同課異構顯風采 題組變式來復習*
——對新一輪高考復習課的幾點思考

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(衢州第二中學,浙江 衢州 324000)

1 教學案例1

1.1 知識梳理

教師直接切入正題，和學生一起從概念復習入手，回顧了“基本不等式”這節內容主要涉及的3個問題：

1)重要不等式：若a,b∈R，則a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時等號成立；

3)應用不等式求最值注意的3個重要條件：一正、二定、三相等.

1.2 正本清源

接下去教師馬上通過PPT展示以下一個題組，然后讓學生開始辨析正誤.

2)已知x≥0，那么f(x)=1+x2≥2x≥0；

點評教師通過以上題組3個問題的辨析，恰好從“一正、二定、三相等”3個方面對基本不等式求最值的3個條件進行了逐一驗證.由于題組3個問題的設置較為簡單，學生基本都能解決，這樣既復習了內容，也再次強調了3個條件缺一不可.

1.3 應用舉例

在接下來的教學過程中，教師先是以例1的形式改編了書本上一個簡單的練習題.之后教師進行了一系列的變式教學.

(人教A版《數學(必修5)》第100頁練習1改編)

點評教師先對教材上習題進行簡單的改編，然后進行一系列的變式拓展，在難度上有一個由易到難的梯度，這樣既能照顧到不同層次的學生，使所有學生都能參與進來，又能讓他們體會到題目之間的變遷聯系，可以更好地理解和掌握知識.

點評教師通過變式2和變式3，強調當基本不等式不能直接使用時，可以做適當變形，使得基本不等式派上用場.通常也可以用換元法，如變式3中可以令t=x+1，但應注意的是換元以后新變量的范圍有限制，通過換元可以將問題化歸為形如變式1的問題.變式4也可以通分化歸到變式3，進而化到變式1.

這樣就轉化為變式4的情形了(略).

解法2(1的代換)

教師最后強調解法2同樣適用在變式4中，只要將1看成是(1-2x)+2·x即可，由于時間關系就留給學生課后思考.

點評筆者認為案例1中教師這樣的題組安排與變式設計是比較合理的,其中設置的兩個題組都是圍繞著教學目標和重點展開的.尤其是例1問題的引入是從教材上一個簡單的習題開始，然后經過4個變式題螺旋式呈現，符合學生的認知規律，逐步深入，讓學生體會到題目的演變規律，在變中發現不變的本質.通過例2的呈現，將問題的難度以及解法的廣度又往前推了一步，使整堂課達到一個高潮.

2 教學案例2

2.1 復習定位

教師在教學內容的引入上先是用PPT展示了《考試說明》上的要求：會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題，為本節課的復習奠定了基調.之后教師與學生一起回顧了“基本不等式”的內容及常用的3個變形：

1)a2+b2≥2ab;

2.2 小試牛刀

教師通過一個簡單的題組讓學生思考并弄清基本不等式求最值應滿足的3個基本條件：一正、二定、三相等.

3)已知a>0,b>0，且a+b=1，求ab的最大值；

2.3 走向高考

縱觀近幾年的浙江省數學高考，不等式題型以“已知兩個變量的一個等量關系求最值問題”出現的頻率較多.

例4已知x>0，y>0，且3x+y=1，求3x·y的最大值.

變式1已知x>0，y>0，且3x+y=1，求2x·(x+y)的最大值.

教師從例4這個簡單問題入手，學生可直接根據“和為定值，積有最大值”的結論進行判斷.變式1和變式2也可以通過“不等式串”快速找到目標式與已知條件之間的關系，求出最大值即可，當然過程中還要注意到等號取到的條件.

教師通過變式3和變式4，說明當目標式和已知條件間關系難建立時，可以考慮將“1”作“3x+y”的代換，這樣就能構造出積為定值的情況.與變式4類似，只要把分式轉成整式，即可得變式5和變式6，從而讓學生體會高考題的改編歷程.

變式5已知x>0，y>0,且3x+y=xy，求x+y的最小值.

變式6已知x>0，y>0，且x+3y=5xy，求3x+4y的最小值.

(2012年浙江省數學高考文科試題第9題)

通過以上兩個變式題，學生可以感受到高考題并不神秘，并且從中找到了成功的喜悅.教師借此又增加了一個常數6，繼續改編得到變式7.

變式7已知x>0，y>0，且2x+y+6=xy，求xy的最小值.

