二自由度碰振準哈密頓系統亞諧軌道分析

張思進， 王緊業， 文桂林

(1. 湖南大學 機械與運載工程學院，長沙 410082； 2. 湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

機械系統中兩組件之間由于各種因素不可避免的存在著間隙和約束，這類系統被稱為非光滑動力學系統。這類系統的全局分岔和混沌行為是近年來非光滑動力學領域重要的研究課題。這方面的工作可以在文獻[1-3]中找到。

早期的研究中，學者們側重于局部分析的方法來研究二自由度碰振系統。Amano等[4]采用Poincaré映射方法分析了兩質量塊碰撞周期1運動的穩定性；Han[5]著重考慮了由彈簧擺和質量-彈簧振子組成的碰振系統，研究了在無切向摩檫力條件下的周期運動的穩定性。對于二自由度碰振系統，碰撞面往往具有不確定性，Li等[6]將絕對坐標轉化為相對坐標，應用改進后的李亞譜若夫方法研究了兩自由度碰振系統。

近年來，不少學者開始應用Melnikov方法來研究低維碰振系統的同宿軌道、亞諧周期運動以及分岔混沌等動力學特性。Shaw等[7]首先將Melnikov方法用于一個簡單的機械系統分析其亞諧運動和混沌特性；Du等[8]應用Melnikov方法分析了非線性碰振振子的同宿分岔；Xu等[9]對碰振振子的研究也取得了相似的結果。Liang等[10]研究了一類分段光滑系統并給出了廣義雙同宿分岔的條件。有關更多非線性碰振系統的Melnikov方法參見文獻[11-13]。

本文運用攝動分析和Poincaré映射方法推導了二自由度準哈密頓碰振振子系統的局部亞諧Melikov函數。此函數用于確定周期運動和非周期運動的參數區域以及極限環分岔條件，并通過數值模擬驗證了該函數的正確性。

1 模型系統描述

這里考慮一般的兩質量塊非線性碰振振子如圖1，當x1-x2<δ時， 兩質量塊碰撞前的控制方程表示如下：

(1)

圖1 碰撞振動系統模型Fig.1 Schematic diagram of the vibro-impact system

假設碰撞過程時間非常短暫，可以忽略碰撞瞬間兩質量塊的位移改變。所以，當x1-x2=δ時兩質量塊碰撞，由于碰撞過程中動量及機械能守恒，有：

(2)

方程式(1)和式(2)可以改寫為如下形式：

(3)

當ε=0時，擾動方程(3)可以表示為：

(4)

為了研究在外部激勵和黏性阻尼作用下的雙質量塊非線性碰振系統(1)亞諧周期運動的存在性，我們通過分析和計算得到了一階亞諧Melnikov函數的表達式。

2 碰振哈密頓系統亞諧共振的Melnikov函數

對于方程(4)描述的未擾系統碰撞過程比較復雜，這里我們便于分析認為兩質量塊碰撞面是固定的。引入以下假設：

(3) 共振關系應該滿足以下條件

(5)

這里Mj和nj(j=1,2)是互質整數。

由于方程(1)中的兩個表達式類似，這里我們僅分析前一個方程的擾動軌道，可以用相同的方法分析第二個方程。當x1-x2小于δ時， 擾動軌道Xε(t,t0)是光滑的，因此可以將其展開成泰勒級數的形式，如下：

Xε(t,t0,ε)=Xα(t-t0)+εX1(t,t0)+O(ε2)

(6)

為了便于分析，定義以下算子：

Δ(t,t0)=F(Xα(t-t0))∧Xε(t,t0)

(7)

Δ0(t,t0)=F(Xα(t-t0))∧Xε(t-t0)

(8)

Δ1(t,t0)=F(Xα(t-t0))∧X1(t-t0)

(9)

光滑條件下，我們可以得到：

Δ1(t,t0)=F(Xα(t-t0))∧H(Xα(t-t0),t)

(10)

這里∧表示楔形算子。

圖2 擾動系統的局部次諧軌道示意圖Fig.2 Sketch of a local-subharmonic orbit of the perturbed system

(11)

由文獻[14-15]可知，局部亞諧軌道的一階Melnikov函數可以定義為：

Mm(t0)=Δ1(t0+mT,t0)-Δ1(t0,t0)

(12)

接下來，重新整理方程(12)可以得：

(13)

采用和文獻[16]類似的方法，將方程(9)對時間t求導，得：

dΔ1(t,t0)/dt=DH(Xα(t-t0))×
G(Xα(t-t0),t)

(14)

(15)

(16)

將式(16)代入式(15)，得

(17)

(18)

(19)

注意到未擾軌道是封閉的，所以

(20)

(21)

(22)

