基于非線性能量俘獲機制的直驅浮子式波浪能發電裝置研究

肖曉龍， 肖龍飛,2， 李 揚

(1.上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室, 上海 200240；2.高新船舶與深海開發裝備協同創新中心, 上海 200240)

在眾多波浪能發電裝置中，振蕩浮子式波浪能發電裝置是目前發展較好的裝置[1]，而采用直線發電機的振蕩浮子式波浪能發電裝置減少了能量轉換的中間環節，發電效率更高， 同時降低了裝置的復雜性，且便于維護[2]。當前對直驅振蕩浮子式波浪能發電裝置能量俘獲機制的研究主要集中在線性領域[3-5]，把能量輸出系統簡化為一個直線發電機和一個連接彈簧，浮子隨著波浪起伏上下運動，從而帶動直線發電機的動子切割磁感線產生電流，實現將波浪能轉化為電能。對于帶有線性能量俘獲機制的直驅振蕩浮子式波浪能發電裝置，只有當入射波頻率與裝置固有頻率相等時，俘獲的能量最多，當入射波頻率偏離裝置固有頻率時，俘獲的能量就大幅度降低，特別是波浪響應譜比較窄的情況[6]。

為改善能量俘獲特性，可考慮將非線性能量俘獲機制應用于直驅浮子式波浪能發電裝置。非線性能量俘獲機制最先應用在機械振動領域而不是波浪能發電方面,Mann等[7]提出一種振動能量俘獲機制，即在一個中心磁鐵的上下和四周放置周圍磁鐵，磁鐵間的作用力使系統形成負剛度，且勢能位移圖呈現雙阱特性，理論和實驗都表明雙阱間全局運動能顯著提高低頻振動能量的俘獲。鑒于海上可利用波浪頻率通常較低，本文將該非線性能量俘獲機制改進后應用在直驅振蕩浮子式波浪能發電裝置上，以改善發電裝置的能量俘獲特性，提高能量俘獲效率，拓寬能量俘獲頻譜帶寬。

1 物理模型

線性直驅振蕩浮子式波浪能發電裝置，以及所提出的非線性裝置的示意圖分別如圖1(a)和(b)。直驅浮子式波浪能發電裝置由浮子、能量輸出系統、垂蕩板和錨泊線組成。線性能量輸出系統包含直線發電機和連接彈簧，直線發電機由定子和動子構成，定子上有感應線圈繞組，動子是一根裹著永磁體的軸。非線性能量輸出系統與線性系統相似，但在直線發電機的周圍增加了周圍磁鐵，文中周圍磁鐵數取N=4。由于垂蕩板運動很小，假定其靜止水中[8]，因此垂蕩板和錨泊線使能量輸出系統穩定在水中，直線發電機完全由振蕩浮子的垂蕩運動驅動，浮子帶動發電機的動子上下運動，永磁動子運動時磁場將切割定子中繞組，從而在繞組中感應出電流。

圖1 線性和非線性波浪能發電裝置示意圖Fig.1 Schematic of WECs with linear and nonlinear PTO systems.

直線發電機的動子和定子相互感應，由法拉第電磁感應定律可推導出定子線圈中的感應電流公式：

(1)

Fc=γI

(2)

(3)

(4)

(5)

依據方程式(4)和式(5)將直線發電機用阻尼替代，建立線性和非線性直驅發電裝置簡化物理模型，分別如圖2(a)和(b)所示。圖中：m為浮子質量；K為能量輸出系統彈簧剛度；Fm為周圍磁鐵對中心磁鐵的作用力：

(6)

式中：μ0為真空磁導率；Mc為中心磁鐵磁化強度；Vc為中心磁鐵體積；Mo為周圍磁鐵磁化強度；Vo為周圍磁鐵體積；r0為中心磁鐵到周圍磁鐵距離；z為動子上下運動，也是浮子垂蕩運動。

圖2 線性和非線性波浪能發電裝置簡化物理模型Fig. 2 Physical models of WECs with linear and nonlinear PTO systems.

