例談數學教學中的本質揭示*

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(秀州中學,浙江 嘉興 314000)

●楊 威

(鎮海中學，浙江 寧波 315200)

文獻[1]在數學課程的十大基本理念中第七點“強調本質，注意適度形式化”中指出：“在數學教學中要強調對數學本質的認識，否則會將生動活潑的數學思維活動淹沒在形式化的海洋里……”，尤其是在“指向高中數學核心素養的教與學研究”中，研究數學問題的本質揭示就有了重要的意義.“張金良名師工作室”于2017年9月4日在浙江省杭州高級中學舉行了以“指向高中數學核心素養的教與學策略——數學問題的本質揭示”為主題的“名師面對面”活動，引起了與會者的濃厚興趣．數學的教學過程應當努力反映數學問題的本質特征，并且在數學的產生、發展、應用的全過程中去貫穿．筆者以人教A版《數學(選修2-3)》第二章“隨機變量及其分布”教學設計為例，談談如何在課堂教學中揭示數學問題的本質．

1 在“數學期望”教學中落實對“期望本質”的理解

數學中任何一個概念、定理、定義的產生必然經歷了漫長的時間的檢驗，曾經也可能有過曲折與反復、分歧與斗爭、停滯與突破.了解知識發生和發展的過程，認識到數學問題的本質，才能更好地加深對問題的認識．“隨機變量及其分布”課堂設計的幾個片段，從最初的“怎么算期望”，到“為什么這么算期望”，到“怎么算簡單”，到“期望的其他應用”，層層遞進，揭示期望的概念本質，展現“不一樣的期望”．在解決數學問題的過程中，在思考數學問題的方法中，在揭示數學問題的本質過程中，逐步提升自身的數學素養與思維水平．

1.1 創設情境，期望之初探

片段1據新聞報道：2005年，麻省理工大學的一群大學生通過分析“Cash WinFall”彩票的投入和回報期望，發現了新規則的漏洞．2005年2月7日，其中一位大四的學生一次性購買了1 000張彩票，獲得了大約3倍于投入額的獎金，之后他們組成“隨機策略”團隊專注于通過統計手段分析彩票漏洞，獲利頗多，使得“Cash WinFall”彩票游戲于2012年1月26日退出了該地區彩票市場．

設計意圖概率起源于賭博問題，生活中許多問題都要用到數學中概率論的知識．它可以幫助設計者制定規則，也可以讓游戲者利用概率論的知識獲取更多的利益．同時讓學生了解，這中間用到的知識就是概率論，尤其是獎金額的大小設置就是利用數學期望來確定的．這是對期望的最初的認識，也是第一層次的理解．同時，為下面如何設計一個簡單的摸獎游戲作鋪墊，同時再次體會數學是來源于生活的．

1.2 創設游戲，期望之發展

片段2某班決定進行一次班級聯歡活動，規則是：袋子中有8形狀大小完全一樣的球，其中4個球標的面值為10元，另4個球為5元．每位同學從袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該同學所獲的獎勵額．

1)作為體育委員的小王，很想知道如果自己去抽獎，最有可能獲得幾元的獎勵，且獲得該獎勵額的概率有多大，你能幫他算算嗎？

2)作為學習委員的小吳更想預知，全班50位同學共有多少位有幸抽得最高獎20元，一半同學抽得最高獎勵額的概率有多大？

3)作為班長的小李，想知道這一規則是否會超出班費獎勵總額預算600元？

4)還有什么方法能夠讓所花費的總額控制在預算之內？

設計意圖這個摸獎游戲是賭博問題的再升華，通過一連串的設問層層遞進，復習一個思想(概率思想)、二個模型(超幾何分布、二項分布)、三個關鍵(分布列、期望、方差)．在問題4)中利用開放性的問題設置，向學生揭示概率、期望的本質意義，引導學生認識期望在決策中的作用．

學生活動學生通過對問題的解答，復習相關知識并理解期望作為平均數的意義，尤其是問題4)學生通過對期望公式的分析，會得出“減小最大隨機變量取值時的概率”和“減小最大隨機變量取值”這兩種方法．這是在期望計算過程中得到的結論，在運算角度初步了解期望，這是理解期望的第二層次．

1.3 考題計算，期望之回望

片段3已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍球(其中m≥3,n≥3)，從乙盒中隨機抽取i(其中i=1,2)個球放入甲盒中．

1)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數記為ξi(其中i=1,2)；

2)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(其中i=1,2,)，則

( )

A．p1>p2,E(ξ1)

B．p1E(ξ2)

C．p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)

D．p1

(2014年浙江省數學高考理科試題第9題)

設計意圖體會期望作為均值的意義，期望反映了隨機變量取值的平均水平．當m=n時，從乙盒中取出一個球放入甲盒相當于取出0.5個紅球和0.5個藍球放入甲盒．球本沒有半個，但是這種“相當于”的等價理解方式才是期望的本質，進一步讓學生體會期望作為均值的意義所在．

學生活動大部分學生采用寫分布列以及公式法求期望的方法，運算難度大．教師通過引導日常生活中的例子，逐步向學生闡述“當m=n時，從乙盒中取出一個球放入甲盒相當于取出0.5個紅球和0.5個藍球放入甲盒”這一期望本質，這是學生理解的第三層次．

1.4 大數據化，期望之應用

片段4某地區進行某種疾病普查，為此要檢驗每一個人的血液，如果當地有N人，若逐個檢驗就需要檢驗N次，現在問：有沒有辦法減少檢驗的工作量？例如現在要對某個學校今年將要畢業的900名高三畢業生進行乙型肝炎病毒檢驗，可以利用兩種方法：

①對每個人的血樣分別化驗，這時共需要化驗900次.

