，但是實際上要準確地畫出圖形，而且時間短的情況下完成是非常困難的。所以上課之前還是果斷放棄，利用了多媒體來取代了實踐操作。