例談高中數學排列組合解題中的對稱思想

宮雞明

（江蘇省常州市金壇第一中學，江蘇 常州）

現實生活中許多事物都具有某些對稱性，對稱給人們以和諧、平衡的美感。數學來源于生活，許多數學問題中涉及的對象都具有對稱性，不僅包括數的對稱、圖形的對稱等。對稱不僅是一個數學概念，更是一種思想方法。

本文結合具體實例，和大家一起探討高中數學排列組合問題中怎樣發現或挖掘問題中的對稱特征，怎樣利用對稱思想使解題方法簡潔明快，以達到拓展學生的解題思路，培養學生的思維能力。

例1：將4個相同的紅球和4個相同的黑球排成一排，然后從左至右依次給它們賦以編號l，2，…，8.則紅球的編號之和小于黑球編號之和的排法有_______種。

解析：注意到4個相同的紅球沒有區別，4個相同的黑球也沒有區別，先求出任意排放的排法=70，而其中會出現紅球的編號之和與黑球編號之和相等的情況。所有編碼之和（1+2+3+4+5+6+7+8）等于36，則紅球的編號之和與黑球編號之和都等于18。

根據對稱性（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），在 1、2、3、4 中選擇2個數為紅球編號有=6種，則在5、6、7、8中紅球的編號也就確定。

如：1 2 3 4 5 6 7 8

A B A B B A B A若 A 在 1、2、3、4 中選擇了 1、3，則利用對稱性，在 5、6、7、8中只能選擇8、6與之對應；

除了上述情形外，利用對稱性紅球的編號之和等于黑球編號之和還包括（1、4、6、7）與（2、3、5、8）；

因為紅球的編號之和小于黑球編號之和的排法和大于的排法一樣，則紅球的編號之和小于黑球編號之和的排法有=31種。

【點評】研究本題根據數列排序的特征，要保證兩組數之和始終都等于18，只需左右編號選擇對稱即可，且大于與小于的情況各占一半。解題時我們必須探究問題的深層次結構及其解法的深層次原理，讓方法得到思維策略層面的升華。

變式1：將三個相同的紅球和三個相同的黑球排成一排，然后從左至右依次給它們賦以編號1，2，…，6.則紅球的編號之和小于黑球編號之和的排法有多少種？

例2：回文數是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數。如 22，121，3 443，94 249 等.顯然 2 位回文數有 9 個：11，22，33，…，99.3位回文數有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.（*）則：（1）4位回文數有___個；（2）2n+1（n∈N*）位回文數有___個.（**）

解析：（1）4位回文數的特點為中間兩位相同，千位和個位數字相同但不能為零，第一步，選千位和個位數字，共有9種選法；第二步，選中間兩位數字，有10種選法；故4位回文數有9×10=90個，故答案為90；

（2）第一步，選左邊第一個數字，有9種選法；

第二步，分別選左邊第 2、3、4、…、n、n+1 個數字，共有 10×10×10×…×10=10n 種選法，故 2n+1（n∈N*）位回文數有 9×10n個，故答案為 9×10n。

【點評】一題兩問，以“回文數”為新背景，考查計數原理，觀察它的構成特點，左右對稱，利用對稱思想解決，將新信息轉化為所學的數學知識來解決。

例 3：由數字 0、1、2、3、4、5 組成沒有重復的六位數，其中個位數小于十位數的有幾個？（用對稱思想怎么解？）

解析:在上述的6位數的集合A中，把個位和十位交換，就能得到一個6位數，這個6位數還是在A中，且任意A中兩個6位數，進行上面的操作后，得到的6位數仍然兩兩不同，于是可以知道個位數小于十位數的6位數和個位數大于十位數的6位數個數是一樣的，都等于=300個。

【點評】把個位和十位交換，得到的6位數仍然兩兩不同，利用對稱思想確定兩者的個數一樣。類似A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊有多少種不同的排法。其中B站在A的左邊與B站在A的右邊是等可能的對稱的，則其兩種情況A在前與B在前情況數目也是相等的。

綜上例題解析，當出現了等可能性情況時我們考慮對稱法，不只是兩個元素，當出現多個元素時也適用。我們發現在排列與組合教學中啟發學生用對稱思想思考數學問題，帶領學生探究問題的深層次結構及其解法的深層次原理，讓方法得到思維策略層面的升華，對增強學生解決數學問題的能力、啟迪心智大有裨益。