從一道小學奧數題到高考壓軸題*

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( 泉州第五中學城東校區，福建泉州362000)

1 緣起

自從女兒上了小學后，檢查作業、輔導功課成了幾年來每天晚上的必修課．個中滋味，家里誰有誰知道．本學期開學第一天晚上，便遇上了下面的例1，細思良久，方得解．被女兒狠狠嘲笑了一番，于是發奮圖強，進行了深入探究．

2 一道小學奧數題的解法探究

如何求解本題呢？

2.1 初數觀點下的解法探究

于是

故2.035

筆者把題目曬在微信的朋友圈，各位好友踴躍互動，各路大神給出了各種建議，最后無非是解法1和下述的解法2．

即

因此

2.06

故S的整數部分為2．

2．2 高數觀點下的解法探究

筆者意識到此類數列求和問題往往可以通過積分中值定理進行放縮，于是拿起《數學分析》認真學習了一下，終于得到如下解法3．

則

f(n)

即

上述不等式累加得

f(10)+f(11)+…+f(20),

即

f(10)+f(11)+…f(20),

故

3 基于“積分中值定理”的試題命制

根據上述解法3的思路，即根據積分中值定理，我們可嘗試編制試題．

由于f(x)在(0,+∞)上單調遞增，從而

f(n)

即

(1)

因為50-ln 26≈46.741 9，50-ln 51≈46.068 2，所以

因此，可設置問題1：

為了給問題1設置解題的臺階，我們再來設置問題2．

(2)

因此，筆者擬在問題2中設置與不等式“lnx

考慮引入參數，并包裝試題，增加題干隱蔽性，從而增加試題難度．設置問題2：

問題2[2]已知函數f(x)=xlnx-ax2+ax，且f(x)≤0，求實數a的值.

綜合上述兩個問題，成題如下：

例2已知函數f(x)=xlnx-ax2+ax，且f(x)≤0．

1)求實數a的值；

(參考數據：ln 51≈3.931 8,ln 26≈3.258 1.)

4 高考類題尋蹤

尋尋覓覓，筆者在近幾年高考試題中尋得多個以此類手法命制的試題，呈現如下，與讀者共賞．

例3設函數f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf′(x),其中x≥0,f′(x)是f(x)的導函數．

1)令g1(x)=g(x)，gn+1(x)=g(gn(x)),其中n∈N+,求gn(x)的表達式；

2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數a的取值范圍；

3)設n∈N+，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明．

(2014年陜西省數學高考理科試題第21題)

例4已知函數f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0，其中a>0．

1)求a的值；

2)若對任意的x∈[0,+∞)，有f(x)≤kx2成立，求實數k的最小值；

(2012年天津市數學高考理科試題第20題)

1)若x≥0時,f(x)≤0,求λ的最小值;

(2013年全國數學高考大綱卷理科試題第22題)

例6設n是正整數,r為正有理數．

1)求函數f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(其中x>-1)的最小值;

求「S?的值．

(2013年湖北省數學高考理科試題第22題)

[1] 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準[M]．北京：人民教育出版社,2003:2-3．

[2] 崔紅光，楊蒼洲．例談試題的幾種編制方法[J]．中小學數學,2016(11):63-64.