教學設計之道在于“度”*
——從中學數學概念教學設計中的“常見過度現象”談起

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(灌南縣教育局教研室,江蘇 灌南 222500)

教學設計是對所有教與學活動和教學過程中所需的工作做出具體說明的教學實施計劃過程，是一種系統化過程.也就是為達到教學目標，對于教什么、怎樣教、學什么、怎樣學而進行的規劃，它與其他形式計劃的主要區別在于精確性、細致性和科學性，因此教學設計是教學活動的重要前奏，是優秀的教學活動的保障與保證.但在目前的教學設計中，還存在著一些過度現象，這些現象制約著課堂效益的提高，本文試以中學數學概念教學設計為例來加以說明．

1 概念的定義教學設計過度記憶化

案例1在“合情推理”這一課教學設計中，某教師為加深對歸納推理概念的理解，設計讓學生反復朗誦與記憶“歸納推理”的概念定義：從個別事實中推演出一般性的結論，像這樣的推理通常稱為歸納推理，歸納推理的思維過程大致是從實驗、觀察到概括、推廣到猜測一般性的結論．

對策概念的知識性目標設計要有度——并非越突出越好，要防止概念定義設計的背誦化.

對于“合情推理”的教學設計，不同的教師對此可能有不同的設計理解：第一種設計是把它作為一種概念，從而針對概念理解的設計就會把知識性目標設計作為重點，就是說會認為主要任務是弄清什么叫歸納推理，也就會出現上述設計中讓學生反復記憶朗誦的現象；第二種設計是把它看作一種方法，就是要重點掌握它的步驟是什么，怎么去操作第一步、第二步、第三步……怎么去歸納，進一步提高歸納與分析的能力；第三種設計是把它看作是一種態度，這是一種對未知的態度，設計的重點就是學生面對未知的問題，能夠有一種探求的欲望，有探索的欲望．

那么“合情推理”這節課的設計，到底應定位在哪個層面？正如江蘇省特級教師張乃達老師指出的，概念不是主要的，不要背誦，尤其不需要反復朗誦與記憶．方法是步驟，也不是主要的，因為學生也已有這方面的基礎．這節課的核心應放在態度上，看到一個東西，就想找到規律，要讓學生去想探索、發現問題的規律或解決問題的方法．正如《普通高中數學課程標準(2017年)》在課程目標中所提到的，要“通過高中數學課程的學習，學生能提高學習數學的興趣，增強學好數學的自信心，養成良好的數學學習習慣，發展自主學習的能力”．這節課的教學設計中要突出體現對學生的探索習慣、興趣愛好、意志力等等的培養，設計重點應著力于發揮學生的主觀能動性，那怕是讓學生只“發現”一點點的規律和方法，讓學生享受到一點點成功的喜悅，就是這節課的成功．因此這一節課不是設計問題的證明有多少種方法，也許教師對問題的證明有各種各樣的甚至是精彩的方法，但這些方法只能是備課時的準備，只能是上課時的預案，不是拿來展示與欣賞的.這一節課更不是看定義記憶得怎么樣，要防止對“基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”的理解過于狹窄，將概念的定義教學設計成像語文閱讀那樣，變成對學生進行過度的記憶訓練與朗誦．

2 概念的引入教學設計過度情境化

案例2在“弧度制”的教學設計中，一位教師的設計是通過引入關于“弧度制”的現實生活背景進行的：某單位要設計一個扇形的草坪，要求草坪外圍的周長恰為半徑的3倍，你能求出該扇形的中心角嗎？由此引出使用弧度制的必要性．

對策概念的引入背景設計要有度——并非越現實越好，要防止概念的現實背景設計自由化.

在教學過程中，教師有目的地引入或創設具有一定感情色彩的、以形象為主體的生動具體的場景，能引起學生一定的態度體驗，從而幫助學生理解教材，并使學生的心理機能得到發展.這樣的情境教學與設計能夠很好地激發學生的情感，但目前也出現了片面理解情境教學的現象，有些教師在概念的引入設計中過度關注現實背景情境，現實背景問題設計由教師自由移植、構造，甚至臆造，看似有趣有效，可是實際上卻經不住推敲，缺乏科學性．如角度制很自然，為何要學弧度制？這樣的問題從類似于上述關于“扇形草坪”的各種現實背景中去創設生活情境很難解釋清楚，也顯得不倫不類．

