關(guān)注概念的生長發(fā)展 讓數(shù)學(xué)抽象落地生根*
——以“函數(shù)的概念”教學(xué)為例

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(路橋中學(xué),浙江 臺州 318050)

1 問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》指出：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時需經(jīng)歷抽象、概括等思維過程，這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)[1]；《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)(征求意見稿)》在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中首先指出的核心素養(yǎng)就是數(shù)學(xué)抽象.可見，在不同時期教育教學(xué)的改革中，人們對數(shù)學(xué)抽象的關(guān)注度都很高，其重要性也就不言而喻.數(shù)學(xué)抽象存在于各種數(shù)學(xué)活動中，其中數(shù)學(xué)概念的形成尤為凸顯.在數(shù)學(xué)概念形成過程中，不僅包含概念的本身內(nèi)容，還包含著概念的發(fā)生發(fā)展，包含對概念的逐步抽象過程，從而進一步理解概念的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和核心素養(yǎng).

當前現(xiàn)實教學(xué)中，有的教師認為概念知識本身簡單，直接拋出概念并指出應(yīng)注意點就完成了概念教學(xué)，這種斷章取義的灌入式教學(xué)，常常略去了概念的發(fā)生發(fā)展和逐步抽象過程，學(xué)生缺少知識和思維上的自我構(gòu)建過程，更不能讓學(xué)生感悟到概念的本質(zhì)和所蘊含的數(shù)學(xué)思想，而是把一個冰冷的結(jié)論塞給了學(xué)生，學(xué)生普遍感到莫名其妙、抗拒、難懂，更不可能對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣并可持續(xù)地發(fā)展.如何讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，理解數(shù)學(xué)抽象思維，形成一定的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)？筆者認為應(yīng)做到：關(guān)注學(xué)生的知識儲備及心理發(fā)展，做好學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)養(yǎng)成的基礎(chǔ)準備；關(guān)注數(shù)學(xué)抽象的發(fā)展規(guī)律，做好數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)養(yǎng)成的系統(tǒng)工程；關(guān)注數(shù)學(xué)概念的落實與反思，做好數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)落實的鞏固與提升；關(guān)注數(shù)學(xué)概念的發(fā)生與發(fā)展，做好數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的持續(xù)養(yǎng)成.下面以筆者所上的一節(jié)示范課“函數(shù)的概念”為例，談?wù)剶?shù)學(xué)抽象養(yǎng)成的幾點思考.

2 課堂實錄片段

2.1 片段1

2.1.1 復(fù)習(xí)回顧，導(dǎo)入新知

師：我們在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，請大家回顧初中階段所學(xué)的函數(shù)概念.

生1：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，其中x叫自變量．

師：你能談?wù)剬瘮?shù)概念的理解嗎？

生2：1)y是隨著x的改變而改變的；2)y必須是唯一確定的；3)必須是一個變化的過程.

師：很好！通過這3個方面，我們來研究以下5個實例.

2.1.2 觀察分析，探索新知

例1一個物體現(xiàn)在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒.問物體的速度v(單位：米/秒)與時間t(單位：秒)有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

師：你能用初中階段所學(xué)函數(shù)的定義解釋一下嗎？

生3：在物體運動過程中，物體速度隨著時間每增加1秒而增加2米/秒，每個時間都有唯一速度值與之對應(yīng)，并且它們的函數(shù)關(guān)系為v=2t+5.

師：你能用集合描述變量速度v與時間t的變化范圍是什么嗎？

生4：A={t|t≥0}，B={v|v≥5}.

師：請同學(xué)用集合與對應(yīng)的語言描述變量v和t的關(guān)系.

生5：對于集合A中的任意一個數(shù)t，集合B中都有唯一確定的數(shù)v和它對應(yīng).

(對照例1，學(xué)生自主合作完成例2及教材中炮彈發(fā)射、臭氧層空洞的面積變化、恩格爾系數(shù)變化等實例討論.)

2.2 片段2

師：分組討論5個例子的共同點與不同點.

生6：共同點：1)有兩個非空數(shù)集；2)兩個數(shù)集之間有一種確定的對應(yīng)關(guān)系.不同點：這種確定的對應(yīng)關(guān)系可以由式子或表格或圖像表示，形式不唯一.

