與“角”初相識

角，是幾何圖形中最為基本的圖形之一.三角形、四邊形等圖形中都有角的身影.熟練地掌握角的知識，對日后學習幾何有著很大的幫助.

一、基本概念

角，是有公共端點的兩條射線組成的圖形，這個公共端點就是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊.如圖1，O是這個角的頂點，射線OA、OB是這個角的兩條邊.

[圖1][圖2]

角的符號為“∠”，讀作“角”.為了表示一個角，通常會用三個大寫字母，如圖1可以用∠AOB或∠BOA來表示.其中應注意表示頂點的字母必須放在中間.當用一個字母表示角沒有歧義時，可以直接用頂點字母來表示這個角，反之，則不可以.如圖1可以直接記作∠O.在圖2中，∠AOB則不能表示為∠O，因為∠AOC、∠BOC的頂點均為O.當角內標上希臘字母或數字時，也可以直接表達.如圖1也可以用∠α來表示.此外，從運動的角度來看，角還可以看成是一條射線繞著端點（也就是頂點）旋轉到另一個位置所形成的圖形.

二、角的分類

角的基本度量單位是“°”，讀作“度”.根據度數的大小可以進行如下分類：如圖3，90°以下0°以上的角看上去比較尖銳，叫做銳角；如圖4，90°的角稱為直角；如圖5，大于90°且小于180°的角叫做鈍角；180°的角看上去像是一條直線（其實中間有一個頂點），稱為平角；大于180°且小于360°的角稱為優角；360°的角是由兩條完全重合的射線構成的，稱為周角.初中階段，主要研究前三種角，即銳角、直角、鈍角.

[圖3][圖4][圖5]

三、角的大小比較

顯然，鈍角>直角>銳角，這是比較簡單的一種粗略對比方式.如果同屬一種類型的角，我們可以使用疊合法，將角的頂點和一條邊重合，并使另外一條邊處于同側，角的大小便很容易看出.當然，這一個方法也有一定的局限性.當角度相當接近時，實際操作中可能難以分辨或出現判斷誤差.所以，我們還可以用量角器度量（如圖6），或者通過計算來加以對比.

圖6

四、角的度量單位

除了度（°）以外，還有一些其他的度量單位，例如分（′）和秒（″）.是不是有點眼熟？沒錯，在時間單位上也有分和秒.更有意思的是，角度單位（度、分、秒）之間的換算也和時間一樣，為六十進制.即1度=60分，1分=60秒.歸納一下就是1°=60′=3600″.

五、畫一個角

如果要求畫一個規定度數的角該怎么做？

部分特殊的角可以直接用三角尺畫出，如30°、60°、90°、120°等等，其余的一些角我們可以用量角器畫出.我們先畫的是角的頂點和一邊，這和度量角度的方法類似，頂點和一邊可以隨意畫，它們的位置并不影響最后所成角的度數.完成之后我們需要把角的頂點和量角器中心重合，一邊和零刻度線重合，需要畫多少度的角，就在量角器上多少度的刻度的地方點一點，再以畫的射線的端點為端點，通過剛畫的點，再畫出另一射線.

六、角平分線

當一條射線將一個角分為兩個相等的角時，我們就說這條射線是這個角的角平分線，或者說這條射線平分了這個角，如圖7所示.若∠AOC=∠BOC，我們便可以說OC是∠AOB的角平分線或者 OC平分∠AOB.被分出來的兩個角的度數是原角度數的一半.

圖7

七、余角、補角、對頂角

如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角互為余角，簡稱互余.如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角互為補角，簡稱互補.兩個角，在頂點重合的情況下，若兩邊互為反向延長線，則這樣的兩個角被稱為對頂角，值得注意的是，對頂角都是成對出現的.同樣地，我們也可以這樣理解對頂角：兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點而沒有公共邊的兩個角互為對頂角.顯然對頂角相等.

八、能力挑戰

【問題探究1】若在同一平面內，有三條直線兩兩相交，有幾組對頂角？猜想：如果有n條直線兩兩相交，有幾組對頂角？

【問題解析】這道題顯然是屬于找規律類型的題目，當我們面對較大或未知的數據時，不用擔心，我們可以從最簡單的數據入手，畫出基本圖形.如圖8，三條直線交于一個點；如圖9，三條直線兩兩相交的一般情形.我們都知道，兩條直線相交，可以產生兩組對頂角，以此類推，那么在圖8、圖9的情況下，我們可以看成有三組這樣的兩條直線分別相交，3×2=6，一共有6組對頂角.進而可以猜想，n條直線兩兩相交，一共有n（n-1）組對頂角.

[圖8][圖9]

【問題探究2】

（1）一個角的補角加上10°后，等于這個角的余角的3倍，求這個角以及它的余角和補角的度數.

（2）一個角的余角與這個角的補角的和比平角多2°，求這個角.

【問題解析】

（1）本題屬于對概念的考查，互補的角之和為180°，互余的角之和為90°，所以，我們不妨設這個角度數為α，由題意可知：180°-α+10°=3·（90°-α）.

解得α=40°.

∴180°-α=140°，90°-α=50°.

答：這個角為40°，它的余角為50°，補角為140°.

（2）此題比上題多考查了平角這一知識點，平角即180°的角.設這個角度數為β，則它的補角為（180°-β），余角為（90°-β）.由題意知90°-β+180°-β=180°+2°，解得β=44°.

答：這個角為44°.

角，作為構成簡單或復雜圖形的重要部分，在日后的學習中我們將會經常碰到，難度也千變萬化.所以，上面所講到的角的基礎知識一定要掌握牢固.未來還有許多更為復雜的角的知識需要我們去探索、去學習.相信，與“角”的初相識，這一步走好，走扎實了，對我們今后的數學學習大有裨益.在今后的幾何學習中，我們還會發現更多“角”的無窮奧秘！

（作者單位：江蘇省無錫市蠡園中學）