促進數學概念理解的方法論析

□張俊金

小學生對一些基本概念的理解是混亂的。歸其原因是教師在幫助學生建構概念時，往往只是拂面而過，并沒有深入淺出地挖掘。學生對概念只知其表不知其內的現象，常常因缺乏對概念內涵與本質的理解，容易形成新舊知識間的負遷移。比如學生在接觸圖形面積的相關知識后，容易將平面圖形的周長和面積概念混淆。因此，如何避免概念間混淆與促進概念建構與理解，值得我們思考與研究。

一、選擇素材，形成正確表象

在數學學習的過程中，影響學生學習的一個重要變量是新舊知識間的可辨析度。比如，在 “什么是周長”一課中，學生能夠從教材所提供的情境圖中看到周長與面積這兩種素材，但學生關注更多的是樹葉和著色的平面圖形的面，這樣就不利于學生對周長的初步感知與抽象化理解。因此，在教學過程中，教師應優化教材素材，借素材引導學生在頭腦中形成正確表象，從而加深對概念的正確理解。

例如，在 “什么是周長”一課中，筆者從一條跑道入手。

師：你會從跑道的哪跑到哪？怎么跑？

生1：從起點沿著跑道跑到終點。

師：現在老師把跑道變一變，請同學們仔細觀察，想一想什么變了？

生2：線慢慢地變成一個圈了，起點和終點也重合在一起了。

師：這時起點就是終點。如果現在讓你沿著這個圓跑一圈，你會怎么跑呢？

師：大家都有想法了吧！我們來看看，丁丁是怎樣跑的，和你想的一樣嗎？

生3：不一樣。

師：哪里不一樣呢？

生3：丁丁跑到里面去了，應該沿著這條邊線跑。

生4：我還發現，丁丁沒有跑到終點。

生5：丁丁沒有跑回起點，因為終點就是起點。

師：真了不起，同學們給丁丁提了這么多的意見。誰能完整地說說，丁丁怎樣跑才算是一圈呢？

生6：丁丁要從起點開始，沿著邊線跑，再回到起點。

師：是呀，從起點出發，沿著邊線，最后再回來這個起點，這樣才叫一圈。同學們，像這樣的一圈，在數學上我們把它叫作一周。

在課中，筆者將教材中素材——樹葉變為線。通過改變素材，利用素材，將一條長長的線圍成一個圓，讓學生充分地感受線段圍成封閉圖形的變化過程，從而促使學生的認知從線到面，從一維到二維的空間跳躍。重點突出邊線的重要信息，初步感知封閉圖形的一周，在變與不變中建構一周，初步感受周長。筆者通過有效地選擇與改變素材，強化平面圖形周長的本質屬，盡量淡化了面積的干擾，給學生以視覺上的沖擊，幫助學生在頭腦中留下周長的表象——封閉圖形邊線長度的總和。

二、豐富感知，凸顯本質屬性

很多時候，教師蜻蜓點水式的教學方式導致學生出現 “不知其所以然”的現象。教師對學生已有的感性認識缺乏恰到好處的回顧與梳理，造成感性認識不能很好地與抽象、規律進行對接并出現斷裂的現象。因此，教師在課堂上要預留一部分時間，讓學生在學習活動中領悟數學的本質與真相。

例如，在 “什么是周長”一課中，筆者通過讓學生親身經歷思考、探索、測量、交流圖形一周長度的過程，讓學生在從視覺沖突與對比分析中，將周長從面上分離出來，讓學生見其本質屬性。