師：我們能否用集合和對應(yīng)的語言對函數(shù)進行重新定義？

生7：一般地，設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱從集合A到集合B的一個對應(yīng)為從集合A到集合B的一個函數(shù).

師：我們能用數(shù)學(xué)符號表示函數(shù)的概念嗎？

生8：f：A→B；y=f(x),x∈A,y∈B.

師：結(jié)合函數(shù)的符號表示，我們一起來進一步完善函數(shù)的定義.

師生：一般地，設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B是從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f(x)，x∈A.定義域：所有自變量x的值組成的集合A.值域：所有函數(shù)值f(x)組成的集合{f(x)|x∈A}[2].

2.3 片段3

2.3.1 比較反思，提高認識

思考比較今天學(xué)的函數(shù)定義與初中階段所學(xué)的定義，它們有什么聯(lián)系與區(qū)別(分組討論)？

生：1)函數(shù)的定義更一般；2)函數(shù)的要素從單一元素對應(yīng)關(guān)系到對應(yīng)關(guān)系、定義域、值域三要素；3)使得對應(yīng)關(guān)系更加突出；4)變量與常量的定義更趨于一般(當值域只有一個值時，可以看成一個變量,也可以看成是一個常量),但是兩種定義的實質(zhì)一致.

2.3.2 縱觀歷史,感悟抽象

介紹函數(shù)發(fā)展史：17世紀萊布尼茨提出“函數(shù)”一詞；并依次由數(shù)學(xué)家貝努利、歐拉、柯西、羅巴契夫斯基、狄里克雷不斷提出函數(shù)的新定義，函數(shù)定義被層層抽象概括，直到數(shù)學(xué)家康托爾的集合論被大家接受后，用集合對應(yīng)關(guān)系來定義函數(shù)概念就是現(xiàn)在高中課本里用的函數(shù)概念.隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，函數(shù)概念仍需拓廣．

學(xué)生觀點：函數(shù)的定義是兩個變量從原來確定的等式關(guān)系抽象為適用范圍更廣、形式更多樣的確定對應(yīng)關(guān)系；引入集合和對應(yīng)語言，使得函數(shù)定義的表述更為簡潔；通過數(shù)學(xué)符號表示，使得函數(shù)的定義更加抽象，但也把函數(shù)最根本的對應(yīng)關(guān)系表達出來.

3 教學(xué)思考

3.1 掌握數(shù)學(xué)抽象需要有基礎(chǔ)準備

抽象過程就是舍棄了原有事物的許多屬性，抓住事物最本質(zhì)的屬性，揭示事物的本質(zhì)屬性，這就需要能夠辨別事物的各種屬性中，哪些是重要屬性，哪些是可以舍去的屬性.數(shù)學(xué)作為一門抽象學(xué)科，對學(xué)生認清事物屬性提出了更高的要求，如果不做任何鋪墊和準備，課堂中草率地直接進入概念抽象與概括的過程，學(xué)生必然會難以理解和接受，更談不上對數(shù)學(xué)概念的理解與運用，這也就需要教師進行數(shù)學(xué)概念抽象之前在數(shù)學(xué)知識和學(xué)生心理方面做充分的準備.創(chuàng)設(shè)所要進行數(shù)學(xué)抽象的知識環(huán)境，激活知識框架中相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識，調(diào)動相應(yīng)的思維活動，為學(xué)生進一步進行數(shù)學(xué)抽象準備熟悉而又有意義的知識背景.利用熟悉的知識背景，消除學(xué)生的知識障礙和思維障礙，消除學(xué)生對未知的恐懼，延續(xù)先前的學(xué)習(xí)方式，使得學(xué)生擁有舒適而又放松的心態(tài)，從而進入良好的心理環(huán)境，為下一步的數(shù)學(xué)抽象過程做好心理上的準備.

