高等數學教學滲透數學文化的實踐與創新

董海茵，孫 萍

（1.新疆農業職業技術學院，新疆 昌吉 831100；2.烏魯木齊職業大學 基礎教育部，新疆 烏魯木齊 830002）

隨著高等職業教育的不斷發展，人們對高等職業教育有了更多更深入的認識，而作為職業院校肩負的“培養高端技能型人才”培養目標，不僅僅指培養高技能型人才，同時也包含培養高素質人才。高等數學課程是高等職業院校理工類專業開設的一門專業基礎課程，通過該課程的學習，能使學生掌握高等數學基本理論和運算方法，培養數學思維能力，也為學生后續專業課程的學習儲備基礎知識。但在課程實際教學中，教師往往從數學專業角度出發，注重數學知識的邏輯性與系統性，講授中強調定理的證明、公式的推導和習題的演練，忽略了數學知識本身在產生和發展歷程中所包含的文化內涵。在數學文化觀念下，數學教育不單單是學會數學的基本知識點及其基本運算，而且要學會分析和研究問題的方式、方法，它對于提高學生的文化修養和綜合素質起著重要作用［1］。因此，在高等數學教學中有效的將數學文化知識與教學內容融為一體，有利于培養和提高學生學習興趣，同時有助于學生對數學概念、定理的理解與認識的深化，使學生在接受數學知識能力訓練的同時，獲得人文科學方面的修養，提高學生的人文素質［2］。

現有研究，主要討論高等數學教學中融入數學文化的意義與必要性，或是研究數學文化融入教學的策略與教學模式，而針對高等數學實際教學內容融入數學文化的教學設計案例的研究非常有限。基于上述原因，筆者從數學文化視角出發，對高等數學課程教學展開探索與實踐，收集整合資料，設計數學文化與數學知識有機融合的教學案例，使教學研究有的放矢，增強教學的實效性。

一、教學設計原則

1.在教學內容上，立足高職學生的學情，選取專業學習需要的數學知識和生產生活中涉及的數學問題，培養學生將數學知識專業化和專業知識數學化相互貫通的能力。

2.在教學形式上，區別于傳統的以講授數學理論知識為主要目的的數學課，融入數學文化知識，著眼于以講授數學思想、方法、精神為主，以提高學生的數學素養和運用數學的思維模式、技巧和策略分析、解決在專業領域中或生活中遇到的實際問題為目的。

3.在教學手段上，合理運用信息技術，創設可視化的數學教學情境，借助圖片、動態圖像和視頻，使數學歷史人物以及抽象的數學概念、原理、公式等變得形象、具體、生動，讓思維過程可視化。

二、教學設計案例

（一）極限的概念

高等數學課程首先從講授極限的概念開始，數學討論的問題也從有限進入無限，從靜態進入動態。因此，可進行如下教學設計：

情境設計：三國時期的劉徽割圓術提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣”，這些很樸素的事實均體現了極限的思想。同時，借助信息技術，展示圓分割的動態過程。數學文化的融入使學生了解了中國數學史和中國數學文化。

引入新課：引入“芝諾悖論”——“阿基里斯追龜”和“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”的典故，領會、理解極限的思想，由此講授自變量趨于一點時極限的概念。

數學文化：芝諾說，“阿基里斯追龜，永遠也追不上。”這就是著名的“芝諾悖論”，“追龜說”雖然違背了生活常識，但當時的古希臘人卻無法證明“追龜說”錯在何處，這就成為希臘數學史上有名的難題，直到17世紀微積分學產生，這個問題才算基本解決［3］。

將問題轉化為數學問題，距離轉化為數列100，10，1，0.1，……，數列最終項會無限接近于0。這就蘊含了極限的思想。

課后反思：什么是悖論？有哪些悖論？

在概念理解中融入數學文化，通過有趣的故事激發學生的認知沖突，可激發學生學習興趣和熱情，進而加深學生對概念的理解和認識，奠定高等數學基本的思想觀點，逐步引導學生從初等數學知識向高等數學知識過渡。而數學家發現問題、創新方法、創造思想并解決問題的介紹有助于加深學生對數學的理解。

（二）無窮小

無窮小是個抽象的概念，學生難于理解，如何形象具體的刻畫概念是教學難點，教學中可進行如下教學設計：

課前查閱資料：第二次數學危機，了解無窮小、無窮大的概念。

新課講授：檢查學生課前預習情況，總結以求極限的變化過程來闡明無窮小，以此讓學生了解數學知識發展的歷程，再由例題使學生明確無窮小與極限的關系及無窮小性質在求極限時的應用。

數學文化：向學生介紹第二次數學危機產生的原因，“貝克萊悖論”的提出引發了第二次數學危機的產生［4］。

在學生自主學習課外知識的過程中，使學生了解科學家為數學研究和發展不斷研究奮斗的精神，增強學生的數學認同感，感悟前人的數學思想。課內教師總結提升，調動課堂教學的活躍氣氛，有利于學生掌握數學知識發展規律，引導學生進行科學思考，提高學生的數學素養。