師：同學們，請你估一估這兩個圖形，誰的一周更長一些？

（學生估一估并獨立地做出判斷）

師：是不是這樣呢？你有辦法量一量嗎？請同學們拿出學具袋，自選工具，測量圓形與三角形一周的長度，并把測量的結果記錄下來。誰來說一說，你是怎么測量圓形一周的長度？

生7：我是用繩子來測量的。先用繩子繞圓形一周，做好記號后拉直，再用直尺量，測量的結果是55厘米。

師：“化曲為直”確實是好辦法。有和他不一樣的方法嗎？

生8：我是用軟尺量的，因為軟尺能彎曲，可以直接量，最后得到的長度也是55厘米。

師：有道理。同學們，這55厘米就是圓形一周的長度，也就是圓形的周長。誰來說說三角形一周的長度怎樣量？

生9：我是用直尺量的，我量了三角形的三條邊分別是18厘米、19厘米、22厘米，再把三條邊的長度相加。先把18+22相加這樣湊成整十，再用40加19等于59厘米。

師：真棒！以后再遇到比較復雜的運算時，我們可以盡量把繁雜的變成簡單的，盡量做到化繁為簡。看來三角形的周長大于圓形的周長。現在你們能說說什么是圖形的周長嗎？

生10：圖形一周的長度就是它的周長。

師：我們不僅要知道一周在哪里，還得知道這一周有多長，這一周的長度才是圖形的周長。

隨后，教師在與學生合作交流中，將三角形的紅邊揭下，拉直成一條線段，說：“周長是封閉圖形一周的長度，黑板上三角形的周長就是老師手上這條線段的長度。”利用線繩將封閉圖形的周長轉變成了線段的長度，學生能更好地理解 “封閉圖形的周長其實就是長度”，凸顯周長的本質屬性，讓學生的思維再次發生沖突。教師通過三次活動，促使封閉圖形周長的本質特征顯露于學生眼前，讓學生在線面分離的過程理解周長的概念屬性。

三、變式對比，系統內化概念

學生對其本質特征與非本質特征是否熟練地掌握是判斷學生對概念是否理解的標準之一。通常情況下，教師可以運用變式讓概念的本質顯露出來，再通過對比的方式讓概念系統化，從而促使概念的種子在思維深處生根發芽。

例如，“什么是周長”一課中，教師將三角形與圓形的一周貼一圈紅邊，形成視覺沖突，“線”與“面”形成強烈的對比，完成了表象上的對比與分析；學生在實踐操作中測量兩個圖形的周長，對 “線”與“面”進行分離并測量，完成實踐上的對比與分析；教師在與學生合作交流中，將三角形的紅邊揭下，粘貼在黑板上連成線，說道：“周長是封閉圖形一周的長度，就是長長的一條線的長度。”讓學生的思維再次發生沖突，促使 “線”與 “面”的分離，完成思維上的對比與分析。從而使周長概念在學生的頭腦形成的表象越來越清晰。

又如，教師呈現三個由相同的小正方形組成的不規則圖形。讓學生猜一猜周長最長與最短的封閉圖形分別是哪個。在這里部分學生會受到面的影響，認為面越大的圖形，周長就會比較大；然后，讓學生在這樣的思維定勢與視覺沖突下，去描出各個圖形的周長，并數一數每個圖形的周長各是多少厘米。這時學生就會發現：怎么跟自己想的不一樣呢？從而產生疑問：怎么圖形越大，它的周長怎么就越小了呢？最后，通過討論得出：圖形大的周長不一定大，反之圖形小的周長也不一定小的結論。教師通過變式對比的練習，讓學生自主地總結出——一個圖形的周長與它的大小無關，而是應看圖形一周的長度。

通過數一數活動，不僅可以讓學生進一步認識周長，更為重要的是引導學生對 “面”與 “周長”的認為更為深刻，把二者很好地區分開來，不會因為面的大小影響對周長的認識與判斷，初步否定面大周長一定大的直觀經驗，為面積的學習做鋪墊。

總之，為了避免學生在概念之間存在混淆的現象，為了避免學生對概念后的過程、思想與方法渾然不知，只記住一些結論性的東西。在教學中教師應從正面強化概念表象，追求概念本質，對比概念內涵，發展學生思維，提升數學能力，提高學生的數學素養。