任意存在總相伴 轉(zhuǎn)化化歸兩相宜*

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(杭州第二中學(xué),浙江 杭州 310053)

任意性和存在性問題是高考的熱點題型之一，常常出現(xiàn)在壓軸題和把關(guān)題中.由于涉及到雙變量甚至多變量的運算，是學(xué)生最難掌握的考點之一，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個難點.任意性和存在性問題常常在函數(shù)知識點中考查，但也會在不等式、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等各知識點中出現(xiàn)，源于課本，又高于課本，既能考查學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握，又能考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.在新一輪的高中數(shù)學(xué)教改中，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從培養(yǎng)學(xué)生的四基四能向提升核心素養(yǎng)轉(zhuǎn)移，而任意性和存在性問題的課堂教學(xué)，正是融入核心素養(yǎng)教學(xué)目標的優(yōu)良載體，對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、運算能力等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有積極而明顯的促進作用.

任意性和存在性問題常用的思想方法是轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合和分類討論，常用的解題思路是參變分離法和主參函數(shù)法.在解題中，首先需要辨識題目是單一的任意性或存在性問題，還是混合的任意性和存在性問題；其次是相應(yīng)的解題思路的優(yōu)先順序選擇，這就需要一個多角度的針對性解題策略.

1 單一任意性或存在性問題

在單一的任意性或存在性問題中，解題的關(guān)鍵在于清楚二者的區(qū)別.在大多數(shù)題設(shè)中，關(guān)鍵詞“任意”“恒成立”考查任意性問題，“存在”“有解”考查存在性問題，辨識度較高.

1.1 解題思路

任意性和存在性問題解題思路主要是參變分離法和主參函數(shù)法.

參變分離法就是通過對條件變形，使得雙元變量分離在等式或不等式的兩邊，轉(zhuǎn)化為求解單元函數(shù)的最值或值域問題.參變分離后，轉(zhuǎn)化化歸為如下的結(jié)論：

1)對?x∈D，f(x)>m恒成立，等價于在區(qū)間x∈D上f(x)min>m；

2)對?x∈D，f(x)

3)?x0∈D使不等式f(x)>m成立，等價于在區(qū)間D上f(x)max>m；

4)?x0∈D使不等式f(x)

主參函數(shù)法就是通過對條件變形，使得雙元變量集中在等式或不等式的一邊，另外一邊為常數(shù)(多為0)，以已知范圍變量為主變量，所求范圍變量為參變量，轉(zhuǎn)化為求解區(qū)間上含參函數(shù)的最值或值域問題，多運用分類討論的方法.

例1已知函數(shù)f(x)=ax+bx(其中a>0,b>0,a≠1,b≠1).

①求方程f(x)=2的根；

②若對任意的x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立，求實數(shù)m的最大值.

2)略.

(2016年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第19題)

分析關(guān)鍵詞“恒成立”的出現(xiàn)、含有兩個變量的不等式(其中一個變量已知范圍，求另一變量范圍),這些特征的出現(xiàn)，就是一個典型的任意性問題.

f(x)=2x+2-x.

f(x)=2可化為(2x)2-2×2x+1=0，即

(2x-1)2=0，

解得x=0.

②解法1(參變分離法)由題意得

22x+2-2x≥m(2x+2-x)-6

恒成立.令t=2x+2-x，由于x∈R，2x>0，從而

此時t2-2≥mt-6恒成立，即

當且僅當t=2時取到等號，故m≤4，即m的最大值為4.

解法2(主參函數(shù)法)由題意得

22x+2-2x≥m(2x+2-x)-6

恒成立.令t=2x+2-x，由于x∈R，2x>0，從而

此時t2-2≥mt-6恒成立，即

t2-mt+4≥0

恒成立.令g(t)=t2-mt+4，則g(t)是關(guān)于t的二次函數(shù)，只需當t≥2時，g(t)≥0恒成立，根據(jù)二次函數(shù)g(t)的圖像，可得

或

解得m≤4，故m的最大值為4.

評注參變分離法與主參函數(shù)法在大多數(shù)題中都可以使用，因此在解題時兩者都可以嘗試，具體問題具體分析，最終視解法的難易程度擇優(yōu)即可.

1.2 解題策略

在解題策略上，“把握本質(zhì)，多手準備”：1)雙元變量若能分離，參變分離法是首選的方法，因為主參函數(shù)法多會涉及含參分類討論，相對難度較大；2)雙元變量在分離過程中若需要分類討論，則需注意最后各類是取交集還是并集；3)雙元變量若分離后，已知范圍變量函數(shù)的最值求解難度過大，也可轉(zhuǎn)而考慮主參函數(shù)法；4)雙元變量若不能分離，則只能選擇主參函數(shù)法.

