基于低耗齒輪的大速比行星齒輪傳動固有特性及振動分析

夏煬志強， 秦大同

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室， 重慶 400044)

NGWN型行星齒輪，是一種大速比行星齒輪傳動機構，能有效地縮短系統傳動鏈，減少零部件數，并實現大傳動比，在航空航天、兵器裝備、機器人和工業傳動等領域具有廣泛的應用前景[1]。然而，該行星齒輪傳動存在效率較低的問題。目前國內外已經有不少學者進行了相關的研究[2-4]。曹煥亞、盧存光等對其效率和傳動比的計算公式進行了推導，發現在實現大傳動比的同時，該系統的傳動效率較低。Jonathon則證明了該行星齒輪傳動的效率是傳動比的函數，且當傳動比很大時，系統的效率迅速降低。為提高效率，Hohn等[5-6]率先從設計的角度，嘗試將低耗齒輪應用到該大速比行星齒輪傳動中，通過縮短齒輪副嚙合線的長度來減小嚙合功率損失，獲得了較為顯著的效果，但由此帶來的齒輪副重合度減小的問題，可能會對傳動系統的動力學性能產生影響。因此有必要研究該類行星齒輪傳動系統的振動問題。然而與大量研究2K-H型行星齒輪動力學特性的文獻[7-9]相比，有關NGWN型行星輪系動力學特性的研究很少，宋軼民等[10]建立了NGWN(Ⅱ)型行星輪系的平移-扭轉動力學模型，研究了傳動系統的固有頻率和典型的振動模式，但沒有研究該傳動可能產生的共振情況和傳動系統的動力學響應特性。除此之外，尚未見到其它深入研究該類傳動系統動力學性能的文獻發表。

本文以NGWN(Ⅰ)型行星齒輪為研究對象，通過設計采用低耗齒輪來提高該行星齒輪傳動的效率。然后基于低耗齒輪，在系桿隨動坐標系下建立該系統的純扭轉動力學模型；通過求解特征值問題和動力學方程，分別獲得了該系統的固有特性和共振轉速，并根據二者之間的聯系驗證了采用純扭轉動力學模型的可行性。最后以振動烈度為評價指標，進一步分析了低耗齒輪的相關參數對該傳動系統動力學特性的影響規律，獲得了該傳動實現較高效率和較低振動的設計參數選擇范圍。

1 低耗齒輪

1.1 低耗齒輪設計原理

Hohn等[11]指出齒輪嚙合功率損失占齒輪傳動系統總功率損失的絕大部分，因此齒輪嚙合功率損失可以較為準確地反映齒輪傳動系統的效率。單對齒輪的嚙合效率可以表示為：

η=1-μmzHv

式中:μmz是嚙合過程中的平均摩擦因數，與齒面粗糙度、齒輪配對材料等有關，參考相關文獻[12-13]，本文取值為0.1；Hv是功率損失因數，由下式給出：

式中:ε1和ε2分別是齒輪副嚙入、嚙出重合度；Kv由齒輪基本參數決定，計算如下：

式中:對于外嚙合取“+”，對于內嚙合取“-”，i是大、小齒輪的齒數比，z1是小齒輪齒數。

齒輪副的端面重合度εα可表示為：

εα=ε1+ε2

因此，應盡可能減小齒輪副的端面重合度εα，并使嚙入重合度與嚙出重合度相等，從而得到功率損失因數的最小值。這就是低耗齒輪設計的原理。

1.2 低耗齒輪參數設計與應用

NGWN(Ι)型行星齒輪傳動系統機構簡圖如圖1所示，其中A為太陽輪，C、E為內齒圈，B、D為雙聯行星輪，H為行星架。

圖1 NGWN(Ι)型行星輪系機構簡圖Fig.1 Diagram of mechanism of the NGWN(Ι) planetary gearing

NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動中各齒輪副的嚙入重合度和嚙出重合度可表示為：

式中，ε1,ab，ε1,bc和ε1,de分別表示各對應齒輪副的嚙入重合度；ε2,ab，ε2,bc和ε2,de分別表示各對應齒輪副的嚙出重合度；αab，αbc和αde分別表示對應齒輪副的嚙合角；αa, j(j=a,b,c,d,e)表示齒輪j齒頂圓的壓力角。

