關于幾以內包括幾還是不包括幾的學習思考

董 薈 朱 林

（1.曲靖市陸良縣馬街鎮中心學校 云南曲靖 655600；2.云南師范大學呈貢校區數學學院 云南昆明 650500）

問題的提出

很多老師都有這樣疑問，多少以內包括多少還是不包括多少，我也不例外。昨天我們鎮數學教師交流群中又有教師提出“10以內的數包括10嗎？”就像網上說的很多的“20以內的數包括不包括20？”一樣，看了同仁們的一些討論，我也不能坐視不理了，所以這樣的問題很值得我們思索一番。

帶著這些問題，我在網上仔細篩選，細細品味大家對這些問題的看法，查閱了一些資料，細細翻看了教材。現在綜合一下學習后的一些理解，以供我們學習，權當做拋磚引玉吧。

觀點分歧：

觀點一：根據字面理解“某數以內”應該不包括某數，既然都說了以內，就應該從它的下面一個看起。

觀點二：應該包涵這個數在內，因為教材在編排當中有“某數以內”都是包含了某數，例如如20以內的加減法，就包含了有關20的加減法，又如萬以內數的認識，就認識了萬，如果不包括的話是不是可以理解成萬以內數的認識只能認識到9999這個自然數，20以內的加減法最多能加到19呢？

兩種觀點中認可“包括某數的”居多，但都只是根據習慣而已，沒有相對權威的依據。我們到底是認可“字面理解”不包括“某數”，還是跟著教材的設計走包括“某數”呢？如果包括“某數”那教材設計的依據又在哪里呢？兩種理解之間是否有矛盾呢？或者二者在不同場合都可以用呢？

在網上看了好多的見解，早在2007年，龍泉教育網教育論壇對此問題就進行過激烈的討論，我們的鄭大明老師就早已為大家指明了方向。后來發現王明仁教授對這個問題做過深入的研究，并且王教授還為寧夏高級法院對“以下、以上”作過專題講座。

細看關于王明仁教授的一些研究后發現，原來我們的“字面理解”本來就是錯誤的理解，教材的認識是對的，看來20以內確實包含20。現將他的一些觀點整理如下：

從一個案例說起：

案例：8票“不屬三分之二以上”？職稱硬是沒評上。

王明仁教授講述了這樣一段至今讓他難以忘懷的往事。1994年，某大學評定教授職稱，有12位評委參加投票。一位老師得了8票后，評委會負責人卻認為這位老師未獲得文件規定的三分之二以上票數，不能算通過。這位老師不服地說，三分之二以上應該包括8票在內。這位老師為此查閱了許多資料，找來了相關依據。當他滿心歡喜地向負責人出示依據，說明三分之二包括8票時，卻迎面遭到一瓢冷水：“那些依據管不著我們！”于是，這位老師的教授職稱泡湯了。這件事深深地觸動著身為中文系教授的王明仁。一種油然而生的責任感，使他決意要將“以上”、“以下”在法律法規和政府規章以及有關文件、教材、報刊中的正確用法，搞個水落石出。

尋根問底找依據：

為了從根子上尋找“病因”，退休后的王明仁教授不斷出入學校的圖書館、資料室，抱回《尚書》、《左傳》、《國語》、《戰國策》等大量古籍以及近現代文獻和當代法律法規、報刊、文件、課本等。他發現，從有文獻可查的上古漢語開始，“以上”、“以下”的表義和用法都是非常明確、始終一貫的。即：它在表達范圍時，從來就包括范圍的起點和止點在內，也就是包括“本數”、“本級”在內。

都是亂用惹的禍：

從20世紀二三十年代開始，“以上”、“以下”的用法出現混亂，到了20世紀七八十年代，混亂用法愈演愈烈，其表現形式也多種多樣。

漢語“以上”和“以下”兩個語言形式，除了單獨使用表示指代以外，主要是同名詞性成分N組成N以上和N以下結構，表達范圍、概數和方位。表達范圍，就是表示一系列的事物或者數量，就是從N往上和從N往下的意思。法律法規中的“以上”和“以下”，一般都是表達范圍的。這種用法，范圍的起點和止點N本來就包括在范圍之內。

改革開放以來，隨著經濟和法制建設的不斷發展，各種法律法規和政府規章層出不窮，“以上”和“以下”的使用也越來越頻繁。有人自己不明確，又擔心別人不理解，于是濫加括注說明。你想“包含”，他想“不包含”；一會兒“包含”，一會兒“不包含”，表義隨意安排，進而造成人為的使用混亂。

“以上”和“以下”都是由兩個詞組成的。“以”在這里是介詞或連詞，“上”和“下”同“上樓”、“下樓”的“上”、“下”一樣，都是趨向動詞。所以，古人常把它們替換成其他相應的動詞，如“上”和“往”相替換，“下”和“降”相替換，說明“上”和“下”同“往”和“降”一樣，都是趨向動詞。N以上和N以下結構表義的關鍵就在這里。也就是說，N以上就是自N推而上之，N以下就是自N推而下之。換句話說，就是從N往上數，從N往下數。推和數的起點就是N，所以N是包括在內的。弄清了這一點，就可以正確理解和使用“以上”、“以下”在法律法規中的用法了。

特級教師胡光銻也對“20以內的數包括不包括20？”做過回復。他說：我翻閱了過去的統編教材和現用教材，一般的教材中，10以內數的認識也包括10，萬以內數的認識也認識10000，現行教材為1～10各數的認識，11～20各數的認識就更明確了。不過一說10以內數的認識，大家約定俗成都知道要認識10。

看到這個地方，你對幾以內包括幾還是不包括幾應該有自己的認識和判斷了吧？希望同仁們不要放過一細小的問題，慢慢的養成尋根問底的好習慣，這樣我們就能在不斷的爭鳴中進步。