九年級數學圖形操作題教學建議

北京三帆中學 李 林

九年級的學生基本學習完平面幾何后可以按照對圖形原狀的改變程度，對圖形操作題進行分類：作圖類型、折疊類型、分割類型與剪拼類型。但是，學生還是認為其難度較大，因為它應用與設計性強，與數學推理相結合，綜合運用程度較高。

因此，在九年級的總復習中，數學教師都會按照圖形操作題的分類進行集中或者分散的教學。作者基于可實現的教學途徑，對各類圖形操作題的教學重點及教學策略進行了闡述，并結合相關教學片段進行了分析。

一、作圖類型圖形操作題的教學

解決作圖類型的圖形操作題，需要掌握一定的作圖基本能力和作圖技巧，因此在教學中要幫助學生掌握所有的基本作圖步驟，甚至包括平移、軸對稱、旋轉三種變換的作圖語言。對于作圖的原理也要清楚來龍去脈，這樣才能把握題意，知曉轉化成何種基本作圖。這是教學的重點所在。

【教學片段1】

例1 （1）在圖1的正方形ABCD內，畫出使∠APB＝90°的一個點P，并說明理由。

（2）在圖2的正方形ABCD內（含邊），畫出使∠APB＝60°的所有的點P，并說明理由。

（3）如圖3，現有一塊矩形鋼板ABCD，AB＝4，BC＝3，工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的△APB和△CP′D鋼板，且∠APB＝∠CP′D＝60°，請你在圖3中畫出符合要求的點P和P′，并求出△APB的面積（結果保留根號）。始用手中的三角板以AB為斜邊構造直角三角形。

圖 1

圖 2

圖 3

通過教師展示學生的做法，學生們發現答案不唯一，教師再次提問：這些直角有什么共同點？再次引發學生思考。這時就有學生發現利用直徑所對的圓周角是90°，以AB為直徑畫圓，則在正方形ABCD內的半圓上所有除A，B以外的點與AB組成的∠APB都是90°。

最后，教師再回歸問題（1）最簡單的做法：利用正方形的對角線互相垂直，通過連接AC，BD相交于點P，則P點即為所求。

有了對于“直徑所對的圓周角是90°”這一原理的揭示，學生對于問題（2）的解決就順暢了: 先以AB為邊在正方形內作等邊△ABP；再利用該角以AB為弦形成的圓周角為60°，做∠APB的外接圓圓O與AD，BC分別交于點E，F，則在圓O與ABCD所相交的內部弧EF上，所有點與AB組成的∠APB皆為60°。

對于問題（3），審題更顯得重要，首先要抓住“∠APB＝∠CP′D＝60°”這一條件，提醒學生可能要用到問題（2）的解決方案；其次要抓住 “面積最大”這一限制條件行引導式教學，讓學生挖掘出題目背后的基礎知識、基本技能：底邊相等時，高最大則面積最大；最后再嘗試構造“兩塊全等”的三角形。

對于作圖類型的教學，教學重點首先要對基本作圖，包括尺規作圖、圖形的變換進行總結。其次是在教學中要對學生進行啟發引導式的教學，教師根據學生已有的知識和結構，依托教師豐富的教學經驗設置問題情境，循循善誘，逐步推進。這樣，學生才能通過觀察、歸納、實驗、類比等方式，獲得數學猜想，并通過不斷地測試、修正，使猜測越來越可靠，最終通過不斷豐富的感性猜測和理性論證得到正確的結論，這才能更好地實現教師與學生的交流。

二、折疊類型圖形操作題的教學

針對問題（1）、（2），教師要引導學生對于∠ APB ＝90°，∠APB=60°展開聯想，聯系已學知識。直角三角形可以出90°，垂直可以出90°，等邊三角形可以出60°……學生在這樣的聯想中你一言我一語，積極性被調動起來，思維也活躍起來。

教師進而提出：怎么作圖得到呢？對問題（1）,學生開

首先，這類題型如果不進行實際動手操作，很難得到直觀形象上的理解。所以，教學的重點在于教學中要多設計動手操作的活動。其次，在學生形成了一些直觀印象之后，教師可以進一步進行折疊本質的投射，也就是軸對稱性質的運用。