顯然，齒頂圓壓力角與齒頂圓直徑相關，而齒頂圓直徑又與齒頂高系數以及變位系數密切相關。因此，通過同時調整輪齒的變位系數和齒頂高系數，來使得各齒輪副的嚙入重合度與嚙出重合度相等是可行的。考慮到齒輪的齒頂高系數與齒輪的強度密切相關，本文定義了如下的優化函數：

依據嚙合功率法的思路，NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動的效率計算公式如下：

式中:ηab、ηbc、ηed分別為單對齒輪副的嚙合效率，可由前面的效率公式計算；iac、iec、iea分別為傳動比參數，計算公式如下：

iac=-zc/zaiec=zdzc/zezbiea=(za+zc)zbze/(zazbze-zazczd)

為簡化計算過程，并通過單變量原則來研究低耗齒輪重合度對傳動系統效率的影響，本文在這里僅將兩對內嚙合齒輪副設計成重合度相等的低耗齒輪副，而外嚙合齒輪副，則根據設計計算的需要，將其重合度設定為較小的常值(εab=1.20)。以低耗齒輪副重合度εbc=εde=1.25為例，效率優化后，各基本參數如表1所示。

表1 優化后NGWN(Ι)型行星齒輪的基本參數

經過輪齒參數優化之后，NGWN(Ⅰ)型行星齒輪的傳動效率隨內嚙合齒輪重合度變化的曲線如圖2所示。

圖2 效率隨內嚙合齒輪重合度變化的曲線Fig.2 Efficiency vs. contact ratio of internal gear pair

2 純扭轉動力學模型

為提高NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動的效率，將低耗齒輪的設計參數引入到該傳動系統。為簡化計算模型，將NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動簡化為集中參數系統，支承、輪齒被簡化為彈簧，齒輪輪體及系桿被視為剛體，此外僅考慮各構件的扭轉振動，不計阻尼及齒側間隙的影響。為便于描述該傳動系統中各構件的相對運動關系，本文采用系桿隨動坐標系，即定義參考系的坐標原點為系桿的幾何形心，且該坐標系以系桿的理想轉速隨系桿做勻速轉動。基于以上考慮，NGWN(Ι)型行星齒輪傳動系統純扭轉動力學模型如圖3所示。

圖3 NGWN(Ι)型行星輪系純扭轉動力學模型Fig.3 Rotational dynamic model of the NGWN(Ι) planetary gearing

圖3中，OXY為固定坐標系；Oxy為系桿隨動參考坐標系，其坐標原點O為系桿的理論安裝中心，且設定該坐標系以系桿的理想角速度繞系桿的理論安裝中心勻速轉動；坐標系Obnybnxbn和Odnydnxdn分別為雙聯行星輪B、D的坐標系，同樣也隨行星架等速旋轉，其原點分別位于第n個雙聯行星輪B,D的理論中心，兩坐標軸與Oxy的兩坐標系分別平行。其他參數含義為：θi為由于系統振動而使構件i產生的角位移，在行星架動坐標系中度量，其中i=a,c,e,h,bn,dn，取ui=riθi。式中，ri為各齒輪的基圓半徑，對行星架則為行星輪中心分布圓的半徑。ui為由振動而產生的角位移折算到圓周上的線位移。φn為第n個行星輪理論中心到行星架理論中心的連線OObn與坐標軸X方向的夾角：

φn=2π(n-1)/N,n=1,2,…,N

式中：kit為中心構件的切向支承剛度，其中i=a,c,e,h。kabn、kcbn、kedn為各齒輪副的時變嚙合剛度，由石川公式[14]計算得到，展開為傅里葉級數并略去高階得：

式中：A0為常值;An為每階分量的幅值;φn為每階分量的初相位;ω0為嚙頻。

2.1 齒輪副之間相對位移分析

NGWN(Ι)型行星輪系中各齒輪間的相對位移關系如圖4所示。αab為太陽輪與行星輪之間的嚙合角；αcb為內齒圈C與行星輪之間的嚙合角；αed為內齒圈E與行星輪之間的嚙合角；Fabn、Fcbn、Fedn分別為行星輪受到的嚙合力，其正方向如圖所示。