②把每個人的血樣分成兩份，取其中m個人的血樣各一份混合在一起作為一組進行化驗，如果結果為陰性，那么對這m個人只需這一次檢驗就夠了；如果結果為陽性，那么再對這m個人的另一份血樣逐個化驗，這時對這m個人一共需要m+1次檢驗．

據統計報道，對所有人來說，化驗結果為陽性的概率為0.1.

1)求當m=3時，一個小組經過一次檢驗就能確定化驗結果的概率是多少？

2)試比較在第2種方法中，當m=4和m=6時哪種分組方法所需要的化驗次數更少一些[2]？

設計意圖在實際問題中，人們為了最大限度地降低風險，常常根據事物的進展情況和隨機因素的信息，把數學期望作為決策參考的重要依據．離散型隨機變量的數學期望能夠反映離散型隨機變量取值的平均水平，正是因為它所具備的這種“平均”特點，使得數學期望脫穎而出，從最大程度上用來刻畫、反映各種隨機因素的影響，從而成為風險決策的兩大數字特征之一．尤其是在大數據時代，期望在解決實際問題的過程中發揮著重要的決策作用．這是對期望理解的第四層次，也是期望的應用價值所在．

2 在課堂教學實踐中對于數學問題本質揭示的反思

2.1 對“數學本質”的再認識

從微觀上看，數學問題的本質就是指具體數學內容的本真意義.某個具體內容的數學本質具有兩面性，既表現為隱藏在客觀事物背后的數學知識、數學方法、數學規律，又表現為隱藏在其知識本身背后的本質屬性，更加表現為統攝具體數學知識與數學方法的數學思想、數學素養．“從教與學的觀點來看，數學本質的內涵包括：數學知識的內在聯系、數學規律的形成過程、數學思想方法的提煉、數學理性精神的提煉等”[3]．文獻[1]中也指出：“數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質”，“通過典型例子的分析和學生自主探究活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊含在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態”.

2.2 本質揭示——抓住數學概念教學的落腳點

概念是高度概括和抽象的，如果教師采用“一讀而過”或“機械性的記憶加大量的鞏固練習”的方式進行應付，造成了學生的概念學習是建立在概念基礎上的知識、方法、思想而沒有深刻感悟的被動局面，對概念的認識是膚淺的、不深刻的．在概念教學中，教師若抓住了概念的本質，追溯概念本源,展現其形成過程,挖掘其內涵和外延，則能真正培養學生的數學抽象能力，這樣才可以多角度強化對概念本質的理解，并能對概念的理解升華到一個新的高度，從而感悟概念的本質．

例如，在上面的案例中，筆者沒有將期望的定義直接機械性地給出，或者僅僅通過練習簡單地告訴學生如何求期望，而是僅僅圍繞對“期望”本質也就是均值的概念去開展教學設計，展現了“期望”這個概念從發生、發展、研究到大數據應用的這樣一個過程，這也正是追本溯源、挖掘“期望”概念的抽象形成的過程，學生可以更加全面地認識什么是“期望”．

2.3 本質揭示——注重數學思想方法的挖掘

數學思想方法不是孤立存在的，它總是“以具體的數學問題、數學知識等為背景，蘊含在具體的數學問題的解決過程中，蘊含在數學所有知識體系結構中，它是整個數學知識結構體系的有力支撐”[4]．我們現在所講的數學核心素養，某種意義上來說也是一種對數學知識、數學思想方法的沉淀．因此，教師在平時的教學過程中，無論是概念課、習題課、復習課，都應該不斷加強對數學思想方法和數學核心素養的滲透，讓學生既能學到知識，又能感悟其中蘊含的數學思想方法、數學核心素養，從而提升理性思維的水平．

例如，在上面的教學案例中，先通過一個新聞報道讓學生體會到“期望”是一種決策的重要依據，再通過設計摸獎的小游戲，幫助學生在面對決策問題時應樹立“概率思想”，而這也正是“期望”本質所體現的具體數學思想．再如，在習題課“函數的圖像”教學設計過程中，應緊緊把握函數圖像這個“形”的特征，采用“畫圖—識圖—用圖”的方法，從不同的角度、不同的視角、不同的層次理解數學問題之間的內在聯系，將抽象的數學語言與直觀的數學圖像結合起來，體會其中蘊含的數形結合思想，提升其直觀想象和邏輯推理的核心素養．

2.4 本質揭示——倡導數學學習方式的轉變

在數學問題本質揭示的教學過程中，倡導深度學習．在新課程改革的過程中，學生通過自主學習、合作學習、探究式學習、研究性學習的開展，開闊了學生的眼界，拓展了學習的方法，增強了學習的興趣．尤其是與信息技術的有機整合等等都反映了一個事實——那就是新課程倡導數學學習方式的轉變．反過來，這些新的學習方式也更加有助于學生了解數學概念以及數學結論產生的過程，理解直觀和抽象的關系，讓學生通過對數學知識、數學結論得到過程的探究，培養學生發現問題、提出問題、解決問題的能力，與此同時發展學生的創新意識和實踐能力．

2.5 本質揭示——體現對數學文化的追求

數學是來源于生活的，數學中的每一個知識都是為了解決生活中的某一個或者某一類問題而產生的．在這些日常生活問題的解決過程中，形成了獨特的數學文化．因此，這也是數學知識本質的來源之一．在數學知識本質的探索過程中，可以通過介紹數學的歷史發展進程，尤其是數學突破時那種為科學獻身的勇氣，欣賞世界上著名數學問題，感悟著名數學家對那些知識孜孜不倦、百折不撓的探索經歷等等，感受數學的博大精深，激發學生學習數學的熱情．