2 參數選取

在40～100 m水深范圍內，波浪的幅值較大，是布置波浪能發電裝置的理想水深范圍，水深太淺波浪衰減過快，水深太深不利于裝置的安裝[10]。本文取水深為h=50 m。圓柱形振蕩浮子直徑D=1 m，吃水d=5 m，用三維勢流軟件SESAM計算浮子的垂蕩水動力參數。

為對比分析非線性裝置的效果，最佳剛度系數和發電機阻尼參數的選取依據讓線性裝置獲得最大俘獲能量來確定，并用于之后線性和非線性裝置的計算。要使發電裝置從波浪能中俘獲的功率P達到最大，最佳阻尼和彈簧剛度系數必須滿足[11]:

(7)

由式(7)得出最佳剛度為負數，與實際不符合。彈簧剛度系數的選取與能量俘獲效率及浮子的穩定性有關，根據Vicente等[12]研究，將彈簧剛度系數取為浮子靜水恢復力系數的10%左右，即K=0.1rgS。由式(7)可得最佳發電機阻尼為:

(8)

式中：ρ為水的密度；g為重力加速度；S為浮子截面面積；A(ω)為浮子附加質量；ω為波浪頻率。根據式(8)可計算出不同波浪頻率下的最佳發電機阻尼，如表1。

表1 不同波浪頻率下的最佳發電機阻尼

3 非線性能量俘獲機制

非線性能量俘獲機制示意圖如圖3所示，圖3(a)顯示了不穩定平衡狀態，圖3(b)和(c)分別顯示彈簧壓縮和拉伸時的穩定平衡狀態。

圖3 非線性能量俘獲機制示意圖Fig.3 Schematic of the bistable impulsive mechanism.

彈簧和磁力在垂向上的合力為：

(9)

令F=0, 可得到三個臨界平衡位置ze1=-ze3及ze2=0。其中,ze1是負的穩定平衡位置,ze3是正的穩定平衡位置，ze2是不穩定平衡位置。將中心磁鐵至周圍磁鐵的距離取為r0=ze3，磁鐵參數可由ze3和K決定:

(10)

將方程式(10)代入方程式(9)，可得：

(11)

對方程(11)求導可得到能量輸出系統的等效剛度為：

(12)

圖4給出了線性裝置和具有不同穩定平衡位置的非線性裝置的能量輸出系統垂向力F與垂蕩位移z的關系，以及能量輸出系統等效剛度KPTO與垂蕩位移z的關系?？梢?，對線性能量輸出系統，其等效剛度恒為正值，即彈簧恢復力與垂蕩的方向相反；但對非線性的能量輸出系統，在兩個穩定平衡位置ze1、ze3之間存在一個位移區，使得彈簧力與磁鐵力的合力與垂蕩運動方向相同，即產生負剛度，且穩定位置ze3越大，能量輸出系統產生負剛度區域的范圍越大。

圖4 線性裝置和不同穩定平衡位置的非線性裝置Fig.4 F as a function of z and KPTO as a function offor linear and nonlinear WECs with different values of ze3.

能量輸出系統勢能與垂蕩位移的關系為

(13)

圖5給出了線性裝置和不同穩定平衡位置的非線性裝置的能量輸出系統勢能位移圖。相比于線性裝置位移勢能圖的單阱，非線性能量俘獲機制的勢能圖具有雙阱特性。在三個臨界平衡位置中，ze1和ze3是穩定的，ze2是不穩定的，因此該系統可能有兩種形式的運動：阱內局部運動和阱間全局運動。阱內局部運動是由于外界激勵太小，導致系統無法跨越勢能屏障，當外界激勵大到足夠跨越勢能屏障，振動從一個穩定平衡位置可以跨越到另一個穩定平衡位置，阱間全局運動產生。Tang等[13]研究表明，全局運動可以顯著改善對振動能量的俘獲。

圖5 線性裝置和不同穩定平衡位置的非線性裝置-關系圖Fig.5 Ep as a function of z for linear and nonlinear WECs with different values of ze3