【教學片段2】

教學準備：多張白紙、一把剪刀。

操作1 用剪刀剪一刀，剪出下面給定的兩個圖案（圖4～圖5，可以將紙片任意折疊)。

圖4

圖5

在實際生活中，剪紙活動學生都是經歷過的，因此學生愿意動手剪，更愿意動腦想。教師可以放手讓學生實際動手操作，這樣可以幫助學生建立空間想象思維，明確題目意圖。對于圖4，可以將正方形沿著過中心的豎直方向和水平方向兩次對折之后，剪掉外側所在的一角即可。而對于圖5，需要在上一次的兩次對折后再對折第三次，才可以一刀剪出。

在剪紙過程中，有些學生就開始了提問：能不能不動手剪而是畫出來啊？

操作2 要得到圖4～圖5，在不實際折疊的情況下，想象一下，該如何折疊？如何剪呢？用虛線畫出折痕，用實線畫出剪的這一刀(分別在旁邊的白紙上畫出來，如圖6～ 圖 7)。

圖6

圖7

有了動手操作后的感性認識，幾乎所有學生都畫出了折痕和剪痕。有了對空間想象能力的訓練，學生設計作圖能力增強了，進一步建立了解題信心（如圖8～圖9）。

圖8

最后教師揭示這個操作的本質：折痕是什么？怎么找到？引導學生逆向思維，找到軸對稱圖形的對稱軸。

操作3 如圖10，小紅同學用矩形紙片ABCD折出了一個“完美折疊四邊形EFGH”，“完美折疊四邊形”是指：將四邊形ABCD的四個角向內折起，恰好拼成的一個既無縫隙又不重疊的四邊形EFGH。

（1）如圖11，小明同學用正方形紙片ABCD折出了一個“完美折疊四邊形EFGH”，并且發現它是正方形。若正方形ABCD的邊長等于a，則正方形EFGH的邊長等于________。

（2）如圖12，小亮同學用菱形紙片ABCD折出了一個“完美折疊四邊形EFGH”，則四邊形EFGH的形狀是______________。

（3）如圖10，小紅同學用矩形紙片折出的 “完美折疊四邊形EFGH”中，EF=3，EH=4，則原矩形ABCD的邊AB=__________，邊 BC=_____________。

圖10

圖11

圖12

這道題的問題（1）～（2）很多學生不用考慮背景知識，直接從圖形特征就解出來了。考查出學生的空間圖感，學生積累的基本活動經驗、基本計算能力不錯。但是到了問題（3）就卡住了，這時老師帶著學生回顧剛才的解題思路，進一步追問：既然這是折疊出來的圖形，那么折疊的性質體現在哪里呢？

這時學生才冷靜下來觀察這些特殊的完美四邊形反映出的邊、角的規律，這就為一般情況的推導做好鋪墊，指明方向，一步步接近問題的本質。學生發現：

第一，折疊前的邊長構成了折疊后的對角線，E，G，F，H是邊的中點。通過教師引導看圖12，發現結論錯誤。這時，教師讓學生自己折疊一下手中的試卷然后與同學討論。經過嘗試和討論，正確結論是：原來圖形的長變成了折疊圖形的對角線，E，G是邊的中點，F，H不是。

第二，折疊后圖形的四個角都是直角。

這樣一來，有些學生通過推理，有些學生經過動手操作，對于這個“完美折疊四邊形EFGH”的邊和角有了一些深入的認識。這時教師才讓進一步證明整個完美折疊四邊形的形狀。

在這個過程中，學生證明出折疊后的圖形是矩形。進一步發現AB=2EM，BC=FH，也就是原來圖形的長變成了折疊圖形的對角線，原圖的寬變成了對角線所在直角三角形上的高的2倍。

在這個教學片段中，折疊的本質即軸對稱性質的理解是建立在教師的引導上的，如果沒有對折疊前后邊和角的探索，學生的思維就是無序的。而對于矩形的證明更是加強了對邊角關系的運用。而在對邊角關系探索的過程中，動手操作對于不同思維水平的學生都有幫助，水平低的學生可以通過操作獲得感性認識并最終得到結論，水平高的學生可以讓自己的推理得到驗證。

在折疊類型的教學中可以適當進行引導式教學，通過設計動手操作的活動，增加學生的探究興趣，提高合情推理的能力；在進行折疊本質也就是軸對稱性質的運用時需要進行推理式教學，提高學生抽象思維的能力。