（三）隱函數的導數

該內容為公式講授，內容抽象枯燥，考慮從學生認知水平出發，用形象、生動、直觀的方法，將難點進行轉化、分解，借助特殊曲線方程和數學文化，再到實際應用，從另一個角度對問題進行剖析，使學生更容易接受和掌握知識，以達到理想的教學效果。教學設計如下：

復習導入：復習已學知識——復合函數求導；給出一類特殊函數，考慮如何計算導數。

情境設計：顯函數與隱函數的區分及定義。通過幾個方程，讓學生從形式上理解顯函數和隱函數的不同，進而給出定義。

構建新知：隱函數的求導方法。

方法應用：笛卡爾葉形線對應的曲線方程求導。笛卡兒葉形線是一個代數曲線，首先由笛卡兒在1638年提出，笛卡兒葉形線的隱式方程為：

x3+y3-3axy=0

數學文化：介紹解析幾何之父——笛卡爾的生平，勒內·笛卡爾是著名的法國哲學家、科學家和數學家［5］。

給學生介紹數學家勤奮鉆研的精神、求實嚴謹的作風，數學家的生平和貢獻，有助于學生感受數學文化，逐漸培養學生的探索精神、拼搏精神及嚴謹認真的學習態度，使他們在知識和文化的熏陶中不斷提升數學素養。

（四）平面圖形的面積計算——極坐標情形

該教學內容是定積分的應用，對學生來說是從理論到實踐的思維轉變過程，枯燥的理論，難于理解的公式，給學生造成一定的困擾。融入數學文化，可作如下教學設計：

情景設計：播放廣告視頻——百歲山礦泉水廣告，在欣賞廣告片唯美意境的同時，引導學生弄清楚廣告的創意，即這則廣告源于數學家笛卡爾和瑞典公主克莉絲汀的愛情故事。介紹其隱喻的數學歷史故事，引出“極坐標發現”的歷史。（數學歷史故事可在網絡中查找）

新課講解：介紹極坐標系概念，結合PPT中的動態圖像介紹極坐標系的建立；介紹極坐標方程定義，以數學歷史故事中提到的心形線為例，說明極坐標方程的表示形式，并以動態圖像演示心形線的形成過程（設疑：心形線圍成的面積是多少？）。講授極坐標系下的平面圖形面積，結合PPT中的動態圖像給出曲邊扇形的定義，并給出極坐標系中的扇形面積計算公式:

實際案例：用圖片形式給出生活和專業中涉及的案例，引導學生思考如何計算圖片中的建筑物、島嶼等面積？

方法應用：將案例轉化為數學問題，分析講解如何計算心形線圍成的面積。

該教學設計通過廣告視頻引出其隱喻的數學歷史故事，使學生了解極坐標系和極坐標方程的產生和表示形式，結合教學內容，通過分析生活和專業涉及的實際問題，講授極坐標系中的扇形面積的計算方法。在唯美的傳說故事中，揭示數學發展歷程，讓學生領悟數學魅力，洞察數學真諦，在數學文化所營造的數學氛圍里，培養學習興趣。

（五）定積分應用——平面曲線的弧長

該教學內容是定積分的應用，可突破傳統教學方式，避免抽象的公式推導，直接給出弧長計算公式，作如下教學設計：

公式給出：直觀給出平面曲線弧長的計算公式。

情景設計：演示圖片。如高架電纜、鎖鏈、雙曲拱橋——懸鏈線等。

數學文化：懸鏈線的發現。懸鏈線是一種曲線，因其與兩端固定的繩子在均勻引力作用下下垂相似而得名。

問題的起源——達·芬奇《抱銀貂的女人》畫作中，女子脖頸上懸掛的黑色珍珠項鏈形成的曲線應該是怎樣的？這就是著名的懸鏈線問題，達·芬奇去世時還沒有找到答案。

發展——懸鏈線是不是拋物線？

解決問題——雅各布·伯努利、伽利略都曾試圖解決這一問題。最終，雅各布·伯努利的弟弟約翰·伯努利得到正確答案［6］。

實際應用：擺線（旋輪線）在擺鐘和建筑物中的應用。可進行圖片演示，動態模擬旋輪線的形成，使學生形象理解曲線的性質和實踐應用。

思維拓展：查閱阿基米德螺線的性質和實際應用。

通過圖片、動畫模擬、數學歷史資料，使學生在學習弧長公式的同時，了解所求曲線的特殊性質和相關的實踐應用，開拓學生數學視野，逐步認識數學的科學價值和應用價值，在學習中體驗這些曲線蘊含的數學文化，形成崇尚數學的理性精神，激發學生學習興趣；同時，領略科學家嚴謹認真和鍥而不舍的科學精神。

隨著時代的發展，結合現代化教學手段和豐富的教學資源，數學教學也不斷地發生著變化。數學教育不僅傳遞知識，也起到培養學生數學素養和人文素養的作用。數學教師需要不斷學習和更新觀念，設計創新出適合學生實際情況的教學案例，將課堂的教學內容與相關數學文化有機結合起來，使數學文化有效滲透教學中，從而不斷提高人才培養的質量。