4 不規則波響應

采用第17屆ITTC會議推薦JONSWAP譜來生成隨機不規則波時歷，譜的數學表達式為

(14)

式中：H1/3為有義波高；Tp為譜峰周期；γ為譜峰因子, 文中取3.3；σ為譜峰形狀參數，當ω≤ωp時σ=0.07，當ω>ωp時σ=0.09，其中譜峰頻率ωp=2π/Tp。

(15)

對圓柱形振蕩浮子等軸對稱浮體，幅值響應函數可寫為：

(16)

式中：

(17)

式中：k為波數；Bz(ω)為輻射阻尼，φi為波浪激勵力的相位，θi為區間(0,2π)之間的隨機數。

線性波浪能發電裝置在不規則波中垂蕩運動的時域方程為：

(18)

式中：A(∞)為ω→∞時的附加質量；Fe為波浪激勵力；卷積項代表流體的記憶效應，kz被稱為延遲函數，其表達式為：

(19)

將[0,t]劃分為n份，t=nΔτ，方程(18)中卷積項可利用梯形法進行離散[14]求解：

(20)

非線性波浪能發電裝置在不規則波中的垂蕩運動方程為：

(21)

將方程式(6)和式(20)代入時域方程(21)，得：

(22)

(23)

或：

(24)

該方程作為一階微分方程組，可以用四階龍格庫塔法數值求解,從而得到發電裝置的垂蕩運動和速度。

由方程式(5)，在[0,t]時間內波浪能發電裝置俘獲波浪能的平均功率為：

(25)

5 結果與分析

不規則波計算時長為2 000 s，平均俘獲功率的計算時間取后1 000 s，不規則波的有義波高取H1/3=1 m。不同譜峰頻率時，發電機阻尼依據表1選取。針對不同的譜峰頻率ωp和穩定平衡位置ze3(分別取值0.1 m, 0.4 m, 0.7 m, 1.0 m, 1.3 m, 1.6 m)，得到線性和非線性波浪能發電裝置的平均能量俘獲頻譜，如圖6(a)，以及非線性裝置與線性裝置的俘獲能量比，如圖6(b)。

圖6 非線性和線性裝置在不規則波中Fig.6 Power obtained by nonlinear and linear WEC

由圖6(a)可見，對線性波浪能發電裝置，當不規則波譜峰頻率接近裝置的固有頻率(1.42 rad/s)時，平均俘獲波浪功率最大，偏離裝置固有頻率時，俘獲功率減??；對非線性裝置，隨著穩定平衡位置的增大，最大平均能量俘獲(平均能量俘獲頻譜最高點)對應的譜峰頻率逐漸減小，且都低于裝置固有頻率。由圖6(a)及(b)可見，當穩定平衡位置ze3=1 m時，即負剛度區域較小，周圍磁鐵影響較弱，非線性裝置平均能量俘獲與線性裝置差別不大。隨著穩定平衡位置的增大，非線性裝置在不規則波譜峰頻率比較低時，能量俘獲比線性裝置大很多，但當不規則波譜峰頻率大于裝置固有頻率以后，非線性裝置的能量俘獲比線性裝置小。當穩定平衡位置繼續增大，非線性裝置的能量俘獲開始減小，但是在低頻階段仍然比線性裝置的俘獲能量大。

為進一步分析線性和非線性裝置能量俘獲差異的機理，以線性裝置和穩定平衡位置ze3=1.0 m的非線性裝置為例,考慮譜峰頻率分別為ωp=0.75 rad/s和ωp=2.0 rad/s的不規則波，即分別對應圖6(a)中A，B，C，D四點，求解其運動響應和瞬時功率。圖7給出了線性和非線性裝置在不規則波中的運動響應和瞬時功率時歷。

圖7 線性和非線性裝置在不規則波中的運動響應和瞬時功率(自上而下分別為位移、速度、相位和瞬時功率時歷圖，其中藍色直線代表平均功率)
Fig.7 Motion response and instantaneous power (Displacement-time response, velocity-time response, phase portrait and instantaneous power from upper to lower of the figure，the blue line represents the corresponding averaged power)for.

