例談指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)

□李紅梅

教育部于2014年發(fā)布了 《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》，明確要求 “研究制定學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標準”。[1]2016年9月13日，教育部成立的一個由北京師范大學(xué)牽頭的研究小組公布了研究結(jié)果，將學(xué)生核心素養(yǎng)定義為 “學(xué)生應(yīng)具備的，能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”。[2]數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)是描述一個人經(jīng)過數(shù)學(xué)教育后應(yīng)當具有的數(shù)學(xué)特質(zhì)，大體上可歸結(jié)為：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達世界。[3]因此，指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)科教育的要求，培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的需要。本文針對指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)進行探究。

一、指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)

1.指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)的價值。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)產(chǎn)生于具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，其內(nèi)涵又超越于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)源于數(shù)學(xué)學(xué)科，其價值又超越于數(shù)學(xué)學(xué)科。數(shù)學(xué)不應(yīng)該被想象為一種費解、難懂而又違背常識的東西。實際上，數(shù)學(xué)正是常識的精微化。[4]數(shù)學(xué)知識是以聯(lián)結(jié)的方式存在的。數(shù)學(xué)以其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)性、邏輯性、靈活性和創(chuàng)造性成為培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的有效載體。[5]從教學(xué)過程上說，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是從感知走向理解，走向思考，走向質(zhì)疑，最終走向?qū)嵺`。從內(nèi)容上說，數(shù)學(xué)教學(xué)從數(shù)學(xué)事實走向數(shù)學(xué)方法，走向數(shù)學(xué)思想，走向數(shù)學(xué)精神，最終走向數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)的基本操作思路。指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)的基本操作思路是建立數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，從數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)和學(xué)生已有的經(jīng)驗 （生活的或是數(shù)學(xué)的經(jīng)驗）出發(fā)，以啟發(fā)式講解、探究（自主或合作）的方式，完善和發(fā)展學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3.指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)實施途徑。指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)實施途徑是把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題，設(shè)計合適的數(shù)學(xué)活動，編制合適的鞏固練習(xí)題，設(shè)計合適的變式拓展題，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，通過這一系列數(shù)學(xué)活動感悟、形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在整個教學(xué)活動中注重數(shù)學(xué)知識技能化，注重數(shù)學(xué)思想方法的感悟與運用；注重啟發(fā)學(xué)生獨立思考，鼓勵與他人交流，促進學(xué)生在獨立思考與交流的相互作用下進行深度學(xué)習(xí)，從而積累數(shù)學(xué)思維和實踐經(jīng)驗，促進學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)原則

指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)總的原則是啟發(fā)性原則、過程性原則、情意性原則、活動化原則、知識技能化原則、數(shù)學(xué)化原則。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和必備品格的獲得不是靠反復(fù)訓(xùn)練得來的個別化的技巧，而是依靠舉一反三具有較強遷移性的技能，依靠數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累，依靠積極的數(shù)學(xué)情感態(tài)度的體驗，依靠正確合理的數(shù)學(xué)價值觀的引領(lǐng)。數(shù)學(xué)知識是人通過對現(xiàn)實物理世界和思維世界進行觀察、猜想、證明、批判、反駁、對話、交流，不斷地改進推理過程和結(jié)論得到的思想實驗的結(jié)果，是人對世界的一種認識，一種描述。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)需要注重知識向技能轉(zhuǎn)化。

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該遵從數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展特性和學(xué)生認知發(fā)展規(guī)律，尋找知識的發(fā)生起點和學(xué)生相應(yīng)的認知起點，通過合適的活動展現(xiàn)知識的發(fā)生過程，重視師生多邊互動，用適合學(xué)生水平的話語體系交流對話，激活學(xué)生的動力系統(tǒng)，啟發(fā)學(xué)生思考、質(zhì)疑、批判、反思，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。學(xué)生通過積極參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)過程，體會數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程，在獲得基本知識、基本技能的同時領(lǐng)會數(shù)學(xué)基本思想方法，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗包括數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，合作交流經(jīng)驗，非數(shù)學(xué)式向數(shù)學(xué)式表達的經(jīng)驗，實際問題數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗，數(shù)學(xué)問題進一步數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗；獲取數(shù)學(xué)研究對象的經(jīng)驗，研究數(shù)學(xué)對象的經(jīng)驗，拓展與重組認知結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗，欣賞、繼承與發(fā)揚數(shù)學(xué)文化的經(jīng)驗等。

三、指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計

指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的基本思路是整理出基本知識和基本技能及其所蘊含的基本思想方法，把一些具有內(nèi)在聯(lián)系的知識點關(guān)聯(lián)起來進行整體設(shè)計，基于知識的本質(zhì)與學(xué)生的認知規(guī)律，考慮如何讓學(xué)習(xí)者參與到數(shù)學(xué)活動中，啟發(fā)學(xué)生獨立思考。