例21)當x∈R時，x2+mx-m2+5≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

2)當x∈[-2,2]時，x2+mx+1≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

3)當m∈[-3,3]時，x2+mx+2≥0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

1)解設(shè)f(x)=x2+mx-m2+5，則由二次函數(shù)的圖像可知，只需判別式Δ≤0即可，即

m2-4(-m2+5)≤0，

解得-2≤m≤2.

2)解條件x2+mx+1≥0可變形為

mx≥-1-x2，

要分離變量，需分類討論：

①當x=0時，0≥-1恒成立，故此時的m∈R.

綜上所述，當x∈[-2,2]時，x2+mx+1≥0恒成立，則需取三者的交集，即-2≤m≤2.

3)解法1(參變分離法)條件x2+mx+2≥0可變形為

mx≥-2-x2，

需分類討論：

①當x=0時，0≥-2恒成立，故滿足題意.

解不等式得x≤1或x≥2,即0

解不等式得x≤-2或x≥-1,即x≤-2或-1≤x<0.

綜上所述，當m∈[-3,3]時，x2+mx+2≥0恒成立，則需取三者的并集，即x≤-2或-1≤x≤1或x≥2.

解法2(主參函數(shù)法)設(shè)g(m)=xm+x2+2，其中m∈[-3,3]，則g(m)為一次函數(shù)，其函數(shù)圖像為線段.由題意可知，g(m)≥0在m∈[-3,3]上恒成立的充要條件是

解得x≤-2或-1≤x≤1或x≥2.

評注第1)小題中的變量不能分離，只能選擇以已知范圍的x為主元、以m為參數(shù)的主參函數(shù)法.第2)小題中變量可以分離，但需對已知范圍的x進行分類討論，最后由于恒成立需對所有分類的x成立，因此分類結(jié)果應(yīng)求交集.第3)小題中參變分離法也需討論，但由于是對求解范圍中的x進行分類討論，恒成立只需每個分類的x成立即可，因此分類結(jié)果應(yīng)求并集；第3)小題中主參函數(shù)法，由于已知范圍的變量是m，因此g(m)以m為函數(shù)變量、以x為參數(shù)，又g(m)的圖像是線段，故只需兩個端點滿足題意即可.題中所給條件不同，解題策略也應(yīng)擇優(yōu)而選.

1.3 可轉(zhuǎn)化任意性和存在性的問題

有些不等式或等式的題設(shè)中并沒有任意性和存在性的關(guān)鍵詞提示，需要通過數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理來分析、轉(zhuǎn)化為任意性或存在性問題.如在區(qū)間D上證明f(x)

1)略.

2)證明：f(x)>1.

(2014年全國數(shù)學(xué)高考新課標卷Ⅰ理科試題第21題)

分析這道題實際上是恒成立問題，一般優(yōu)先考慮f(x)min>1，通過求導(dǎo)，進而得到單調(diào)區(qū)間，求得函數(shù)的最小值.而

要判斷正負比較困難，即使二次求導(dǎo)也非常復(fù)雜，因此應(yīng)考慮通過變形，拆解成兩個易求最值的函數(shù)，而拆解的原則是把復(fù)雜的exlnx中的ex與lnx分離.

證明要證當x>0時，f(x)>1，即證

可化為

xexlnx+2ex-1>x，

即

xlnx>xe-x-2e-1.

分別設(shè)g(x)=xlnx,h(x)=xe-x-2e-1,

則g′(x)=lnx+1，h′(x)=e-x(1-x).

當x=1時，h′(x)=0;當x∈(0,1)時，h′(x)>0；當x∈(1,+∞)時，h′(x)<0，因此

由于g(x)min與h(x)max相等，但又不能同時取到，因此g(x)>h(x)對于x>0恒成立，即f(x)>1.

評注在單元函數(shù)的任意性問題中，若不等式f(x)>g(x)在區(qū)間x∈D上恒成立，則一般先考慮其充要條件：在區(qū)間x∈D上，

F(x)=f(x)-g(x)>0，

即

F(x)min>0，

但F(x)min并不一定易于求解，因此也可以考慮其充分條件：在區(qū)間x∈D上，f(x)min>g(x)max，分別計算兩個函數(shù)的最值，同時視最值計算的難易，可以考慮對f(x)>g(x)變形，重新拆分成易于求最值的兩個函數(shù).

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第17題)

等價于

而由g′(x)=0，解得x=±2,則當x∈[1,2)時，g′(x)<0，即g(x)單調(diào)遞減；當x∈(2,4]時，g′(x)>0，即g(x)單調(diào)遞增,從而

g(x)min=g(2)=4，

g(x)max=max{g(1),g(4)}=max{5,5}=5,

于是

故

2a-5≤4，

即

f(1)=f(4)=|5-a|+a=5-a+a=5.

