學習力視角下數學課堂教學的難點突破*
——以“方程的根與函數的零點”為例

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(浙江師范大學附屬寧波市四明中學,浙江 寧波 315040)

●唐恒鈞

(浙江師范大學教師教育學院，浙江 金華 321004)

在信息化社會，學會學習已成為學校教育的一個重要目標，而學生學習力的發展是實現學會學習的重要保障.文獻[1]提出了數學學習力的結構模型，其中3個基礎性要素為“知識與經驗”“思維與方法”“興趣與價值”[1].這事實上也為課堂教學的難點突破提供了指向.具體地，課堂教學的難點往往產生于3個方面：1)新學內容本身過于抽象；2)學生缺乏學習新學內容的知識與經驗基礎，缺少固著點；3)學生對新學內容缺乏價值感.筆者正是基于這些方面的思考，通過課例的形式開展如下教學探索.

1 課例設計的背景與基本思想

“方程的根與函數的零點”設置在《數學(必修1)》第2章借助圖像研究了基本初等函數的性質之后和第3章應用函數模型解決實際問題之前，為下節課“用二分法求方程的近似解”等算法的學習作準備，起著承上啟下的作用，對于學生核心素養的提升與發展起著非常重要的推動作用.

由于學生認知水平的局限性，學生對于圖像穿過x軸這種直觀感受不夠深刻，也缺乏用抽象的代數符號來描述這種現象的學習經驗，因此對于零點的存在性定理在理解上存在較大的困難.

在教學設計中遵循了以下思路：提高學生對函數的廣泛運用以及函數與方程等數學內容有機聯系的認識，加強知識之間的聯系，具體體現在結合函數的圖像、判斷方程根的存在性及根的個數，從而了解函數零點與方程根的關系，進而探究函數零點存在的條件.為了突破難點，筆者嘗試通過借助信息技術手段，經歷具體的二次函數到一般的二次函數再到一般的函數的過程，層層遞進，設計恰當的問題[2]，自然地引出函數零點存在的兩個條件.

2 教學過程簡錄

問題1浙江省紹興市某日早晨2時的氣溫是-1 ℃，中午12時的氣溫是4 ℃，在這段時間內，假設氣溫是均勻變化的，問是否存在某時刻的氣溫為0 ℃？你能從數學的角度來解釋這個現象嗎？

設計意圖從學生熟悉的生活實際出發，引導學生復習函數的概念，得出該函數是一次函數.教師追問函數的圖像，學生可能會忽視定義域[2，12]，回答是一條直線，教師及時糾正，再引導學生從形的角度觀察是一條穿過x軸的線段，因為經過點(2,-1)與點(12,4)，又是連續不斷的，必然會與x軸相交，引導學生思考“如果從數的角度怎么解釋呢？”從而自然地引出本節課的課題.

問題2用幾何畫板展示方程x2-2x-3=0，x2-2x+1=0，x2-2x+3=0的根及對應函數的圖像，再用動畫演示一元二次方程的一般形式中改變各系數時對應的動態圖像.請大家觀察具體的一次、二次方程的根與對應的函數圖像，你能發現這其中有什么關系嗎？這種關系能在一般形式的二次函數中成立嗎？

設計意圖從學生熟知的、具體的二次函數入手，在學生的最近思維發展區設置問題，使新知識與原有知識形成聯系，并通過從具體到一般的認知過程，自然地給出零點的概念.這樣做，既有利于學生掌握知識，又有助于學生抽象思維能力的形成，培養他們的歸納概括能力，同時用動畫演示非常形象生動，讓學生在直觀上對二次方程的根與交點的橫坐標之間的關系有深刻的印象.

問題3方程的根、函數圖像與x軸是否有交點以及函數的零點之間有什么關系？除了二次函數之外，其他函數也有這種關系嗎？

設計意圖引導學生討論得出在具體的二次函數中存在等價關系，事實上可以推廣到一般的二次函數中，進而可以推廣到更一般的函數中，體會“具體到一般”的數學思想.教師在學生回答的過程中應及時糾正引導，三者雖然是等價關系，但涵義是不相同的，并且等價關系具有傳遞性，即方程有實數根、函數圖像與x軸有交點以及函數有零點是相互等價的，可以相互進行轉化.

問題4那又怎樣判斷函數有沒有零點呢？

設計意圖希望除了用方程有沒有根、函數圖像與x軸有沒有交點之外，尋求別的方法，自然地去探究零點的存在性定理.結果這里學生的回答比較出乎預料，從學生的回答中發現他們有根深蒂固的認識，就是方程的根就只理解為一元二次方程的根，這也是知識負遷移的結果，教師應引起重視.