前面分析兩質量塊未發生碰振時，質量塊m1的亞諧運動軌道(碰撞面左邊部分)，同樣的方法可以得到質量塊m2的亞諧運動，這里就不再詳細介紹。

下面我們重點介紹兩質量塊發生碰撞時，一階亞諧Melnikov函數的推導過程。此處將質量塊m2的軌道考慮在內，根據碰撞法則兩質量塊應在同一時刻到達碰撞面處。因此對于兩質量塊的擾動和未擾動軌道，下列關系式顯然成立：

(23)

(24)

(25)

將式(22)～式(25)代入式(21)并結合式(16)，可知：

(26)

又因為：

(27)

方程式(26)可以重新整理得

(28)

由方程式(13)、式(17)、式(18)和式(28)，可以推導出一階亞諧Melnikov函數表達式，如下：

(29)

(30)

變換積分時間t→t+t0， 那么方程式可以改寫為：

(31)

3 亞諧Melnikov函數的應用

3.1 準哈密頓系統模型

(32)

x1-x2=δ時發生碰撞，根據碰撞定理兩質量塊的速度關系可以表示如下：

(33)

(34)

(35)

3.2 準哈密頓亞諧軌道分析

本章節我們分析兩質量塊發生碰撞的情況，那么方程(32)可以寫成如下形式：

(36)

(37)

當ε=0時， 未擾系統式(36)和式(37)為Hamilton系統，其哈密頓作用量為：

(38)

(39)

未擾系統式(36)、式(37)周期軌道參數方程為：

(40)

(41)

式中：dn(·),cn(·),sn(·)均為橢圓函數。

如果未擾系統沒有發生碰撞，那么同宿軌道的周期可以表示為

(42)

式中：k是橢圓模量；K(k)是第一類完全橢圓積分。

然而，碰撞會導致周期軌道破裂，碰撞后的軌道周期為

T(k)=T0(k)-ΔTk

(43)

式中： 2ΔTk是完整軌道在切換面右側的穿越時間，它可以由接觸條件來確定：

(44)

接下來， 考慮1∶1的內共振情況。 假設ω1=ω2=ω那么m1/n1=1,m2/n2=1， 故可得：

T(k)=T

(45)

將式(42)、(43)代入式(45)，可知：

(46)

將式(40)代入式(29)，得：

M(t0)=-bfcosΩt0-2cr0-dμ1

(47)

根據亞諧Melnikov理論，如果擾動系統式(36)存在亞諧軌道，那么M(t0)存在簡單零點，因此可得周期為T的局部亞諧軌道的必要條件：

|b|f-2|c|r0-|d|μ1≥0

(48)

將Ω=1,δ=2,μ1=1代入到式(47)，可得：

1.817 37f-0.8r0-4.690 66≥0

(49)

3.3 數值仿真

方程式(49)確定的臨界線將參數(r0,f)分為上下兩個部分：臨界線上方區域是周期性的，臨界線以下的區域呈現出非周期的特性。為了驗證前面的理論分析，這里取從點1到點5(如圖3)五個不同的系統參數來模擬二自由度碰振系統的周期運動和非周期運動狀態。

下面圖4～7是五個點的運動仿真相圖，細實線與粗實線分別代表質量塊m1和質量塊m2的運動狀態。當取值位于臨界線下方時，系統可能會出現混沌狀態。

圖3 局部亞諧軌道參數區域Fig.3 Local subharmonic parametric region

圖4 單碰周期1運動(點1取值)Fig.4 The single impact period-1 motion of the vibro-impact system (the value of point 1)

圖5 單碰周期2運動的時間歷程圖和相圖(點3取值)Fig.5 Phase portrait of the single impact period-2 motions for the vibro-impact system (the value of point 3)

圖6 雙碰周期2運動的時間歷程圖和相圖(點4取值)Fig.6 Phase portrait of the double impacts period-2 motions for the vibro-impact system (the value of point 4)

圖7 混沌運動的相圖Fig.7 The phase portrait of chaotic motion of the vibro-impact system

由上面仿真相圖分析可知， 令f=f1=f2=3， 其他參數κ1=0.1,κ2=0.2,εr=0.5,μ1=0.01,μ2=0.01,ω1=2,ω2=2時，圖4(點1取值)表明碰撞系統存在單碰周期1運動； 當系統參數f的值增加到6的過程中周期運動消失，隨后出現了混沌運動的情況相應的相圖如圖7(a)(點2取值)所示。然而與圖7(a)相比，保持f=6不變，εr從0.5增加到0.85的過程中系統又從混沌運動的狀態變化為了單碰周期2運動如圖5(點3取值)。

此外， 當f1=f2=6,εr=0.75,ω1=4,ω2=4其余的參數保持不變時，圖6(點4取值)表明碰振系統發生了雙碰周期2運動。 類似地， 當參數f的值從6增加到10時，雙碰周期2運動消失混沌運動狀態再次出現，相應的圖如圖7(b)(點5取值)。這些數值模擬結論從而更好的驗證了前面一階Melnikov函數理論分析的正確性。

