“函數概念”教學之我見

楊淑霞

（寧夏育才學校勤行校區，寧夏 銀川）

首先讓學生回憶初中是如何給函數下定義的？這個問題上課前一天就留給學生，學生提前查閱了初中課本，所以很快給出了定義，并板書在黑板上：

在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說y是x的函數，其中x叫做自變量。

初中生對函數概念理解的焦點在前部分，是一種動態的理解：必須有兩個變量，其中一個隨另一個在發生變化，從而使他們忽略了對定義后半句的理解和重視。而這恰恰又是高中階段函數概念的核心，所以函數概念的教學必須幫助學生實現從動態到靜態理解的轉化。

隨之便設計了一個具有實際背景的函數模型，并提出問題：

一輛汽車從銀川出發，以每小時80公里的速度駛往320公里之遙的固原，請問：

1.在整個行駛過程中，汽車行駛的路程s是不是時間t的函數？

這個問題對學生來說，是比較容易回答的：是，并且函數關系式為s=80t，時間t是自變量，路程s是因變量。

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2.如果把汽車在整個行駛過程中的時間t的取值構成的集合記作A，路程s的取值構成的集合記作B.你能寫出集合A和B嗎？

學生會很快給出答案 A={t|0≤t≤4}，B={s|0≤s≤320}.

3.在整個行駛過程中，汽車行駛的時間t是不是路程s的函數？

學生在初中函數知識和高一第一章節集合知識的支持下，對以上問題的回答都是水到渠成，所以趁熱打鐵，提出了第4個問題：

4.在整個行駛過程中，汽車行駛的速度v是不是時間t的函數呢？

這個問題一提出來，全班學生異口同聲地回答：不是，理由很簡單：時間t是變量，但速度v不是變量，是一常量，這完全違背了初中函數概念“在一個變化過程中有兩個變量x和y”的描述。

這個時候矛盾產生了，如何解決？告訴學生：這就要求我們對初中函數概念加以完善。如果這個時候直接給出高中函數的概念，學生覺得很突然，難以接受。在教學中又作了以下嘗試：

（1）汽車在整個行駛過程中，行駛的路程s是時間t的函數關系，這個關系能不能理解為是非空數集A={t|0≤t≤4}到B={s|0≤s≤320}的一種特殊的對應？這種特殊對應則表現為：對于集合A中的任何一個時間t，在集合B中都有唯一的路程和它對應。給學生充足的時間去思考，學生最終的回答是：可以這樣理解，并且和初中的定義不矛盾，本質上是一致的。

（2）有了對問題1的詮釋，學生自然給出了：汽車在整個行駛過程中，汽車行駛的時間t是路程s的函數可以理解為：非空數集A={s|0≤s≤320}到B={t|0≤t≤4}的一種特殊對應：即對集合A中任意一個路程s，在集合B中都有唯一一個時間t和它對應，并且實現對應關系的橋梁是式子

乘勝追擊，提出問題（3）：汽車在整個行駛過程中，時間t取值集合A={t|0≤t≤4}，速度v取值構成的集合B={80},對于A中的任何一個時間t，在集合B中是不是都有唯一的速度80和它對應呢？學生回答是。路程和時間（或時間和路程）的這種特殊關系我們稱之為函數關系，那速度和時間的特殊對應關系就不能成為函數關系呢？此時學生便理直氣壯地回答：完全可以，并且函數關系式可以表示為：v=80（t∈［0，4］）。這時，老師有義務告訴學生：這個函數稱之為常函數，一般表示式為y=a（其中a為常數，x∈R），其圖象是與x軸平行或重合的一條直線。

通過以上循序漸進地引導，完全可以讓學生嘗試給出高中函數概念：

一般的，設A，B是非空數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數。記作：y=f（x），x∈A．

其中x叫自變量，集合A是函數的定義域，與x相對應的y值叫做函數值，函數值的集合C={f（x）|x∈A}叫做函數的值域，且C?B。

有了函數的概念，再回過頭讓學生對課本中三個引例作出判斷：

①炮彈距離地面的高度h是時間t的函數，理由是：對非空數集A={t|0≤t≤26}中任意一個時間t，在集合B中都有唯一的高度h和它對應，并且實現這一對應的法則f是式子h=130t-5t2。

②南極上空臭氧層空洞的面積S是時間t的函數，理由是：對非空數集A={t|1979≤t≤2001}中的任意一個時間t，在集合B中都有唯一的面積S和它對應，且實現這一對應的法則是圖象。

③從1991年到2001年間我國城鎮居民恩格爾系數y是時間t的函數，理由是：對非空數集A={t∈N|1991≤t≤2001}中的任意一個時間 t，在集合 B={53.8，52.9，50.1，49.9，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9，39.2，37.9}中都有唯一的 y和它對應，實現這一對應的法則是表格。

以上三例中，實現從非空數集A到B的特殊對應的法則不同，使得函數的表示有三種方法——解析法、圖象法和列表法，從而為下節課“函數的表示法”奠定了基礎。

學生對函數的概念徹底理解了，但新的問題又產生了。學生對函數概念中“值域是集合B的子集”理解又有了困難。針對這一困難，又作了以下嘗試：

問題1中，汽車行駛的路程是時間的函數，且其定義域A={t|0≤t≤4}，值域 C={s|0≤s≤320},如果把集合 C 改為 B={s|0≤s≤400}，從集合A到集合B的這種對應還是不是函數？學生回答是。那此時函數的值域C和集合B又是什么關系呢？這樣處理，學生就很輕松地明白了定義中的補充“值域是集合B的子集。”

高中數學的特點之一——高度的抽象性，所以學生在理解上有一定的困難。如何讓學生能輕松自如地理解每一個數學概念和每一個數學公式，這就需要我們老師認真研究教材，研究學生，盡可能地用淺顯易懂的方法去講授抽象的數學知識。相信通過我們老師的不懈努力，會讓學生喜歡上數學，并且學好數學。

作者簡介：楊淑霞（1970—）女，寧夏育才學校高級教師，主要從事高中數學教材教法研究。