片段1中課堂一開始，師生回顧了初中階段所學(xué)習(xí)的函數(shù)概念，并由學(xué)生給出初中階段對函數(shù)的理解.學(xué)生從所熟悉的函數(shù)概念出發(fā)，易于進入概念的學(xué)習(xí)環(huán)境，并且明確了本節(jié)課的研究對象，同時也消除了因?qū)π抡n內(nèi)容的未知而產(chǎn)生的緊張情緒.通過學(xué)生對初中階段函數(shù)概念的理解，回顧函數(shù)概念的主要屬性，為下一步的高度抽象過程奠定了數(shù)學(xué)知識和思維基礎(chǔ).回顧之后，教師并沒有急于給出課本中的3個例題，而是先引入速度與杠桿等兩個問題.學(xué)生對函數(shù)的認識，基本停留在具體的、貼近生活、具有實際的物理背景及具體函數(shù)解析上，因此通過前兩個例子，讓學(xué)生感受到“實實在在”的函數(shù)例子，讓研究的對象不再那么抽象，但抽象出來的函數(shù)解析式又為函數(shù)概念的進一步抽象奠定了思維基礎(chǔ)，這為學(xué)生的抽象思維的發(fā)展起到了承上啟下的作用.通過回顧函數(shù)概念和增加兩個初中函數(shù)實例，學(xué)生的發(fā)言變得很輕松，課堂氛圍很活躍，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時對概念理解的交流與函數(shù)解析式的出現(xiàn)以及為函數(shù)概念的進一步抽象奠定了思維基礎(chǔ)，這在后面的函數(shù)概念形成過程中得以較好地體現(xiàn).

3.2 掌握數(shù)學(xué)抽象需要有系統(tǒng)知識

掌握數(shù)學(xué)抽象不是一蹴而就、一氣呵成的，它必須是逐步的、分層次的、緩慢的，這表明數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)是一個系統(tǒng)的工程，這也要求對于數(shù)學(xué)抽象的載體——數(shù)學(xué)知識，特別是對數(shù)學(xué)概念而言，必須要理清數(shù)學(xué)概念的體系結(jié)構(gòu)，理解數(shù)學(xué)概念是如何發(fā)生的，又是如何一步步發(fā)展的，每一次的發(fā)展都蘊含著怎樣的數(shù)學(xué)抽象過程，摸清數(shù)學(xué)概念的發(fā)展軌跡，把握數(shù)學(xué)概念的發(fā)展脈絡(luò)，抓住數(shù)學(xué)概念的發(fā)展節(jié)奏；同時也要明確當前將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念的上位知識和下位知識，了解當前將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念所在局部范圍內(nèi)的地位，把握好知識在整個知識體系和局部知識體系內(nèi)的發(fā)展特點，理解數(shù)學(xué)抽象逐步、逐層的發(fā)展過程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵，更好地掌握和運用數(shù)學(xué)抽象.數(shù)學(xué)抽象的發(fā)展過程本身也具有一個自身體系，史寧中教授認為抽象的過程分為3個層次：簡約階段、符號階段、普適階段[3]．這說明我們在獲得數(shù)學(xué)抽象的過程中，必須要從紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題中，從感性的、初期的數(shù)學(xué)概念中，簡化原始概念，用簡潔的語言清晰地表達數(shù)學(xué)概念，同時通過理性思維分析富有感性的初期數(shù)學(xué)概念，對其進行加工，使得數(shù)學(xué)概念更加具有條理性，并逐漸變得更理性.在簡單而又清楚地表達數(shù)學(xué)概念之后，我們應(yīng)盡可能地用符號表示數(shù)學(xué)概念，進一步提高對數(shù)學(xué)概念的抽象程度，使得數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)更加凸顯、更加清晰.當然，每一次的概念抽象過程，都是為了能夠準確地把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，因此在每次對數(shù)學(xué)概念進一步抽象的過程中，應(yīng)始終朝著概念的發(fā)展，使得其適用的范圍更廣、普適性更強.