(2010年浙江省數學高考文科試題第15題)

點評案例2中教師關于本節復習課的設計是別具一格的.整堂課緊緊圍繞著“已知二元變量的等量關系求解最值問題”展開，通過例4得到7個變式，問題的設計由易到難，精心巧妙，體現了問題循序漸進的過程，最后改編還得到了2010年和2012年的高考真題.從課堂氣氛來看，達到了較好的復習效果.

3 對新一輪高考復習課的思考

高三數學復習課作為整個高中數學課堂教學的重中之重，如何進行高效復習成了每位教師最關注的話題.筆者發現，教師的行動非常重要，除了要清楚高考考什么(即明確復習課的定位)以外，對復習課的選題、組織形式、數學思想方法的滲透等方面也應充分考慮，只有這樣才能使學生少走彎路.以下是筆者結合此次同課異構課，對于復習高效性的幾點思考：

3.1 復習課的選題要精益求精

教師在知道了高考考什么以后，要考慮的問題就是怎么考.一節課堂40分鐘，可能講解1～2個綜合性強點的高考題或是模擬題就已經不夠用了.如何才能提高效率？筆者認為選題是至關重要的.既然不可能面面俱到，那選題就應精益求精，選一些具有典型性、代表性的例題.那么該從何處來選題呢？筆者認為有兩個很好的題源值得每位教師研究：一是教材上的一些例題或習題，這些題目還是有相當豐富的內涵和廣闊的外延的，合理地挖掘，可以提升其價值；二是高考真題，高考真題應是出卷人智慧的集中體現，適度地拓展加深，也可以展現數學獨特的魅力.

從這一點看，案例中的兩位教師對于復習課的選題還是動過一番心思的：案例1的教師選擇從教材上最基本的不等式求最值入手，題目入口較寬，然后適當變式，使班中不同層次的學生都能有收獲；而案例2的教師把目標定在了高考真題上，為了降低難度讓每位學生可以跳一跳夠得到，該教師采用遞進式教學，層層鋪墊最終把學生帶進高考，展示近幾年浙江省數學高考卷中不等式題的變遷過程，破解出高考題的本質，相信每個學生都應是有收獲的.

3.2 題組與變式要精心設計

復習課的高效同樣離不開課堂的組織形式.筆者認為在復習課中恰當地開展題組與變式可以大大提高復習的有效性.題組中的題目由易到難，由單一到綜合，使基本知識、基本技能、基本數學思想方法在題組中反復出現.這樣不僅可以強化學生的認識，還可以幫助教師了解學生的掌握情況.

筆者認為上述兩個案例教學之所以取得較好的成效，與兩位教師在題組與變式教學上下功夫有很大關系.數學教學的主要任務是培養學生的思維能力，然而很多時候學生并不會去想“為什么可以這樣做，而不能那么做”，通過題組與變式的過程可以將學生的思維逐步引入到更高的層次.當然，教師對于題組與變式要精心設計，不能為“變式”而變式，使變式成為一種形式.不恰當的變式只是一種生搬硬套，揭示不了題目間的內在聯系.

在案例2中，教師對題組中的問題進行了精心設計，并由例4演變出了7個變式題，這些變式層層遞進，雖然只有兩個題組，但蘊含的題量，涉及的數學內容和思想方法卻是相當飽滿豐富的.這樣的設計使學生可以在題組與變式下辯證地思考問題，可以從中體會到題目之間的變遷關系，而這樣的變遷可能就可以深挖出高考出題的源頭,讓學生覺得高考并不那么神秘.

波利亞說過：“一個專心備課的教師能夠拿出一個有意義但又不會太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”因此適當地變式教學可以真正地以點帶面，提高復習的有效性.

3.3 數學思想要與解題方法并進

數學思想是數學解題的依據，在數學教學的過程中不可或缺.但事實上很多教師在復習課中太過于關注解題方法，以至忽視了數學思想的滲透.從這點看，兩位教師在概念復習時都有欠缺，即將教學局限在幾個重要結論的回憶上.

本節課涉及的數學思想，首先應是轉化化歸思想，當基本不等式不能使用時，像案例1中的例2及案例2中的例4及7個變式都可以用消元這樣一種通性通法去解決，同時這樣還可以體現函數不等式的思想.如果再繼續考慮，那么還可以引出線性規劃問題，體現數形結合思想.筆者建議最后思想方法的小結應交給學生，教師可以引導但不是蜻蜓點水般地灌輸給學生.

事實上，如何更好地提高課堂效率是一個永久的話題，沒有固定的方法，我們唯有不斷地實踐探究，相互切磋，試著從教學實際中找到我們永恒追求的方向.