4 結 論

本文應用改進后的局部亞諧Melnikov方法來研究具有立方項和外部激勵的二自由度非線性準哈密頓碰撞系統，此方法可以用于確定非線性碰振系統亞諧軌道的存在性。

(1) 推導得到的亞諧Melnikov函數將系統的參數區域分為周期區域和非周期區域兩個部分。

(2) 系統以頻率ω等為分岔參數，數值仿真得到了碰撞系統的運動狀態，由單碰周期1運動、單碰周期2運動、雙碰周期2運動，然后進入混沌運動。也驗證了Melnikov方法分析二自由度碰振系統亞諧運動的有效性。

(3) 適當控制阻尼系數μ及力f的取值，盡可能避免系統出現多周期和復雜的混沌運動，實現系統的穩態運動。同時，為此類碰振系統的研究提供理論依據。

[ 1 ] DE SOUZA S L T, CALDAS I L. Calculation of Lyapunov exponents in systems with impacts [J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2004, 19(3): 569-579.

[ 2 ] JI J C. Dynamics of a piecewise linear system subjected to a saturation constraint [J]. Journal of Sound and Vibration, 2004, 271(3/4/5): 905-920.

[ 3 ] GRANADOS A, HOGAN S J, SEARA T M. The melnikov method and subharmonic orbits in a piecewise-smooth system [J]. Journal of Applied Dynamical Systems, 2012(11): 801-830.

[ 4 ] AMANO H, ASAHARA H, KOUSAKA T. A stability analysis method for period-1 solution in two-mass impact oscillator [C]//Nonlinear Dynamics of Electronic Systems: 22nd International Conference, NDES 2014, Albena, Bulgaria, July 4-6, 2014. Proceedings. Springer, 2014, 438: 37.

[ 5 ] HAN W, JIN D P, HU H Y. Dynamics of an oblique-impact vibrating system of two degrees of freedom [J]. Journal of Sound and Vibration, 2004, 275(3/4/5): 795-822.

[ 6 ] LI Q, CHEN Y, WEI Y, et al. The analysis of the spectrum of Lyapunov exponents in a two-degree-of-freedom vibro-impact system [J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2011, 46(1): 197-203.

[ 7 ] SHAW S W, RAND R H. The transition to chaos in a simple mechanical system [J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 1989, 24(1): 41-56.

[ 8 ] DU Z, ZHANG W. Melnikov method for homoclinic bifurcation in nonlinear impact oscillators [J]. Comput. Math. Appl., 2009(50): 445-458.

[ 9 ] XU W, FENG J, RONG H. Melnikov’s method for a general nonlinear vibro-impact oscillator [J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2009, 71(1/2): 418-426.

[10] LIANG F, HAN M. Limit cycles near generalized homoclinic and double homoclinic loops in piecewise smooth systems [J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2012, 45(4): 454-464.

[11] 林路嬋,趙曉華.一類2個自由度Hamilton系統的動力學性質[J]. 浙江師范大學學報, 2011(1): 35-41.

LIN Luchan, ZHAO Xiaohua. Dynamic behaviors for a class of Hamiltonian system with two degree of freedom [J]. Journal of Zhejiang Normal University, 2011(1): 35-41.

[12] 朱錦文. 兩自由度參數激勵系統的全局分岔分析[J]. 石家莊鐵道大學學報,2013(增刊1): 167-170.

ZHU Jinwen. Analysis of the global bifurcation for parametric excitation systems with two-degree of freedom [J]. Journal of ShiJiazhuang Tiedao University, 2013(Sup1): 167-170.

[13] SUN M, ZHANG W, CHEN J E, et al. Subharmonic Melnikov method of four-dimensional non-autonomous systems and application to a rectangular thin plate [J]. Nonlinear Dynamics, 2015, 82(1/2): 643-662.

[14] 張思進，文桂林，王緊業,等. 碰振準哈密頓系統局部亞諧軌道的Melnikov方法[J]. 振動工程學報，2016, 29(2): 214-219.

ZHANG Sijin, WEN Guilin, WANG Jinye, et al. The Melnikov’s method for local-subharmonic orbits of a vibro-impact quasi-Hamiltonian system [J]. Journal of Vibration Engineering, 2016,29(2): 214-219.

[15] ZHANG S, JI D, WEN G, et al. Analysis of global subharmonic orbits of a vibro-impact quasi-hamiltonian system with the melnikov’s Method [J]. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series B: Applications & Algorithms, 2015, 22(1): 69-84.

[16] WIGGINS S. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos [M]. New York, Spring-Verlag, 1990.