將各齒輪之間的相對位移沿嚙合線正方向投影，則有以下位移方程：

(1)太陽輪相對于第n個行星輪的位移沿外嚙合線方向的投影:

δabn=ua-uhcosαab+ubn

(2)內齒圈C相對于第n個行星輪的位移沿內嚙合線方向的投影:

δcbn=uc-uhcosαcb-ubn

(3)內齒圈E相對于第n個行星輪的位移沿內嚙合線方向的投影:

δedn=ue-uhcosαed-udn

圖4 各齒輪之間的相對位移示意圖Fig.4 The displacement relationship between gears

2.2 傳動系統運動微分方程

該傳動系統中，內齒圈C為固定端，太陽輪A為輸入端，內齒圈E為輸出端。設輸入扭矩為Ta，負載為Te；行星架H,內齒圈C,E，太陽輪A和雙聯行星輪B,D的轉動慣量分別為Ih，Ic，Ie，Ia，Ibn，Idn；各行星輪的質量均為mn。依據牛頓第二定律可建立系統的運動微分方程：

式中:Ks0為雙聯行星輪之間傳動軸的扭轉剛度，可表示為

式中：Ip為極慣性矩;G為剪切模量;ls為軸長。

將運動微分方程整理成矩陣形式，可得NGWN(Ι)型行星齒輪傳動系統矩陣形式的彈性動力學方程如下：

式中:q為系統廣義坐標：

q=[uhucueuaubnudn]T

式中：M為質量矩陣;Km為剛度矩陣;T為激勵力矩陣。

3 大速比行星齒輪傳動固有特性分析

大速比行星齒輪傳動的固有特性分析包括系統固有頻率和振型向量的求解與分析。由前面的動力學矩陣方程所對應的特征值方程如下：

式中：ωi和φi分別為系統的第i階固有頻率和振型向量；M為質量矩陣，Km0為平均剛度矩陣。

以表2所示的NGWN(Ι)型行星輪系為例，對其進行固有特性分析。表3給出了具有不同行星輪數的NGWN(Ι)型行星齒輪傳動的各階固有頻率和重根數。

表2 NGWN(Ι)型行星輪系基本參數

分析表3中數據可知，該傳動系統只有兩種重根數，且固有頻率與重根數之間具有某種相關性。表中共有六階單根的固有頻率，其中零頻代表系統的剛體運動；低階非零的單根固有頻率隨著行星輪個數的增加而有增有減，高階的單根固有頻率隨著行星輪個數的增加而增加。此外，當重根數為N-1時，系統的固有頻率值與行星輪個數無關。進一步計算可獲得傳動系統各階固有頻率所對應的振型。在此，以行星輪個數N=3為例(后續的計算亦是如此)，給出系統幾階固有頻率對應的振型坐標，如表4所示。

由表4中振型坐標的特點可以看出，二重根固有頻率對應的振型中，中心構件沒有振動，只有行星輪在振動，且振型中各分量的代數和為零，表現為行星輪振動模式；單根固有頻率對應的振型中，各中心構件均作扭轉振動，且同一級各行星輪的振動狀態完全相同，表現為扭轉振動模式。

表3 NGWN(Ι)型行星輪系的固有頻率

表4 NGWN(Ι)型行星輪系的各階振型

4 大速比行星齒輪傳動動力學研究

4.1 大速比行星齒輪傳動的共振轉速

前面研究了含低耗齒輪的NGWN(Ι)型行星輪系的固有特性，并計算了系統的固有頻率。接下來對該傳動系統的共振轉速做深入分析。具體為：輸入扭矩Ta=1 909.8 N·m，負載Te=47.666 7Ta，在1 000～5 000 r/min以內，將該行星齒輪傳動系統的輸入轉速均勻離散開，代入振動方程，然后分別求取不同轉速下各齒輪副之間的動態嚙合力，以輸入轉速n=1 500 r/min為例，各齒輪副之間的動態嚙合力如圖5所示。