雖然在學習中讓學生完全經歷知識產生的過程甚至重復其過程，這是不可能的，更是不必要的.不過物極必反，完全不理會前人所走過的道路，一味地追求現實背景，就會導致概念的引入教學設計過度情境化，這對數學概念的理解也很不利．對于一些難以創設合適現實背景生活情境的教學內容，也可以利用歷史背景進行引入設計，如對于“弧度制”教學設計而言，不同的單位制能給解決問題帶來方便，弧度制為面積與弧長以及微積分中有關三角函數的計算帶來很大的方便．正是由于這個原因，在現代數學文獻中，與三角函數有關的角一律采用弧度制[1]，這樣從歷史背景中進行設計也許能抓住問題的實質．而對于一些從現實背景和歷史背景都難以創設合適情境的內容來說，也可以從知識內部進行設計引入，甚至采取開門見山的方式直接切入也未嘗不可，需防止概念的現實背景設計自由化現象．

3 概念的符號表示教學設計過度深化

案例3在“數列”概念定義教學設計中，一位教師為深化對“數列概念”符號表示的理解，設計了這樣的問題：由{an}中的“{}”你能想到什么？{an}與{a1,a2,…,an}有何不同？一列數與一列數的集合有何不同？

對策概念理解的符號表示設計要有度——并非越深化越好，要防止符號表示的復雜化.

德國數學史家內塞爾曼在《希臘代數學》中，把代數的發展分為3個時期：文字代數(即完全用文字)、半符號代數(即用縮寫文字)、符號代數．符號體系的建立，不僅促進了人們對代數的深刻認識，也使人們認識到引入適當符號體系對發展數學的必要性.后來的近現代數學發展中則保持了這樣一個特點：即在引入一種新的數學概念的同時，一般要引入表示它們的符號，而數學概念常可分為3類：一是反映基本元素的概念，如集合、數列等；二是反映相互關系的概念，如平行、包含等；三是反映對象特性的概念，如奇偶性、周期性[2]．因此既可以用符號來表示數和量等基本元素，也可以表示某種運算、某種關系，也可以表示對象特性．數學符號表示形式多樣，它在概念理解與獲得過程中又起著重要的作用，因此必須搞清它的意義.但是有些符號，尤其是一、二類概念中的一些符號表示，如上述“數列”教學設計中的數列概念符號表示，僅僅是作為記號而已，只是相當于一種描述性的甚至是直觀性的記號，是一種合理的規定，起到對定義的簡化作用，使學生對概念易于理解和梳理．但有些教師為了追求問題的深度，對這樣的符號表示進行過分的形式化挖掘與復雜化訓練，超越了學生的認知水平，和學生的認知情況形成反差，看似想加深對數列概念的理解，實則影響、干擾了學生對數列概念的理解，效果不佳，因此應防止在數學概念符號表示過程中出現的復雜化傾向．

4 概念的分解教學設計過度細化

案例4在“函數的單調性”一課教學設計中，一位教師為方便學生的理解，想突破“函數的單調性的數學語言表示”這一難點，將“隨著時間的增加，氣溫逐漸升高”分解為：“如何用數學語言表述時間增加”“如何用數學語言表述氣溫升高”“如何用數學語言表述隨著時間的增加，氣溫升高”；將“如何用數學語言刻畫單調增函數定義”分解細化為：“如何用數學語言表示x增大”“如何用數學語言表示f(x)增大”“如何用數學語言表示f(x)隨著x增大而增大”這樣一些碎片化的鋪墊性問題．

對策概念理解的問題鋪墊設計要有度——并非越細越好，要防止問題分解的碎片化.

上述案例中的教學設計就像剝大蒜一樣，把一個整體的思維過程加以拆解，把一個大的問題自由切割成一系列碎片化問題[3]，把“隨著時間的增加，氣溫逐漸升高”分解為：“如何用數學語言表示時間增加”“如何用數學語言表述氣溫升高”“如何用數學語言表述隨著時間的增加，氣溫升高”，表面上看是“迎合”了學生的認知，學生易于接受，實際上低估了學生的認知能力，使學生缺乏自己的建構，看似理解了“隨著時間的增加，氣溫逐漸升高”的數學語言表述，實際上對于函數單調性本質的理解難以有認識．事實上，學習并不是簡單的分解與組合，數學發展史與學生學習數學的實際已充分表明：數學概念的產生與發展，從來都是以整體形式出現，并不斷獲得改造、修正完成．為此，對概念教學進行問題設計時，應在概念產生的源頭設計初始性的整問題、母問題、主問題，這樣才能讓學生真正解決問題并能學會發現問題、學會提出問題．正如德國教育家第斯多惠指出：“不好的老師轉述真理，好的老師教學生去發現真理．”[4]

教學設計應使課堂成為運動的教學系統，應引領學生作為一種活生生的力量，帶著自己的知識、經驗、思考、靈感、興致參與課堂活動，使課堂教學呈現豐富性、多變性、復雜性[5]．因此良好的教學設計之道在于“度”，它能為課堂教學過程的順利展開提供藍圖，它不僅為形成課堂教學中的師生有效互動提供了保證，更為促進課堂教學中的人的主動發展提供了前提和保障．