問題5除了求相應方程是否有根外，還可以用什么方法呢？請大家觀察函數y=x2-2x-3的圖像，你能發現什么現象？

(用動畫演示函數圖像上的動點從x軸上方穿過下方、再從下方穿過上方的動態的過程，同時用聲音突出顯示動點穿過零點所在的位置時的變化，以及用顏色顯示相應端點函數值的符號變化，加深學生的直觀感受.)

問題6我們發現，二次函數f(x)=x2-2x-3在區間[-2,1]和區間[2,4]內各有一個零點，在這兩個區間內，函數圖像有什么共同點？函數值的變化有什么共同點？

設計意圖希望學生得出函數圖像的共同點是“經過x軸”，函數值的變化共同點是“在零點的左右兩側，函數值異號”[3]，體現從形到數的思想，也體現出從動到靜的變化，但是學生對于把“穿過x軸的圖像特征”轉化為“代數表示”是有很大難度的，對零點存在性定理的概括和準確描述也是有困難的.于是組織學生討論：在區間[-2,1]內，f(-2)>0，f(1)<0，函數值一正一負，在區間[2,4]內，f(2)<0，f(4)>0，函數值一負一正，它們可以歸類為函數值異號.并進而引導學生建構出用兩個函數值相乘為負(f(a)·f(b)<0)來表示異號.

問題7剛才發現，當這個二次函數在區間的兩個端點上函數值異號時有零點，那函數值同號時的情況又怎樣呢？

設計意圖引導學生從直觀上感受發現函數值同號時可能有零點，也可能沒有零點，在此可以借助信息技術多展示一些基本的初等函數圖像，比如當Δ=0時的二次函數圖像，為幫助學生理解零點存在性定理中的條件是充分不必要的做好準備.

問題8進一步把問題進行推廣，在討論中發現：若二次函數在區間兩端點上的函數值異號時，則在這個區間有零點；若同號，則不一定不存在零點.這個結論能推廣到一般的函數嗎？需要符合什么條件？

設計意圖對于函數零點的存在性定理，由于高中不講“連續函數”的概念，不可能以有關連續的定義來進行推理，《數學(必修1)》的教師教學用書也明確提出只要求學生理解并會用，不需給出證明，因此只需讓學生從直觀上再次體會“具體到一般”的思想，探究后自然地得出函數零點存在的兩個條件[4]，讓學生嘗試描述零點存在性定理，并完善補充.

在之后的教學中，通過4個辨析題加深對零點存在性定理的理解.因為零點存在性定理中的條件對于結論而言是充分不必要的，而且結論是至少存在一個零點，要判斷零點的個數又需要結合函數的單調性等性質進行判斷，自然地引出下面教材例1中零點唯一性的討論.限于論文的主題，不再展開這些環節的教學描述.

3 若干反思

在本節課的教學中，筆者試圖從以下3個方面突破教學難點：首先，為了使學生的數學學習建立在其經驗基礎之上，教學中采用了利用生活經驗理解數學問題及數學知識的策略，即在導入階段創設了“紹興一天溫度變化”這一生活情境，并要求學生從數學尤其是函數的角度理解這個問題，這既讓學生感受到數學就在身邊，增強數學學習的興趣及價值感，同時也為后續新知識的理解提供了一個范例性的表征.

其次，為了減緩由于數學內容的抽象性給學生造成的困難，教學中采用了具體化的處理手段.具體地，課堂中讓學生從對一次函數、二次函數等熟悉的函數及相應的方程的探索開始，初步歸納出結論，進而推廣到一般函數及相應方程中的結論.而在上述探究過程中，還利用信息技術，通過函數圖像上點的動態變化過程，讓學生直觀地發現在點穿過x軸前后函數值的變化特點，使零點存在性定理這樣一個比較抽象的定理顯性化.

再次，通過過程性的經驗展現數學的思維過程，使逆向思維變得更容易.在零點存在性定理的發現過程中，需要應用逆向思維，這對于學生而言是比較困難的.教學中讓學生經歷從具體函數到一般函數的探索過程，使得逆問題的提出變得更為自然而有脈絡，而上述探索過程又為學生理解逆向問題提供了討論基礎與經驗.

[1] 唐恒鈞,陳碧芬,張維忠.基于學習力視角的高中數學課程建設[J].當代教育與文化,2016,8(2):17-21.

[2] 唐恒鈞.基于問題驅動的數學教學設計[J].中學數學教學參考，2013(6):64.

[3] 章建躍.方程的根與函數的零點的教學[J].中國數學教育,2012(1/2):17.

[4] 魏仁洪.方程的根與函數的零點的教學實錄與教學反思[J].數學通訊，2016(8):30.