實施單元整體復習　促進數學思維生長

徐秋云

[摘? ?要]在初中數學教學過程中，復習是很重要的一環.只有做好復習工作才能真正做到溫故而知新。實施單元整體復習，可以有效地讓學生掌握本單元核心內容，驅動學生數學思維的生長.

[關鍵詞]單元整體復習;數學思維 ;初中數學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2018）35-0016-02

單元整體復習就是指以一個單元為基本單位，根據本單元的學習要求，利用各種教學策略對本單元的知識進行整合，讓學生對這一部分知識有一個更完整與深刻的認識.設計單元整體復習可以系統地對整個單元的知識進行整合，讓學生在回顧思考的過程中有新的收獲，在知識不斷發展的過程中數學思維得到鍛煉，能力得到提高.

一、注重知識的形成過程，促進思維生長

例如，北師大版九年級數學教材中的《直角三角形的邊角關系》一章涉及三角函數和直角三角形邊角之間的關系.在教材中，我們經常會看到一個圖形（由兩個直角三角形組合而成的圖形）而產生的各種數學問題，它貫穿于這一章內容的始終.在單元復習時，如何抓住這一重點，并發揮好這一重點的作用呢？對此，我做了一些復習整理.

首先，讓學生觀察最熟悉的兩個直角三角板，如圖1所示，然后思考兩個問題：（1）如果已知BC和DE的邊長，是否可以求出其他邊的長度？（2）如果已知三角形的任意一條邊長，是否可以求出其他邊的邊長？這兩個問題的設計意圖很明顯.學生對特殊的三角形和一些特殊的三角函數都有了一定的了解，所以給出三角形的一邊，就可以很容易地求出其他邊的邊長.在這里設計這些復習題目主要是為了讓學生掌握好基礎知識，為之后更深入的研究打好基礎.最后，出示相關練習題.具體如下：

（1）如圖2，在三角形ABD中，已知∠A和∠BDC的度數，BC垂直于AD，①若給出了BC的長度，試著求出其他各邊的邊長;②若知道了AB和BD的長度，求出其他邊的長度.

（2）如圖3，在三角形ABD中，已知∠A和∠BDC的度數，BC垂直于AD，這里的兩個問題和上面的例題中一樣.

在上面的題目中，學生經過初步觀察就會發現這幾個圖形都是由兩個特殊的三角形拼成的，結合所學知識和題目中所給的條件，學生就可以在特殊的三角形中求得邊長.在這種題目中可以讓學生感受到任何復雜的圖形都是由簡單的圖形拼成的，解決復雜的問題可以先把它簡單化，放在簡單的圖形中去看，這樣可以鍛煉學生的轉化思維，讓他們學會換個角度解決問題.

（3）如圖4，在三角形ABD中，若已知[∠ A]和∠ BDC的度數，假設再給出BD或AB的長度，試著求其他各邊的邊長.

這道題目是為了讓學生學會發散思維，可以在圖中添加一些輔助線從而構造直角三角形，構造完成后學生還是會發現這些圖形也是由兩個特殊的三角形拼成的，根據之前的練習和經驗，學生解決這道題也不會有什么困難.這一道題就是根據上面一道題變化而來的，而解決這類題目的關鍵就是要通過計算求出兩個直角三角形的公共邊，根據這條公共邊與兩個三角形之間的聯系來求出其他的邊長.學生在解題的過程中，從看似兩個普通的三角形中可以發現這些三角形無論怎么變換都還是可以拆成兩個特殊的三角形.經歷了這個過程，學生的思維過程可以進一步得到發展.

（4）在圖4中，若給出了AD的長度，可以求出其他邊的長度嗎？

這和上題類似，也是首先要構造直角三角形.學生雖然知道這些三角形都是由特殊的三角形組成的，但是他們也會意識到，題目中所給的條件并不能直接在所構造的三角形中得到運用，解決這類問題的第一種方法就是找到公共邊，如果公共邊也解決不了，就需要用到設未知數，通過方程來求解.在解決這類問題時，已知條件和隱含條件中都沒有直接給出任何一個直角三角形的邊長，所以就需要換個方法.在同樣的一個圖形中，當條件發生變化時，之前的方法可能不適用，就需要換一個解題思路.通過這樣的問題，可以鍛煉學生的隨機應變能力，讓他們學會一題多解，遇到問題時及時找到最合適的方法.

（5）如果已知∠ A=27°，∠BDC = 40°，AD = 2，求出三角形其他邊的邊長.

在這道題目中，三角形經過變換，把特殊的角度都變成了一般的角度，并且題目一般會提供所需的三角函數的值，最終還是通過構造直角三角形解決問題.像上面幾道題中的主題圖都是貫穿于整個單元的，分布于每一課時的內容中.在平時教學中，教師很難有時間和精力把每一幅圖都展開細細來講.在單元復習時，教師可圍繞本單元的主題圖做一些專門的設計，讓學生首先從熟悉的三角板入手，之后再對三角形進行一些特殊的變換.在不斷變化的過程中，學生需要思考如何解決各種可能出現的問題，在思考的過程中逐漸加強思維能力.隨著主題圖的發展變化，學生的思維也會逐漸開闊，從特殊問題到一般問題，解決問題的方式也更加多樣，在知識發展的過程中逐漸養成良好的思維習慣.