圖5 各齒輪副動態嚙合力Fig.5 Dynamic force of each gear pair

再利用下式可求出動載系數：

Kv=Fδmax/Ft

式中:Ft為靜態負載在嚙合副間產生的圓周力；Fδmax為齒輪副的最大動態嚙合力。關于齒輪副的動態嚙合力Fδ，可按如下計算：

Fδ=ktδ

式中:kt為嚙合副間的時變嚙合剛度；δ為一對嚙合副沿嚙合線方向的相對位移。

傳動系統中各齒輪副的動載系數隨轉速變化的曲線如圖6所示。由圖6可以看出，三組齒輪副的動載系數，在四個轉速下都出現了明顯的峰值，即產生了共振，由此可以認定這四個轉速即為系統的共振轉速：

n1=1 750 r/min,n2=2 125 r/min

n3=3 500 r/min,n4=4 250 r/min

大速比行星輪系共有兩級嚙頻(即為齒輪嚙合的頻率)。在轉速為n1和n3時，第一級嚙頻分別為：

在轉速為n2和n4時，第二級嚙頻為：

對比表2可知，通過共振轉速計算的嚙頻與系統固有頻率十分接近。因此，本文建立的純扭轉模型能夠較好地反映出系統的固有特性與動態特性。

圖6 動載系數隨輸入轉速的變化曲線Fig.6 Coefficient of dynamic load vs. input speed

4.2 低耗齒輪參數對系統振動的影響

由效率曲線可知，傳動系統的效率隨低耗齒輪重合度的減小而增大。然而，過小的重合度可能又會對系統的振動產生影響。因此，有必要從傳動效率和振動這兩個方面，去尋求低耗齒輪重合度的合理范圍。具體為：以低耗齒輪重合度的大小作為變量，將相關設計參數(齒頂高系數、變位系數)所對應的時變嚙合剛度，代入到前面所建立的純扭轉動力學方程中，然后分別求得不同重合度下各構件的振動速度響應。以低耗齒輪重合度εα=1.40為例，計算的各構件振動速度響應曲線如圖7所示。

圖7 各構件振動速度曲線圖Fig.7 Vibration velocity of each component

再以國際標準中常用的振動烈度(即振動速度的均方根值)作為衡量振動強度的指標。最終計算出的系統中各構件振動烈度隨低耗齒輪重合度的變化曲線如圖8所示。

圖8 振動烈度隨低耗齒輪重合度變化的曲線Fig.8 Vibration severity vs. contact ratio of low-loss gear pair

在圖8中，虛線以下的部分為可允許的振動烈度區域(0～4.5 mm/s)。如果振動烈度值超過了允許范圍的上限，則認為該系統的振動情況較差。由圖1和圖8可以得出結論：低耗齒輪重合度的合理區間取為1.3～1.5，這個區間范圍既保證傳動系統具有較高的效率(超過92.5%)，又使得其振動烈度值較小(低于4.5 mm/s)。

5 結 論

本文首先針對NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動設計并應用了低耗齒輪，使得該傳動系統的效率得到了提高；然后在采用低耗齒輪設計參數基礎上，建立了NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動系統的純扭轉動力學模型，分析了該行星輪系的固有特性以及不同轉速下的振動情況；最后深入分析了采用低耗齒輪的NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動系統的動力學特性。具體結論有：

(1)對NGWN(Ⅰ)型行星齒輪的內嚙合齒輪副進行了低耗齒輪設計，獲得了傳動系統效率隨低耗齒輪重合度變化的曲線。結果表明，采用低耗齒輪是提高傳動效率的有效途徑。

(2)采用低耗齒輪的NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動純扭轉模型具有兩種典型的振動模式：扭轉振動模式和行星輪振動模式。

(3)研究了采用低耗齒輪的NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動的共振轉速，得到的系統動態響應情況與固有頻率所對應的分析結果十分吻合。

(4)深入研究了傳動系統中各構件的振動烈度隨低耗齒輪重合度的變化。并結合效率曲線分析，確定了低耗齒輪重合度的合理設計區間為1.3～1.5。在這個區間范圍內，系統的傳動效率較高，且振動烈度值較小。

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