一道高中聯(lián)賽題的解法賞析與推廣*

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(湯池中學(xué),安徽 岳西 246620)

(2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第10題)

本題形式簡單，結(jié)構(gòu)優(yōu)美，背景公平，主要考查三元柯西不等式、均值不等式的基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的算式變形能力、運(yùn)算能力、分析和解決問題能力等，對學(xué)生的邏輯推理能力要求較高，是一道難度適中的好題，在解題過程中，能夠展示學(xué)生的代數(shù)整合意識.

1 解法賞析

當(dāng)x1=1,x2=0,x3=0時(shí)不等式取等號，故M的最小值為1.

又由基本不等式可得

評注“抓基礎(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)化的作用有熟悉化、簡單化、直觀化等.本解法抓住了柯西不等式的結(jié)構(gòu)化特征，比較容易求出了最小值，學(xué)生易想易解，在求最大值時(shí)抓住均值不等式的結(jié)構(gòu)特征“和為定值積最大”，剩下的問題就是配系數(shù)使和為定值.

又因?yàn)閤1+x2+x3=1,當(dāng)x1=1,x2=0,x3=0時(shí)不等式取等號，故M的最小值為1.又由基本不等式可得

評注本解法需要善于觀察，對配方的要求較高.

解法3求最小值同解法1或者解法2.下面求最大值：由基本不等式可得

解法4求最小值同解法1或者解法2.求最大值先給出一個(gè)推廣：若x1,x2,x3是非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足x1+x2+x3=1，且0<λ1<λ2<λ3，則

(1)

從而函數(shù)f(x)在(-1,1)上必存在零點(diǎn)，于是

2 類比推廣

本題可以作如下推廣：

推廣1若x1,x2,x3是非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足x1+x2+x3=1，且0<λ1<λ2<λ3，則

推廣2若x1,x2,x3,…,xn是非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足x1+x2+…+xn=1，則

當(dāng)n=3時(shí)，推廣2即為2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第10題.

推廣3[1]若x1,x2,x3,…,xn是非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足x1+x2+…+xn=1,且0<λ1<λ2<…<λn,則

推廣4若x1,x2,x3,…,xn是非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足x1+x2+…+xn=a，且a>0,0<λ1<λ2<…<λn，則

下面給出推廣4的證明:

證明由柯西不等式可得

(x1+x2+…+xn)2=a2.

由基本不等式可得

一道好題的平淡之中見深刻的命題意圖和考查目的，根植于基礎(chǔ)知識和基本方法的考查.本題是以柯西不等式、均值不等式、二次函數(shù)、二次方程為解題的落腳點(diǎn)，作為競賽題真正體現(xiàn)了《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中所規(guī)定的教學(xué)要求和內(nèi)容，但在方法的要求上有所提高.同時(shí)，也注重考查基本知識和基本技能的掌握情況和綜合、靈活運(yùn)用知識的能力，試題的命制遵循通性通法的解題原則：思想越自然越好、方法越簡單越好、所用知識越簡單越好.

[1] 吳振奎．Канторович不等式又一初等證明[J]．中等數(shù)學(xué)，1998(1)：21．