二、理解知識本質，促進思維發展

如《二次函數》，我們知道學習這一章的關鍵是學會看函數圖像，函數圖像是研究二次函數的性質、解決實際問題的關鍵.因此在進行單元整體復習時一定要讓學生學會看圖、畫圖，能夠從題目中找到有用的信息，不斷提升數學思維.對于這一章，我做了如下的復習總結.

我們畫函數圖像一般是采用描點法，描點法的步驟是列表、描點、連線.例如，畫y=x2的圖像.首先就要列表，當x=-3時，y=9;x=-2時，y=4;x=-1時，y=1;x=0時，y=0;x=1時，y=1;x=2時，y=4;x=3時，y=9.之后就是描點、連線.在這里就有幾個問題：（1）數學是怎么來的（2）點又是怎么來的？（3）線是怎么畫出來的？在學習二次函數的過程中，學會畫圖是最基本的，只有會畫圖、識圖才能進一步學習.學生在單元整體復習時首先就要溫習畫圖方法，在畫圖的過程中，學生又會逐漸明白二次函數其實和方程是很像的，二次函數可以看成是方程，大部分方程都是有無數個解的，而這無數個解就是函數圖像上每一個橫、縱坐標對應的點，一個數對是一個坐標，一個坐標確定一個點，而很多個點就會構成函數圖像.表格其實就是方程無數個解中的一部分，列表格就是為了找到有序的實數對，找到函數上對應的點.而這個過程就是數形結合，由數到形的過程.由二次函數到方程，到方程的解，到有序數對，再到坐標，最后到點和線.學生在這個過程中，會理解數是如何轉化成“形”的，理解這二者的實質，真正理解函數圖像的意義，從而利用圖像解決問題.在這一過程中，學生會逐漸找到思維突破口，掌握正確的思維方法.

給出一個二次函數y=ax2+bx+c的圖像，并且給出了零點，對稱軸和開口方向等.設計以下幾個問題：（1）求出方程ax2+bx+c=1的根;（2）求出不等式ax2+bx+c<-2的解集;（3）如果方程ax2+bx+c-k=0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍.問題（1）比較簡單，學生可以運用數形結合方法，并根據圖形中的信息找出函數的解析式，把函數和方程結合起來就可以找到答案.這里考查的是學生的識圖能力.將求方程的解看作是解函數圖像中已知的一個方程組的解.解方程組需要找到兩個方程的公共解，公共解就是函數圖像中的公共坐標.通過觀察，學生可以發現公共坐標，把這兩點坐標根據函數關系列出方程組，有了兩點坐標求方程組的解就是比較容易的問題了，找到了點的坐標其實也就找到了方程的根.問題（2）是解一個一元二次不等式.初中階段這方面的知識學習較少，學生解起來可能會存在很大的問題，此時就應該尋求別的方法.可以把這個不等式看成是拋物線低于某條直線的部分，通過函數圖像可以找出兩個函數的交點，從而判斷范圍.問題（3）可以把這個方程拆成一個方程組，題目中的方程有兩個不相等的根，意思就是指方程組有兩組不同的解，此時回歸到函數中，就是指兩個函數有兩個不同的交點，通過函數圖像判斷k的值，這就完成了由形到數的轉化.學生通過上面的幾個問題完成了數與形的轉化，掌握了數形結合思想.

“二次函數的圖像和解析式”是二次函數這一章節內容的核心知識，也是解決各類實際問題的基礎和關鍵，學生只有真正理解了數與形之間的本質聯系，才能更好地理解二次函數與方程之間的關系.在復習的過程中，我首先讓學生復習如何畫函數圖像，由數到形，再通過觀察圖像完成由形到數的轉化，從而讓學生真正理解“數”和“形”的本質.在理解的過程中，學生不斷學習突破，尋找新的知識生長點，學生學會透過現象看本質，思維深度也不斷加深，數學思維更加深刻.

數學是一門對學生思維能力要求較高的學科，學生的思維如果跟不上，在學習過程中就會感到很吃力.因此，在數學課堂上，教師要有目的地培養學生的思維能力.在數學復習課的過程中，我們通過設計單元整體教學，讓學生對本單元的知識進行系統整合，讓他們逐漸了解知識產生、發展的過程.在理解知識的過程中激發學生的思維，讓他們學會變式，真正理解問題的本質.只有學生在整合知識和理解知識本質的過程中不斷探索，數學復習課堂才能真正達到復習的目的，學生也才能在復習的過程中不斷提高能力.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 顧大權.設計單元整體復習 驅動數學思維生長[J].教學月刊·中學版（教學參考），2018（4）：53-56.

[2]? 章鶯.問題驅動形式下函數解析式復習教學的實踐與研究[J].學園，2015（19）：77-79.

（責任編輯 黃桂堅）