三、分割類型圖形操作題的教學

分割類型的圖形操作題靈活性通常較強，學生常常無從下手，甚至做了也不敢相信自己的做法。基于這種題型的性質，在教學重點上，可側重幫助學生提高合情推理和演繹推理的能力，并適當逐步增強學生自信心。可以采用啟發引導與推理式教學一同進行。

【教學片段3】

例2 已知△ABC，∠ABC =∠ACB =63°。如圖13所示，取三邊中點，可以把△ABC分割成四個等腰三角形。請你在圖14中，用另外四種不同的方法把△ABC分割成四個等腰三角形， 并標明分割后的四個等腰三角形的底角的度數( 如果經過變換后兩個圖形重合，則視為同一種方法)。

圖13

圖14

師：這是一道很有意義的操作題，要分割成等腰三角形，就是要構造相等的邊，搜索一下你所學的知識，怎么出邊相等？

生：軸對稱性、等角對等邊、線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半、圓的半徑處處相等……

師：那是在△ABC哪條邊上開始構造呢？

生：分類討論。

接下來老師根據學生所回憶的知識引導學生步步推理并結合幾何畫板進行演示操作。

（1）根據軸對稱性以及線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等畫出圖15～圖16。

圖15

圖16

（2）根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半畫出圖17～ 圖 18。

圖17

圖18

（3）根據圓的半徑處處相等畫出圖19～圖20。

圖19

圖20

（4）最后教師補充：平行線和角平分線在一起也能造出等腰三角形（如圖21）。

圖21

在這個教學片段中，教師引導學生利用構造邊相等得到等腰三角形，幫助學生梳理了相關的基礎知識：軸對稱性、等角對等邊、線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半、平行和角平分線在一起造出等腰三角形、圓的半徑處處相等……再考慮原圖中底和腰的不同進行了分類討論。

而對于其他的情形就沒有要求學生掌握，因為它們不能緊扣學生的基本知識和基本活動經驗。

關于分割類型的教學，既要注意在知識上啟發引導學生，幫助學生回顧、整理、總結，又要讓學生能發揮想象、自己動手完成推理和探究，這樣能最大程度上調動學生積極性，保護學生的熱情和激情。

四、剪拼類型圖形操作題的教學

對于剪拼類型的圖形操作題的教學，難點在于需要對幾何基本知識的掌握和數學基本活動經驗的積累。在教學重點上，首先要牢牢抓住面積這個不變量。其次，對于它常用的原理之——勾股定理，一定要讓學生建立牢固的模型意識。在教學時，教師應該采用啟發引導和推理并行的教學，更應該關注學生模型意識和應用意識的積累和運用，適時糾正錯誤想法并驗證，提高學生合情推理的能力，加強與學生的交流。

【教學片段4】

例3 如圖22是兩個正方形，該圖剪兩刀能拼成一個正方形，請你畫出剪刀剪出的痕跡。

圖22 題目圖形

圖23 學生錯誤剪法

這道題，很多學生都會輕易地得出圖23的剪法，但這么做是錯誤的。從直觀上來說確實是剪成四個直角三角形，但是不能拼成一個大正方形。

為了提高合情推理能力，增加探究機會，教師讓學生動手剪下來，實際拼一拼。學生對于這樣的動手操作，尤其是驗證對錯的題特別感興趣。通過驗證發現確實拼不成一個大正方形。真正操作下來，學生們發現大正方形邊長的存在是最重要的。這時教師再引導學生思考得出能夠拼成大正方形的本質是面積相等，進而求出大正方形的邊長，最后才是怎么構造這個邊。

在進行剪拼類型的圖形操作題教學中，可以先從簡單操作開始，甚至展示學生錯誤的做法，幫助學生回顧勾股定理。然后舉一反三地訓練，一方面讓學生立刻模仿，鞏固經驗；另一方面削弱對中考題的陌生和恐懼感，進而產生成就感。

綜上所述，在九年級進行圖形操作四種類型題的教學中，都需要對學生進行啟發引導式的教學，教師根據學生已有的知識和結構，依托教師豐富的教學經驗設置問題情境，進而對學生有可能出現的“瓶頸”和易錯點進行點撥糾正，開展循循善誘、逐步推進的推理式教學。