片段1中增加了初中的函數(shù)概念和實例，就是讓學(xué)生重新回顧初中階段函數(shù)概念學(xué)習(xí)的過程，特別是從實例中抽象出函數(shù)的概念，其實在這個過程中，學(xué)生也經(jīng)歷了數(shù)學(xué)抽象的簡約化、符號化和普適性的過程.在高中函數(shù)的形成過程中，片段1并沒有在幾個實例之后全盤給出完整的概念，而是先對概念的表述進行了簡化，如利用已學(xué)的集合語言代替“一個變化過程中”，使得概念更加簡潔，同時使得函數(shù)概念的應(yīng)用范圍更加廣泛.之后，再用符號f：A→B，f(x)來表示函數(shù)概念，進一步提升了函數(shù)的抽象過程，同時也更加明確和凸顯函數(shù)的核心：對應(yīng)關(guān)系.最后，還增加了函數(shù)概念的發(fā)展史，以此讓學(xué)生了解函數(shù)概念的發(fā)展過程，從中體會概念在發(fā)展中逐步抽象的過程，結(jié)合本節(jié)課函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，初步掌握數(shù)學(xué)抽象的基本策略.

3.3 掌握數(shù)學(xué)抽象需要有反思感悟

知識的學(xué)習(xí)需要以學(xué)生為主體、激發(fā)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生主動參與知識的學(xué)習(xí)，自主構(gòu)建自己的知識體系.其實，蘊含在數(shù)學(xué)具體知識中的數(shù)學(xué)思維學(xué)習(xí)更加需要學(xué)生主動地反思與感悟，自主地構(gòu)建自己的思維體系.數(shù)學(xué)的具體內(nèi)容是被人從現(xiàn)實世界中抽象出來的，而數(shù)學(xué)思維貫徹著整個的抽象過程，使得抽象過程能夠順利進行.可見，研究對象和研究方法的抽象使得數(shù)學(xué)思維比具體內(nèi)容更加抽象.這也就需要教師在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，創(chuàng)設(shè)學(xué)生反思的情景，引導(dǎo)學(xué)生反思的方式，對數(shù)學(xué)概念的生產(chǎn)和發(fā)展過程進行反復(fù)推敲，感悟其中的數(shù)學(xué)抽象思維，形成自己對數(shù)學(xué)抽象的理解，構(gòu)建自己的思維體系.

片段2中設(shè)置了思考“比較今天學(xué)的函數(shù)定義與初中階段所學(xué)的定義，它們有什么聯(lián)系與區(qū)別？”通過原有的函數(shù)概念與重新定義的函數(shù)概念的對比，引起學(xué)生對新定義的函數(shù)概念思考.反思新函數(shù)概念的形成過程，揭示函數(shù)的本質(zhì)是對應(yīng)關(guān)系，更加凸顯了函數(shù)的核心屬性，感悟數(shù)學(xué)抽象對研究對象的本質(zhì)屬性的取舍方式；反思新函數(shù)概念表述上的區(qū)別與聯(lián)系，使得新函數(shù)概念的使用范圍更廣，同時又包含了原有的情況，感悟到數(shù)學(xué)抽象的普適性；反思新函數(shù)概念所包含的要素，使得數(shù)學(xué)抽象出來的結(jié)論更加地簡潔、明了，感悟到數(shù)學(xué)抽象的簡約化，通過這些方面對函數(shù)概念的反思與感悟，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)抽象的方法，強化數(shù)學(xué)抽象的能力，提升數(shù)學(xué)抽象的思維，促成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的養(yǎng)成.

4 結(jié)束語

數(shù)學(xué)抽象是一個系統(tǒng)的工程，需要不斷地對數(shù)學(xué)研究對象，即數(shù)量關(guān)系及空間形式，進行觀察、比較、綜合、分析、概括，形成一次次的數(shù)學(xué)抽象結(jié)果，逐漸凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性，感受數(shù)學(xué)抽象的過程與方法，不斷提高對數(shù)學(xué)對象的抽象程度.同時，數(shù)學(xué)抽象的落實也不單單體現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中，在數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)解題中也有相似的體現(xiàn).只要創(chuàng)設(shè)好數(shù)學(xué)抽象相應(yīng)的知識與心理學(xué)習(xí)環(huán)境，明確數(shù)學(xué)抽象知識與方法的系統(tǒng)性，注重學(xué)生的個體體驗與個體理解，并及時有效地反思數(shù)學(xué)抽象的過程與方法，相信數(shù)學(xué)抽象的能力與素養(yǎng)一定會在學(xué)生當中落地生根.

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗稿)[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2] 課程教材研究所數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)(必修1)[M]．北京：人民教育出版社，2007:16.

[3] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2008.