評注恒成立問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，但其實函數(shù)的最值問題也可以轉(zhuǎn)化為恒成立問題.本題的常規(guī)解法是通過分類討論求函數(shù)在區(qū)間上的最值，顯然對于很多學(xué)生來說過于復(fù)雜.我們要讓學(xué)生知道，函數(shù)最值問題本質(zhì)上只需同時保證一個任意性問題和一個存在性問題：1)f(x)≤m(≥m)在x∈D上恒成立；2)f(x)=m在x∈D上有解，則m就是f(x)在x∈D上的最值.

2 任意性和存在性混合問題

在雙元變量函數(shù)問題中，若任意性和存在性問題同時出現(xiàn)時，由于兩個變量的變化不同步，多采用分離變量，使得問題分離，進而分清兩個函數(shù)的最值或值域關(guān)系是關(guān)鍵.

2.1 轉(zhuǎn)化為獨立的最值問題

在不等式中，分離變量后，任意性和存在性混合問題可轉(zhuǎn)化化歸為如下的結(jié)論：

1)若?x1∈D1，?x2∈D2，則f(x1)≤g(x2)成立的充要條件是f(x)max≤g(x)min；

2)若?x1∈D1，?x2∈D2，則f(x1)≤g(x2)成立的充要條件是f(x)max≤g(x)max；

3)若?x1∈D1，?x2∈D2，則f(x1)≤g(x2)成立的充要條件是f(x)min≤g(x)min；

4)若?x1∈D1，?x2∈D2，則f(x1)≤g(x2)成立的充要條件是f(x)min≤g(x)max.

1)略.

(2010年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

分析原題條件可轉(zhuǎn)化為：f(x)在(0,2)上的最小值大于等于g(x)在[1,2]上的最小值，但由于g(x)在[1,2]上的最小值需要分類討論，因此不妨先求出f(x)在(0,2)上的最小值，進而把問題轉(zhuǎn)化為單一的存在性問題，用參變分離法更加簡便.

當x∈(0,1)時，f′(x)<0，即f(x)單調(diào)遞減；當x∈(1,2)時，f′(x)>0，即f(x)單調(diào)遞增，因此f(x)在(0,2)上的最小值為

亦即

則

從而h(x)在x∈[1,2]上單調(diào)遞減，于是

故

評注不等式任意性和存在性的混合問題，既可以按照上文結(jié)論分別求最值，也可優(yōu)先解決其中一個問題，進而轉(zhuǎn)化為單一的任意性或存在性問題，更加易于學(xué)生把握.

2.2 轉(zhuǎn)化為值域包含問題

在等式中，分離變量后，任意性和存在性混合問題可轉(zhuǎn)化化歸為如下的結(jié)論：設(shè){f(x1)|x1∈D1}=A，{g(x2)|x2∈D2}=B,則

1)?x1∈D1，?x2∈D2,f(x1)=g(x2)成立的充要條件是A=B;

2)?x1∈D1，?x2∈D2,f(x1)=g(x2)成立的充要條件是A?B;

3)?x1∈D1，?x2∈D2,f(x1)=g(x2)成立的充要條件是A∩B≠φ.

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題改編)

解當x>0時，

q′(x)=g′(x)=2k2x+k；

當x<0時，

q′(x)=f′(x)=3x2-2(k2-k+1)x+5.

若k=0，則當x>0時，q′(x)=0；當x<0時，

顯然不滿足題意，故k≠0.

當x>0時，q′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，其值域為(k,+∞)，記作A，即A=(k,+∞)；

當x<0時，q(x)的圖像為開口向上的拋物線，由于其對稱軸

故q′(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，其值域為(5,+∞)，記作B，即B=(5,+∞).

綜上所述，對任意給定的正實數(shù)x1，存在唯一的負實數(shù)x2，使得q′(x1)=q′(x2)成立，則A?B，即k≥5.

評注等式任意性和存在性的混合問題，可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)在各自定義域下的值域包含問題，思路清晰，知識點熟悉.

任意性和存在性問題考查形式多樣，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、轉(zhuǎn)化化歸能力和創(chuàng)新思維能力要求較高，符合新教改關(guān)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求.學(xué)生只要把握其數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過合理的轉(zhuǎn)化化歸為函數(shù)最值、值域等函數(shù)性質(zhì)問題，進而運用分類討論、數(shù)形結(jié)合和函數(shù)方程思想，就能找到此類問題的突破口.

浙江省數(shù)學(xué)高考一直以來都有“重思維，重本質(zhì)”的特點，而任意性和存在性問題的解題策略強調(diào)重視思維過程，重視數(shù)學(xué)本質(zhì)，符合文理合卷后的新教改精神，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，值得我們在教學(xué)中重點研究和關(guān)注.