由圖7(a)和(c)可見，由于線性裝置勢能位移圖是單阱的，只有一個穩定平衡位置z=0 m，因此無論外界能量大或者小，線性裝置位移均在z=0 m附近振動。由圖7(b)可見，當ωp=0.75 rad/s時，非線性裝置運動為全局運動，此時能量較大足以跨越勢能屏障，振動從一個勢能阱跳躍到另一個阱，因此俘獲的能量較大；而圖7(d)可見，當ωp=2.0 rad/s時，非線性裝置運動為局部運動，此時外界能量激勵使振動不足以跨越勢能屏障，振動僅在某一阱內，俘獲能量較小。由圖7可知，對非線性裝置，當外界能量足以跨越勢能屏障，其能量俘獲將顯著優于線性裝置，當外界能量較小不足以跨越勢能屏障，其能量俘獲要比線性裝置差。由于波浪譜峰頻率較低時，波浪激勵力和能量均較大，易使非線性裝置產生全局運動，所以低頻時非線性裝置能量俘獲要顯著優于線性裝置，而高頻則相反。這同樣可以解釋圖6中，隨著穩定平衡位置的持續增加，能量俘獲開始減小，且高頻時顯著小于線性裝置的現象。穩定平衡位置較高，勢能屏障較高，外界能量難以跨越產生全局運動，所以穩定平衡位置的選取也具有最優區間，太高太低都不利于能量俘獲。

為研究浮子速度響應的頻域特性，對線性裝置和穩定平衡位置的非線性裝置ze3=1.0 m，在不規則波中速度響應的時歷進行了傅里葉變換。圖8給出了在譜峰頻率分別為ωp=0.75 rad/s和ωp=2.0 rad/s的不規則波中，線性和非線性裝置傅里葉變換后得到的速度響應頻譜。由圖8(a)可見，ωp=0.75 rad/s時，速度響應頻譜的主要響應峰值對應不規則波的譜峰頻率(ωp=1.0 rad/s)。非線性裝置的速度響應在低頻和波浪譜峰頻率附近要優于線性裝置，且速度響應頻譜帶寬更寬。由方程(5)可知，速度響應與瞬時俘獲功率成正相關，可知此時非線性裝置的瞬時能量俘獲要優于線性裝置，且瞬時能量頻譜帶寬更寬。由圖8(b)可見，ωp=2.0 rad/s時，速度響應頻譜有多個響應峰值，線性裝置速度響應整體優于非線性裝置，故在不規則波譜峰頻率較高時，非線性裝置能量俘獲不如線性裝置。

(a) ωp=0.75 rad/s

(b) ωp=2.0 rad/s

考慮到實際海況波浪譜峰頻率較低，通常遠低于波浪能發電裝置的固有頻率，如中國渤海一年一遇的海浪譜峰頻率為0.79 rad/s[15]，因此在實際可利用海況中，非線性裝置可以俘獲更多的波浪能量。

6 結 論

(1) 在不規則波譜峰頻率較低時，基于非線性能量俘獲機制的直驅裝置比線性直驅裝置可以俘獲更多的平均能量，且瞬時能量俘獲頻譜帶寬也更寬，因此更有利于實際波浪能量的俘獲，但譜峰頻率較高時，俘獲能量較低。

(2) 基于線性機制的直驅裝置平均能量俘獲頻譜最高點對應的頻率與裝置固有頻率一致，而基于非線性機制的直驅裝置最高點對應的頻率小于裝置固有頻率，且隨著穩定平衡位置的增大，最高點對應的頻率逐漸減小。

(3) 基于非線性機制的直驅裝置的穩定平衡位置對能量俘獲性能有很大影響。穩定平衡位置較低時，非線性裝置平均能量俘獲與線性裝置相似；穩定平衡位置較高時，勢能障礙難以越過，平均俘獲能量較低，因此穩定平衡位置的選取根據譜峰頻率的不同具有一個最優區間。

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