分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探討

嚴(yán)建平

（福建省龍巖市第二中學(xué)，福建 龍巖）

一、分類討論思想概述

（一）簡述分類討論思想

分類討論思想就是將較難的題目分為幾種情況，最終把每一種情況的結(jié)果匯總，得出一個(gè)結(jié)論。在解高中數(shù)學(xué)題時(shí)，我們通常會遇到這類情形，解答到一定程度，由于概念、含義不同，便沒有辦法進(jìn)行統(tǒng)一解答，此時(shí)就需要分類討論。可以將分類討論思想理解為將一道數(shù)學(xué)題分為幾個(gè)領(lǐng)域，分別在每個(gè)區(qū)域解答后再匯總，這樣可以將問題化為較簡單的題目。另外，在分類解題時(shí)，需要參照分類標(biāo)準(zhǔn)，通過比較數(shù)學(xué)對象，找出他們的異同點(diǎn)，結(jié)合相同點(diǎn)和不同點(diǎn)進(jìn)行分類。

（二）分類討論的原則

1.同一性原則

同一性原則強(qiáng)調(diào)在進(jìn)行分類時(shí)必須采用統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn)，不能這一步按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，到下一步再選擇一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，導(dǎo)致解題的混亂。比如，在對角進(jìn)行分類時(shí)，按終邊所在位置不同劃分，可分為象限角和軸線角；按旋轉(zhuǎn)方向不同劃分，可分為正角、負(fù)角和零角。若選擇不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，會得到不同的答案。因此，在解題過程中，必須遵循同一性的原則，按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。

2.互斥性原則

在分類時(shí)，要保證分類的各個(gè)子集之間相互排斥，沒有交集，即分類后，某一元素不能既屬于這一種情況，又屬于另一種情況，這樣將不利于解題。例如，把平面幾何中的三角形分為普通三角形、等腰三角形、等邊三角形就違背了分類的互斥性原則，因?yàn)榈冗吶切问翘厥獾牡妊切巍?/p>

3.層次性原則

有時(shí)在解答一道數(shù)學(xué)題時(shí)，在第一次分類之后仍不能順利解決，此時(shí)，就需要在第一次分類的基礎(chǔ)上進(jìn)行第二次分類，當(dāng)遇到的問題較簡單時(shí)，可能一次分類便能解決，一旦遇到復(fù)雜問題，有時(shí)甚至需要進(jìn)行多次分類，直至問題解決。例如，在解決方程（a-2）x2+3x-9=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)問題時(shí)，可以按照以下方式進(jìn)行：

①當(dāng)a-2=0時(shí)，方程為一元一次方程，其實(shí)數(shù)根為x=3

②當(dāng)a-2≠0，方程為一元二次方程，于是

二、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

（一）在函數(shù)解題中的應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，在解題過程中，方法也具有多樣性，而分類討論思想最為常用。函數(shù)中參數(shù)值對函數(shù)因變量的影響較大，一旦參數(shù)值變化，函數(shù)的結(jié)果也必然會變化。因此，對函數(shù)參數(shù)值的討論就顯得尤為重要。比如當(dāng)k取何值時(shí)，函數(shù)y=（k+3）+4x-5（x≠0）是一次函數(shù)。我們可以根據(jù)參數(shù)值的變化分為以下三種情況：（1）當(dāng)k+3=0時(shí)，該函數(shù)y=4x-5為一次函數(shù)。（2）當(dāng) k+3≠0時(shí)，函數(shù) y=4x-2+k為一次函數(shù)。（3）當(dāng) k=0時(shí)，函數(shù)y=4x-2為一次函數(shù)。通過這樣的討論，可以使學(xué)生對問題深入分析，保證解題的準(zhǔn)確性。

（二）在概率解題中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中，概率的相關(guān)知識在高考中占有重要的地位，將分類思想運(yùn)用在此類問題中，可以簡化問題，起到事半功倍的效果，不僅可以節(jié)省時(shí)間，也可以提高解題效率。這部分知識在高考中也是必考的知識之一，解題過程中，可以從問題本身出發(fā)，結(jié)合具體要求對問題分類，最終獲得問題的答案。一方面，先確定問題屬于哪種概率類型，結(jié)合已知條件將每個(gè)數(shù)編號。另一方面，對研究對象中變量的可能性進(jìn)行假設(shè)，選擇合理的方式解題。

（三）在數(shù)列解題中的應(yīng)用

分類思想在數(shù)列中有很多應(yīng)用，比如數(shù)列周期性問題、等比數(shù)列求和問題等方面。在形如“設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和Sn＞0（n=1，2，3，…），求 q 的取值范圍”這類問題中，學(xué)生通常利用分類討論思想。在解題過程中，需要將q的取值分為兩種情況，分別為q=1和q≠1，經(jīng)過深入研究，不難得到q的取值范圍。

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)中，分類是學(xué)生必須掌握的一類思想方法，且符合教學(xué)規(guī)律。在數(shù)學(xué)課堂上學(xué)習(xí)相關(guān)的思想方法，可以增加師生之間互動(dòng)的機(jī)會，培養(yǎng)師生間的感情，發(fā)展學(xué)生的思維能力，也有利于學(xué)生的成長。本文通過對分類討論進(jìn)行探討，取得了一些成果，但是傳統(tǒng)的教學(xué)模式以及學(xué)生的探究能力差等現(xiàn)象，會對分類討論教學(xué)思想方法產(chǎn)生影響。在今后的教學(xué)實(shí)踐中，教師仍需努力全面研究分類討論的思想，從而突破學(xué)生數(shù)量多、學(xué)習(xí)效果不明顯等問題，經(jīng)過后期的進(jìn)一步深入研究，使分類討論思想更好地為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提供方便。