1.數(shù)學(xué)教學(xué)整體設(shè)計。“影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進行教學(xué)。”[6]首先，分析學(xué)生的知識與技能水平、認知發(fā)展水平，確定本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的認知生長點。為促進學(xué)生深入思考、深度學(xué)習(xí)，需要對知識的本性有所認識。其次，需要深入研究教材，組織教學(xué)材料，把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、知識之間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)及邏輯關(guān)系，確定本節(jié)內(nèi)容的邏輯生長點。再次，數(shù)學(xué)教學(xué)需要貫徹整體設(shè)計的理念。因為數(shù)學(xué)的任何一部分內(nèi)容，幾乎都不能由一節(jié)課或一個知識點就把它的本質(zhì)表述清楚，比如函數(shù)零點存在性定理。這里的整體可以是 “單元式”也可以是 “主題式”，相對完整地體現(xiàn)知識間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和邏輯關(guān)系，體現(xiàn)學(xué)習(xí)的認知規(guī)律，構(gòu)建相對完善的認知結(jié)構(gòu)，展示數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)的研究方法，從而把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。最后，要吃透相關(guān)具體素材的實質(zhì)和精神，才能更好地將隱性層面的價值觀資源在數(shù)學(xué)活動中顯性化。

2.數(shù)學(xué)教學(xué)情境與問題設(shè)計。要創(chuàng)設(shè)合適 （蘊含數(shù)學(xué)規(guī)律）的教學(xué)情境，提出合適 （體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)）的問題。教學(xué)情境與問題的設(shè)計根基是數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，其目的是啟發(fā)學(xué)生思考。

第一，明確思考的起點。根據(jù)所學(xué)知識各部分內(nèi)容之間的邏輯順序弄清楚理解該內(nèi)容需要從什么地方“想起”，由此確定思考的起點。思考起點具有多樣性，從不同的角度思考，思考的起點不同。思考起點具有個體性，認知水平與知識水平高的學(xué)習(xí)者，思考起點可以更高一些，更抽象一些。

第二，把握好思維展開的方向和思維過程實施的基本路徑。即根據(jù)內(nèi)容的邏輯順序與認知順序，引導(dǎo)學(xué)生思維展開的方向，幫助他們確定思維過程的實施步驟，由此讓思維過程始終沿著正確的路徑展開。

函數(shù)零點存在性定理的教學(xué)，可以從函數(shù)零點的概念出發(fā)，提出函數(shù)零點的存在性問題；也可以根據(jù)函數(shù)零點與方程根的關(guān)系出發(fā)，設(shè)計求解無根式解的方程根的問題出發(fā)，提出方程根的存在問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點存在性問題，激發(fā)認知沖突；還可以設(shè)計學(xué)生熟悉的、現(xiàn)實的情境——身高、溫度的連續(xù)不斷變化，啟發(fā)學(xué)生思考蘊含在其中的函數(shù)概念、連續(xù)概念。

3.數(shù)學(xué)內(nèi)容理解設(shè)計。數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計要有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解。對函數(shù)零點存在性定理的理解可分為工具性理解，即它為二分法求方程近似解提供理論依據(jù)；關(guān)系性理解，即定理是在方程的根、函數(shù)零點概念的基礎(chǔ)上提出來的，聯(lián)系了方程、函數(shù)與不等式，與二分法求方程近似解具有前后的邏輯關(guān)系；創(chuàng)造性理解，它是求解方程根的問題引發(fā)的，根據(jù)方程與函數(shù)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點的問題，是逼近思想在方程根問題上體現(xiàn)為二分法，進而創(chuàng)造出求方程近似解的其他方法，如拋物線法等。這個過程也反映了數(shù)學(xué)認知上的階段性、漸變性和突變性。

4.數(shù)學(xué)內(nèi)容關(guān)節(jié)點設(shè)計。數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中要準確把握知識發(fā)展的關(guān)鍵點或關(guān)節(jié)點。如，函數(shù)零點存在性定理的教學(xué)設(shè)計中的關(guān)節(jié)點：（1）連續(xù)概念的感知。（2）連續(xù)概念的形象表達 （連續(xù)的函數(shù)曲線）。（3）閉區(qū)間上函數(shù)零點的探究。第一，（直觀）觀察分析有零點的函數(shù)圖像特征 （圖像是否穿過x軸），代數(shù)表達 （函數(shù)值的符號，與無零點的圖像特征作比較，歸結(jié)為區(qū)間端點函數(shù)值符號）；第二，觀察分析不同類型的有零點的圖像的共同特征，符號表達 （歸結(jié)為區(qū)間端點函數(shù)值乘積的符號）。（4）由具體到一般的抽象概括，即由溫度函數(shù)的零點問題拓展至一般函數(shù)零點問題，得出連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上存在零點的充分條件。（5）直接應(yīng)用，判斷給定區(qū)間上是否存在零點。（6）變式應(yīng)用，深入反思。引導(dǎo)思考區(qū)間端點函數(shù)值乘積大于零時可能存在也可能不存在零點，得出定理的條件是充分不必要的。尋找存在零點的區(qū)間；改變閉區(qū)間，給出一個較大區(qū)間，判斷其上零點的個數(shù)，引出問題——要求一個閉區(qū)間零點唯一，問需要再增加什么條件。